S -матрица

«Матрица рассеяния» перенаправляется сюда. Значение в линейных электрических сетях см. в разделе Параметры рассеяния .

О подходе 1960-х годов к физике элементарных частиц см. Теорию S-матрицы .

В физике или S -матрица матрица рассеяния связывает начальное и конечное состояния физической системы, подвергающейся процессу рассеяния . Он используется в квантовой механике , теории рассеяния и квантовой теории поля (КТП).

Более формально, в контексте КТП, S -матрица определяется как унитарная матрица, соединяющая наборы асимптотически свободных состояний частиц ( входящие и выходные состояния ) в гильбертовом пространстве физических состояний. Многочастичное состояние называется свободным (или невзаимодействующим), если оно преобразуется в результате преобразований Лоренца как тензорное произведение или, прямое произведение на языке физики, одночастичных состояний , как предписано уравнением (1) ниже. Асимптотически свободное означает, что государство имеет такой вид либо в далеком прошлом, либо в далеком будущем.

Хотя S -матрица может быть определена для любого фона ( пространства-времени ), который асимптотически разрешим и не имеет горизонтов событий , в случае пространства Минковского она имеет простую форму . В этом частном случае гильбертово пространство является пространством неприводимых унитарных представлений неоднородной группы группы Лоренца ( Пуанкаре ); S оператором -матрица является эволюции между $t=-\infty$ (далекое прошлое) и $t=+\infty$ (далекое будущее). Он определяется только в пределе нулевой плотности энергии (или бесконечного расстояния между частицами).

Можно показать, что если квантовая теория поля в пространстве Минковского имеет массовую щель , то состояние как в асимптотическом прошлом, так и в асимптотическом будущем описывается пространствами Фока .

История

Начальные элементы теории S -матрицы можно найти в статье Поля Дирака 1927 года «О квантовой механике процессов столкновений». S - матрица была впервые правильно введена Джоном Арчибальдом Уилером в статье 1937 года «О математическом описании легких ядер методом резонирующей групповой структуры». В этой статье Уиллер ввел матрицу рассеяния - унитарную матрицу коэффициентов, связывающих «асимптотическое поведение произвольного частного решения [интегральных уравнений] с поведением решений стандартной формы», но не развил его в полной мере.

В 1940-х годах Вернер Гейзенберг самостоятельно разработал и обосновал идею S -матрицы. Из-за проблемных расхождений, существовавших в то время в квантовой теории поля , Гейзенберг был заинтересован изолировать существенные особенности теории , на которые не повлияют будущие изменения по мере развития теории. При этом ему пришлось ввести унитарную «характеристическую» S -матрицу.

Сегодня, однако, точные результаты S -матрицы важны для конформной теории поля , интегрируемых систем и некоторых других областей квантовой теории поля и теории струн . S -матрицы не заменяют теоретико-полевой подход, а, скорее, дополняют его конечные результаты.

Мотивация

высоких энергий В физике частиц интересуют вычисления вероятности различных результатов в экспериментах по рассеянию . Эти эксперименты можно разбить на три этапа:

1. Столкновение группы входящих частиц (обычно это два типа частиц с высокими энергиями).
2. Разрешение входящим частицам взаимодействовать. Эти взаимодействия могут изменить типы присутствующих частиц (например, если электрон и позитрон аннигилируют, они могут произвести два фотона ).
3. Измерение образующихся вылетающих частиц.

Процесс, посредством которого входящие частицы преобразуются (путем их взаимодействия ) в вылетающие частицы, называется рассеянием . Для физики элементарных частиц физическая теория этих процессов должна быть в состоянии вычислить вероятность для разных исходящих частиц, когда разные входящие частицы сталкиваются с разными энергиями.

- матрица S в квантовой теории поля обеспечивает именно это. Предполагается, что в этих случаях справедливо приближение малой плотности энергии.

Используйте

S перехода в квантовой механике -матрица тесно связана с амплитудой вероятности и сечениями различных взаимодействий; элементы S (отдельные числовые записи) в - матрице известны как амплитуды рассеяния . Полюсы - матрицы S в плоскости комплексной энергии отождествляются со связанными состояниями , виртуальными состояниями или резонансами . Разрезы ветвей S - матрицы в плоскости комплексной энергии связаны с открытием канала рассеяния .

