Картинка взаимодействия

В квантовой механике картина взаимодействия (также известная как представление взаимодействия или картина Дирака в честь Поля Дирака , который ее ввел) ^[1]^[2] является промежуточным представлением между картиной Шрёдингера и картиной Гейзенберга . В то время как в двух других изображениях либо вектор состояния , либо операторы несут временную зависимость, в изображении взаимодействия оба несут часть временной зависимости наблюдаемых . ^[3] Картина взаимодействия полезна при рассмотрении изменений волновых функций и наблюдаемых вследствие взаимодействий. Большинство теоретико-полевых расчетов ^[4] используют представление взаимодействия, потому что они строят решение уравнения Шредингера для многих тел как решение проблемы свободных частиц плюс некоторые неизвестные части взаимодействия.

Уравнения, включающие операторов, действующих в разное время, которые выполняются в картине взаимодействия, не обязательно выполняются в картине Шредингера или Гейзенберга. Это связано с тем, что зависящие от времени унитарные преобразования связывают операторы в одном изображении с аналогичными операторами в других.

Картина взаимодействия представляет собой частный случай унитарного преобразования, примененного к гамильтониану и векторам состояния.

Определение

Операторы и векторы состояний в картине взаимодействия связаны изменением базиса ( унитарным преобразованием ) с теми же операторами и векторами состояний в картине Шрёдингера.

Чтобы перейти к картине взаимодействия, разделим гамильтониан картины Шрёдингера на две части:

$H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.$

Любой возможный выбор частей даст достоверную картину взаимодействия; но для того, чтобы картина взаимодействия была полезной для упрощения анализа проблемы, ее части обычно выбираются так, чтобы H _0,S был хорошо понятен и точно разрешим, в то время как H _1,S содержал некоторые возмущения, которые труднее анализировать. к этой системе.

Если гамильтониан имеет явную зависимость от времени (например, если квантовая система взаимодействует с приложенным внешним электрическим полем, которое меняется во времени), обычно бывает выгодно включить явно зависящие от времени члены с H _1,S , оставив H _0,S не зависит от времени. Мы исходим из того, что это так. Если существует контекст, в котором имеет смысл, чтобы H _0,S зависело от времени, то можно продолжить, заменив $\mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }$ соответствующим оператором временной эволюции в определениях ниже.

Векторы состояния

Позволять $|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle$ быть зависящим от времени вектором состояния в картине Шрёдингера. Вектор состояния в картине взаимодействия, $|\psi _{\text{I}}(t)\rangle$ , определяется с помощью дополнительного унитарного преобразования, зависящего от времени. ^[5]

$|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .$

Операторы

Оператор в картине взаимодействия определяется как

$A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.$

что AS _{Обратите внимание ,} ( t ) обычно не зависит от $t$ и может быть переписано просто AS _как . Это зависит от $t$ только в том случае, если оператор имеет «явную зависимость от времени», например, из-за его зависимости от приложенного внешнего изменяющегося во времени электрического поля. Другой случай явной зависимости от времени может возникнуть, когда A _S ( t ) является матрицей плотности (см. ниже).

гамильтонов оператор

Для оператора $H_{0}$ сама по себе картина взаимодействия и картина Шрёдингера совпадают:

H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.

Это легко увидеть на том факте, что операторы коммутируют с дифференцируемыми функциями самих себя. Этот конкретный оператор тогда можно назвать $H_{0}$ без двусмысленности.

Для возмущенного гамильтониана $H_{1,{\text{I}}}$ , однако,

H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },

где гамильтониан возмущения картины взаимодействия становится гамильтонианом, зависящим от времени, если только [ H _1,S , H _0,S ] = 0.

Можно также получить картину взаимодействия для зависящего от времени гамильтониана H _0,S ( t ), но экспоненты необходимо заменить на унитарный пропагатор для эволюции, генерируемой H _0,S ( t ), или более явно с помощью упорядоченного по времени экспоненциального интеграла.

Матрица плотности

Можно показать, что матрица плотности преобразуется в картину взаимодействия так же, как и любой другой оператор. В частности, пусть $ρ I$ и $ρ S$ — матрицы плотности в картине взаимодействия и картине Шрёдингера соответственно. Если существует вероятность $p n$ находиться в физическом состоянии | ψ _n ⟩, тогда

{\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}

Эволюция во времени

Эволюция государств во времени

Преобразование уравнения Шредингера в картину взаимодействия дает

\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,

который утверждает, что в картине взаимодействия квантовое состояние развивается за счет взаимодействующей части гамильтониана, как это выражено в картине взаимодействия. ^[6] Доказательство дано у Феттера и Валецки. ^[7]

Эволюция операторов во времени

Если оператор AS _{не зависит от} времени (т. е. не имеет «явной зависимости от времени»; см. выше), то соответствующая временная эволюция для AI _{) определяется} ( t выражением

\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].

В картине взаимодействия операторы эволюционируют во времени подобно операторам в Гейзенберга с гамильтонианом $H' = H0 картине$ .

Временная эволюция матрицы плотности

Эволюция матрицы плотности в картине взаимодействия имеет вид

\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],

в соответствии с уравнением Шрёдингера в картине взаимодействия.

Ожидаемые значения

Для обычного оператора $A$ математическое ожидание в картине взаимодействия определяется выражением

\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .

Используя выражение матрицы плотности для среднего значения, мы получим

\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.

Уравнение Швингера – Томонаги

Термин «представление взаимодействия» был изобретен Швингером. ^[8]^[9]В этом новом смешанном представлении вектор состояния вообще больше не является постоянным, но он постоянен, если между полями нет связи. Изменение представления приводит непосредственно к уравнению Томонаги – Швингера: ^[10]^[9]

ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