В гамильтоновом подходе к квантовой теории поля S -матрица может быть рассчитана как упорядоченная по времени экспонента интегрированного гамильтониана в картине взаимодействия ; это также может быть выражено с использованием интегралов по путям Фейнмана . В обоих случаях пертурбативное вычисление S -матрицы приводит к диаграммам Фейнмана .

В теории рассеяния S - матрица представляет собой оператор, свободных частиц отображающий входные состояния свободных частиц в выходные состояния ( каналы рассеяния ) в картине Гейзенберга . Это очень полезно, поскольку зачастую мы не можем точно описать взаимодействия (по крайней мере, не самые интересные).

В одномерной квантовой механике

В целях иллюстрации сначала рассматривается простой прототип, в котором S -матрица является двумерной. В нем частицы с резкой энергией E разлетаются от локализованного потенциала V по правилам одномерной квантовой механики. Эта простая модель уже отображает некоторые особенности более общих случаев, но с ней легче обращаться.

Каждая энергия E дает матрицу S = S ( E ), зависит от V. которая Таким образом, полную S -матрицу можно было бы, образно говоря, представить в подходящем базисе как «непрерывную матрицу» с каждым нулевым элементом, за исключением ×2 -блоков по диагонали для данного V. 2

Определение

Рассмотрим локализованный одномерный потенциальный барьер V ( x ) , на который воздействует пучок квантовых частиц с E. энергией Эти частицы падают на потенциальный барьер слева направо.

Решениями уравнения Шрёдингера вне потенциального барьера являются плоские волны , определяемые формулой

$$\psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$

для области левее потенциального барьера, и

$$\psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}$$

для региона справа от потенциального барьера, где

$$k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$$

волновой вектор . Зависимость от времени не нужна в нашем обзоре и поэтому опущена. Член с коэффициентом A представляет собой входящую волну, тогда как член с коэффициентом C представляет собой исходящую волну. B обозначает отражающую волну. Поскольку мы задаем входящую волну движущейся в положительном направлении (идущую слева), D равен нулю и может быть опущен.

«Амплитуда рассеяния», т. е. переходное перекрытие уходящих волн с приходящими волнами, представляет собой линейное соотношение, определяющее S -матрицу,

$${\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.$$

Вышеупомянутое соотношение можно записать как

$$\Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}$$

где

$$\Psi _{\rm {out}}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {in}}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.$$

Элементы S полностью характеризуют рассеивающие свойства потенциального барьера V ( x ) .

Единая собственность

Унитарность S -матрицы напрямую связана с сохранением тока вероятности в квантовой механике .

Плотность тока вероятности J волновой функции ψ ( x ) определяется как

$$J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right).$$

Вероятность плотности тока $J_{\rm {L}}(x)$ из $\psi _{\rm {L}}(x)$ слева от барьера находится

$$J_{\rm {L}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right),$$

а вероятность плотности тока $J_{\rm {R}}(x)$ из $\psi _{\rm {R}}(x)$ справа от барьера находится

$$J_{\rm {R}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right).$$

Для сохранения тока вероятности J _L = J _R . Это означает, что S -матрица является унитарной матрицей .

Доказательство

$${\begin{aligned}&J_{\rm {L}}=J_{\rm {R}}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _{\text{out}}^{\dagger }\Psi _{\text{out}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&\Psi _{\text{in}}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{\text{in}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{aligned}}$$

времени

Если потенциал V ( x ) веществен, то система обладает симметрией обращения времени . При этом условии, если ψ ( x ) является решением уравнения Шредингера, то ψ *( x ) также является решением.

Обращенное во времени решение имеет вид

$$\psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}$$

для области левее потенциального барьера, и

$$\psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}$$

для региона справа от потенциального барьера,где члены с коэффициентами B * , C * представляют входящую волну, а члены с коэффициентами A * , D * представляют собой исходящую волну.

Они снова связаны S -матрицей,

$${\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,$$

то есть,

$$\Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*}.$$

Теперь отношения

$$\Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*},\quad \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}$$

вместе дают условие

$$S^{*}S=I$$

Это условие в сочетании с соотношением унитарности означает, что S -матрица симметрична в результате симметрии обращения времени:

$$S^{T}=S.$$

Объединив симметрию и унитарность, S-матрицу можно выразить в виде:

$${\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{i\varphi }e^{i\delta }\cdot r&e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}\\e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{i\varphi }e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}=e^{i\varphi }{\begin{pmatrix}e^{i\delta }\cdot r&{\sqrt {1-r^{2}}}\\{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}$$

с $\delta ,\varphi \in [0;2\pi ]$ и $r\in [0;1]$. Таким образом, S-матрица определяется тремя действительными параметрами.

Матрица переноса

Матрица переноса $M$ связывает плоские волны $Ce^{ikx}$ и $De^{-ikx}$ в правой части потенциала рассеяния на плоские волны $Ae^{ikx}$ и $Be^{-ikx}$ с левой стороны:

$${\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}$$

и его компоненты могут быть получены из компонентов S-матрицы посредством: $M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}$ и $M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}$, при этом предполагается симметрия обращения времени.

В случае симметрии обращения времени передаточная матрица $\mathbf {M}$ может быть выражено тремя действительными параметрами:

$$M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}$$

с $\delta ,\varphi \in [0;2\pi ]$ и $r\in [0;1]$ (в случае r = 1 не было бы связи между левой и правой сторонами)

Конечный квадратный колодец

Одномерная нерелятивистская задача с симметрией относительно обращения времени частицы с массой m, приближающейся к (статической) конечной квадратной яме , имеет потенциальную функцию V с

$$V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}$$

Рассеяние можно решить, разложив волновой пакет свободной частицы на плоские волны. $A_{k}\exp(ikx)$ с волновыми числами $k>0$ для плоской волны, идущей (далеко) с левой стороны или аналогично $D_{k}\exp(-ikx)$ (далеко) с правой стороны.

S-матрица для плоской волны с волновым числом k имеет решение:

$$S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}$$

и $S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}$ ; следовательно $e^{i\delta }=\pm i$ и поэтому $-e^{-i\delta }=e^{i\delta }$ и $S_{22}=S_{11}$ в этом случае.

При этом $l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}$ - (возросшее) волновое число плоской волны внутри квадратной ямы, как собственное значение энергии $E_{k}$ связанная с плоской волной, должна оставаться постоянной: $E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}$

Передача $T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}$

В случае $\sin(2la)=0$ затем $\cos(2la)=\pm 1$ и поэтому $S_{11}=S_{22}=0$ и $|S_{21}|=|S_{12}|=1$ т.е. плоская волна с волновым числом k проходит через скважину без отражения, если $k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}$ для $n\in \mathbb {N}$

Конечный квадратный барьер

Квадратный барьер похож на квадратный колодец с той разницей, что $V(x)=+V_{0}>0$ для $|x|\leq a$.

Есть три различных случая в зависимости от собственного значения энергии $E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ плоских волн (с волновыми числами k соответственно − k ) вдали от барьера:

• $E_{k}>V_{0}$: В этом случае $l={\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}$ и формулы для $S_{ij}$ имеют ту же форму, что и в случае с квадратным колодцем, а передача $T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}$
• $E_{k}=V_{0}$: В этом случае ${\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}=0$ и волновая функция $\psi (x)$ имеет собственность $\psi ''(x)=0$ внутри барьера и

  $S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{1-ika}}$ и $S_{11}=S_{22}={\frac {-ika\cdot \exp(-2ika)}{1-ika}}$

  Трансмиссия: $T_{k}={\frac {1}{1+k^{2}a^{2}}}$. Этот промежуточный случай не единственный, это предел ( $l\to 0$ соотв. $\kappa \to 0$) с обеих сторон.
• $E_{k}<V_{0}$:В этом случае ${\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}$ является мнимым числом. Таким образом, волновая функция внутри барьера имеет компоненты $e^{\kappa x}$ и $e^{-\kappa x}$ с $\kappa ={\sqrt {{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}}}$.

  Решение для S-матрицы: $S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cosh(2\kappa a)-i\sinh(2\kappa a){\frac {k^{2}-{\kappa }^{2}}{2k\kappa }}}}$

  и аналогично: $S_{11}=-i{\frac {k^{2}+\kappa ^{2}}{2k\kappa }}\sinh(2\kappa a)\cdot S_{12}$ и в этом случае тоже $S_{22}=S_{11}$.

  Передача $T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sinh(2\kappa a))^{2}{\frac {(k^{2}+\kappa ^{2})^{2}}{4k^{2}\kappa ^{2}}}}}$.

передачи и

Коэффициент прохождения слева от потенциального барьера равен, когда D = 0 ,

$$T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.$$

Коэффициент отражения слева от потенциального барьера равен, когда D = 0 ,

$$R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.$$

Аналогично, коэффициент прохождения справа от потенциального барьера равен, когда A = 0 ,

$$T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.$$

Коэффициент отражения справа от потенциального барьера равен, когда A = 0 ,

$$R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.$$

Соотношения между коэффициентами прохождения и отражения таковы:

$$T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1$$

и

$$T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.$$

Это тождество является следствием свойства унитарности S -матрицы.

Благодаря симметрии обращения времени S-матрица симметрична и, следовательно, $T_{\rm {L}}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}=T_{\rm {R}}$ и $R_{\rm {L}}=R_{\rm {R}}$.

Оптическая теорема в одном измерении

В случае свободных частиц V ( x )=0 вид S -матрица имеет

$$S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$$

Однако всякий раз, когда V ( x ) отличается от нуля, происходит отклонение S -матрицы от приведенной выше формы, к

$$S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.$$

Это отклонение параметризуется двумя сложными функциями энергии, r и t .Из унитарности также следует связь между этими двумя функциями:

$$|r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).$$

Аналог этого тождества в трех измерениях известен как оптическая теорема .

поля

Картинка взаимодействия

Простой способ определения S -матрицы начинается с рассмотрения картины взаимодействия . Пусть гамильтониан H разбит на свободную часть H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + V . В этой картине операторы ведут себя как операторы свободного поля, а векторы состояния имеют динамику в соответствии с взаимодействием V . Позволять

$$\left|\Psi (t)\right\rangle$$

обозначают состояние, развившееся из свободного исходного состояния

$$\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .$$

Затем элемент S -матрицы определяется как проекция этого состояния на конечное состояние.

$$\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|.$$

Таким образом

$$S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,$$

где S — S-оператор . Большим преимуществом этого определения является то, что оператор временной эволюции U , развивающий состояние в картине взаимодействия, формально известен:

$$U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},$$

где T обозначает упорядоченный по времени продукт . Выраженное этим оператором,

$$S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,$$

откуда

$$S=U(\infty ,-\infty ).$$

Расширение знаний об U дает серию Дайсона ,

$$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],$$

или, если V представляет собой плотность гамильтониана,

$$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right].$$

Будучи особым типом оператора эволюции во времени, S унитарен. Для любого начального состояния и любого конечного состояния находится

$$S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .$$

Этот подход несколько наивен, поскольку потенциальные проблемы замалчиваются. Это намеренно. Этот подход работает на практике, а некоторые технические вопросы рассматриваются в других разделах.

Состояния входа и выхода

Здесь используется немного более строгий подход для решения потенциальных проблем, которые не учитывались в описанном выше подходе к картине взаимодействия. Конечный результат, конечно, тот же, что и при выборе более быстрого маршрута. Для этого необходимы понятия входного и выходного состояний. Они будут развиваться двумя способами: из вакуума и из состояний свободных частиц. Излишне говорить, что эти два подхода эквивалентны, но они освещают вопросы с разных сторон.

Из пустого

Если ​ ^† ( k ) — оператор создания , его эрмитово сопряженное — оператор уничтожения , разрушающий вакуум,

$$a(k)\left|*,0\right\rangle =0.$$

В обозначениях Дирака определим

$$|*,0\rangle$$

как вакуумное квантовое состояние , т.е. состояние без реальных частиц. Звездочка означает, что не все вакуумы обязательно равны и, конечно, не равны нулевому состоянию 0 гильбертова пространства . Предполагается, что все вакуумные состояния инвариантны Пуанкаре , инвариантны относительно перемещений, вращений и повышений. формально,

$$P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0$$

где Р ^м является генератором трансляции в пространстве и времени, а M ^{примечание} является генератором преобразований Лоренца . Таким образом, описание вакуума не зависит от системы отсчета. С состояниями входа и выхода, которые необходимо определить, связаны операторы поля входа и выхода (также известные как поля ) Φ _i и Φ _o . Здесь внимание сосредоточено на простейшем случае скалярной теории, чтобы проиллюстрировать его с наименьшим возможным загромождением обозначений. Поля входа и выхода удовлетворяют

$$(\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,$$

свободное уравнение Клейна–Гордона . Предполагается, что эти поля имеют те же коммутационные отношения равного времени (ETCR), что и свободные поля.

$${\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}$$

где π _{i , j} — поле, канонически сопряженное с Φ _{i , j} . С полями входа и выхода связаны два набора операторов создания и уничтожения . ^† _я ( к ) и а ^† _f ( k ) , действующая в том же гильбертовом пространстве , на двух различных полных множествах ( пространства Фока ; начальное пространство i , конечное пространство f ). Эти операторы удовлетворяют обычным правилам коммутации:

$${\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}$$

Действие операторов рождения на соответствующие вакуумы и состояния с конечным числом частиц во входном и внешнем состояниях определяется выражением

$${\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}$$

где вопросы нормализации были проигнорированы. См. следующий раздел для подробного описания того, как n -частиц нормализуется общее состояние . Начальное и конечное пространства определяются формулой

$${\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},$$

$${\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.$$

Предполагается, что асимптотические состояния обладают четко определенными свойствами преобразования Пуанкаре, т.е. предполагается, что они преобразуются как прямой продукт одночастичных состояний. Это характеристика невзаимодействующего поля. Отсюда следует, что все асимптотические состояния являются собственными состояниями оператора импульса P ^м ,

$$P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .$$

В частности, они являются собственными состояниями полного гамильтониана:

$$H=P^{0}.$$

Обычно постулируется, что вакуум стабилен и уникален.

$$|\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .$$

Взаимодействие предполагается адиабатически включенным и выключенным.

Изображение Гейзенберга

картина Гейзенберга В дальнейшем используется . В этой картине состояния не зависят от времени. Таким образом, вектор состояния Гейзенберга представляет полную пространственно-временную историю системы частиц. Обозначение состояний входа и выхода относится к асимптотическому виду. Состояние Ψ _{α , in} характеризуется тем, что при t → −∞ содержание частиц представляет собой то, что в совокупности представлено α . Аналогично, состояние Ψ _{β , out} будет иметь содержание частиц, представленное β, для t → +∞ . Используя предположение о том, что входящее и выходное состояния, а также взаимодействующие состояния обитают в одном и том же гильбертовом пространстве, и предполагая полноту нормированных входных и выходных состояний (постулат асимптотической полноты ), начальные состояния могут быть расширены в основу конечных состояний (или наоборот). Явное выражение будет дано позже, после введения дополнительных обозначений и терминологии. Коэффициенты разложения представляют собой в точности элементы S -матрицы, которые будут определены ниже.

Хотя векторы состояния в картине Гейзенберга постоянны во времени, физические состояния, которые они представляют, не являются постоянными во времени . Если обнаружено, что система находится в состоянии Ψ в момент времени t = 0 , то она будет находиться в состоянии U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψ в момент времени t = τ . Это не (обязательно) тот же вектор состояния Гейзенберга, но это эквивалентный вектор состояния, а это означает, что при измерении он окажется одним из конечных состояний разложения с ненулевым коэффициентом. Позволяя τ изменяться, можно увидеть, что наблюдаемое Ψ (не измеренное) действительно является вектором состояния картины Шрёдингера . Повторяя измерение достаточно много раз и усредняя, ​​можно сказать, что тот же действительно находится в момент времени t = τ вектор состояния , что и в момент времени t = 0 . Это отражает описанное выше расширение входного состояния на выходные состояния.

Из состояний свободных частиц

С этой точки зрения следует рассмотреть, как проводится архетипический эксперимент по рассеянию. Исходные частицы готовятся в четко определенных состояниях, когда они настолько далеки друг от друга, что не взаимодействуют. Их каким-то образом заставляют взаимодействовать, и конечные частицы регистрируются, когда они находятся настолько далеко друг от друга, что перестают взаимодействовать. Идея состоит в том, чтобы искать в картине Гейзенберга состояния, которые в далеком прошлом имели вид состояний свободных частиц. Это будет в штатах. Аналогично, выходным состоянием будет состояние, которое в отдаленном будущем будет иметь вид состояния свободной частицы.

обозначения из общего справочника по этому разделу Weinberg (2002) Будут использоваться . Общее невзаимодействующее многочастичное состояние определяется выражением

$$\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },$$

где

• р – импульс,
• σ — z-компонента спина или, в безмассовом случае, спиральность ,
• n — вид частиц.

Эти состояния нормализуются как

$$\left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.$$

Перестановки работают как таковые; если s ∈ Sk _— перестановка k объектов (для k -состояния частицы ) такая, что

$$n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,$$

тогда получается ненулевой член. Знак плюс, если только s не включает нечетное число фермионных транспозиций, и в этом случае он минус. Обозначения обычно сокращаются, позволяя одной греческой букве обозначать всю коллекцию, описывающую государство. В сокращенном виде нормировка принимает вид

$$\left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).$$

При интегрировании по состояниям свободных частиц в этих обозначениях пишут

$$d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,$$

где сумма включает в себя только такие члены, что никакие два члена не равны по модулю перестановки индексов типов частиц. Предполагается, что наборы искомых состояний являются полными . Это выражается как

$$\Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),$$

что можно было бы перефразировать как

$$\int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,$$

где для каждого фиксированного α правая часть представляет собой оператор проектирования на состояние α . При неоднородном преобразовании Лоренца (Λ, a ) поле преобразуется по правилу

$$U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }=e^{-ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1}))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots },$$

( 1 )

где W (Λ, p ) — вигнеровское вращение , а D ^{( Дж )} является (2 j + 1) -мерным представлением SO(3) . Полагая Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , для которых U есть exp( iHτ ) , в (1) немедленно следует, что

$$H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,$$

таким образом, искомые состояния входа и выхода являются собственными состояниями полного гамильтониана, которые обязательно не взаимодействуют из-за отсутствия членов смешанной энергии частиц. Обсуждение в разделе выше предполагает, что состояния Ψ ⁺ и выходные состояния Ψ ⁻ должно быть таким, что

$$e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha \ e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }$$

для больших положительных и отрицательных τ имеет вид соответствующего пакета , представленного g состояний свободных частиц , причем g предполагается гладким и соответствующим образом локализованным по импульсу. Волновые пакеты необходимы, иначе временная эволюция даст только фазовый коэффициент, указывающий на свободные частицы, чего быть не может. Правая часть следует из того, что состояния входа и выхода являются собственными состояниями гамильтониана, как указано выше. Чтобы формализовать это требование, предположим, что полный гамильтониан H свободной частицы H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + V такое, что собственные состояния Φ _γ H 0 _{можно разделить на два члена: гамильтониан} имеют тот же вид, что и входные и выходные состояния относительно свойств нормализации и преобразования Лоренца,

$$H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },$$

$$(\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).$$

Состояния входа и выхода определяются как собственные состояния полного гамильтониана:

$$H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },$$

удовлетворяющий

$$e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.$$

для τ → −∞ или τ → +∞ соответственно. Определять

$$\Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },$$

затем

$$\Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.$$

Это последнее выражение будет работать только с использованием волновых пакетов. Из этих определений следует, что состояния входа и выхода нормализуются так же, как состояния свободных частиц,

$$(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),$$

и эти три множества унитарно эквивалентны. Теперь перепишем уравнение собственных значений:

$$(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },$$

где члены ± iε были добавлены, чтобы сделать оператор на LHS обратимым. Поскольку состояния входа и выхода сводятся к состояниям свободных частиц при V → 0 , положим

$$i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }$$

на RHS, чтобы получить

$$\Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.$$

Затем используйте полноту состояний свободных частиц:

$$V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },$$

чтобы наконец получить

$$\Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.$$

Здесь H ₀ заменено собственным значением в состояниях свободных частиц. Это уравнение Липпмана–Швингера .

В штатах, выраженных как вне штатов

Начальные состояния могут быть расширены в основу конечных состояний (или наоборот). Используя соотношение полноты,

$$\Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},$$

$$\Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,$$

где | см _| ​ ² - вероятность того, что взаимодействие преобразуется

$$\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}$$

в

$$\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.$$

По обычным правилам квантовой механики,

$$C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})$$

и можно написать

$$\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.$$

Коэффициенты разложения представляют собой в точности элементы S -матрицы, которые будут определены ниже.

S - матрица

S -матрица теперь определяется формулой

$$S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle \mathrm {f} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.$$

Здесь α и β — сокращения, которые представляют содержание частиц, но не включают отдельные метки. С S -матрицей связан S-оператор S, определяемый формулой

$$\langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },$$

где Φ _γ — состояния свободных частиц. Это определение соответствует прямому подходу, используемому в картине взаимодействия. Кроме того, в силу унитарной эквивалентности

$$\langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .$$

По физическому требованию S должен быть унитарным оператором . Это утверждение о сохранении вероятности в квантовой теории поля. Но

$$\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .$$

Тогда по полноте

$$S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,$$

поэтому S — это унитарное преобразование из внутреннего состояния в выходное.Лоренц-инвариантность — еще одно важное требование к S -матрице. S-оператор представляет собой квантовое каноническое преобразование начального входного состояния в конечное выходное состояние. Более того, S оставляет вакуумное состояние инвариантным и преобразует поля в -пространстве в вне -пространства, поля

$$S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle$$

$$\phi _{\mathrm {f} }=S\phi _{\mathrm {i} }S^{-1}~.$$

С точки зрения операторов создания и уничтожения это становится

$$a_{\rm {f}}(p)=Sa_{\rm {i}}(p)S^{-1},a_{\rm {f}}^{\dagger }(p)=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(p)S^{-1},$$

следовательно

$${\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}$$

Аналогичное выражение справедливо, когда S действует влево в выходном состоянии. Это означает, что S -матрицу можно выразить как

$$S_{\beta \alpha }=\langle \mathrm {o} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {i} ,\beta |S|\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .$$

Если S правильно описывает взаимодействие, эти свойства также должны быть истинными:

• Если система состоит из одной частицы с собственным импульсом | k ⟩ , то S | к ⟩ = | к ⟩ . Это следует из приведенного выше расчета как частный случай.
• Элемент S -матрицы может быть ненулевым только в том случае, если выходное состояние имеет тот же общий импульс , что и входное состояние. Это следует из требуемой лоренц-инвариантности S -матрицы.

Оператор эволюции U

Определите зависящий от времени оператор создания и уничтожения следующим образом:

$${\begin{aligned}a^{\dagger }{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}^{\dagger }{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\\[1ex]a{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\,,\end{aligned}}$$

Итак, для полей,

$$\phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{\rm {i}}S~,$$

где

$$S=e^{i\alpha }\,U(\infty ).$$

Мы учитываем разность фаз, определяемую выражением

$$e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,$$

потому что для С ,

$$S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.$$

Подставив явное выражение вместо U , получим

$$S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,$$

где $H_{\rm {int}}$ – часть взаимодействия гамильтониана и ${\mathcal {T}}$ это время заказа.

При внимательном рассмотрении можно увидеть, что эта формула не является явно ковариантной.

Серия Дайсона

Основная статья: серия Дайсона

Наиболее широко используемое выражение для S -матрицы — ряд Дайсона. Это выражает S -матричный оператор в виде ряда :

$$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]$$

где:

• $T[\cdots ]$ обозначает упорядочение по времени ,
• $\;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)$ обозначает плотность гамильтониана взаимодействия , описывающую взаимодействия в теории.

Не- S -матрица

Поскольку преобразование частиц из черной дыры в излучение Хокинга не могло быть описано с помощью S -матрицы, Стивен Хокинг предложил «не- S -матрицу», для которой он использовал знак доллара ($), и которую поэтому также называли «долларовая матрица».

См. также

• Диаграмма Фейнмана
• Формула сокращения LSZ
• Теорема Вика
• Теорема Хаага
• Картинка взаимодействия

Ссылки

• Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN  978-0-08-020940-1 . §125
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том I , Cambridge University Press , ISBN  0-521-55001-7
• Мерцбахер, Ойген (1961), Квантовая механика , Wiley & Sons, глава 13, §3; Глава 19, §6, ISBN  0-471-59670-1
• Сакураи, Джей Джей ; Наполитано, Дж (2011) [1964]. Современная квантовая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли . Глава 6. ISBN  978-0-8053-8291-4 .
• Барут, Асим Орхан (1967). Теория матрицы рассеяния для взаимодействий фундаментальных частиц . Макмиллан.
• Альберт Мессия (1999). Квантовая механика . Дуврские публикации. ISBN  0-486-40924-4 .
• Тони Филипс (ноябрь 2001 г.). «Конечномерные диаграммы Фейнмана» . Что нового в математике . Американское математическое общество . Проверено 23 октября 2007 г.
• Стивен Гасиорович (1974). Квантовая физика . Уайли и сыновья. ISBN  0-471-29281-8 .
• Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer Publishing , ISBN  3-540-59179-6
• Муссардо, Г. (1992). «Некритические статистические модели: факторизованные теории рассеяния и программа начальной загрузки». Отчеты по физике . 218 (5–6): 215–379. Бибкод : 1992ФР...218..215М . дои : 10.1016/0370-1573(92)90047-4 .
• Замолодчиков, А.Б. (1979). «Факторизованные S-матрицы в двух измерениях как точные решения некоторых моделей релятивистской квантовой теории поля». Анналы физики . 120 (2): 253–291. Бибкод : 1979AnPhy.120..253Z . дои : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .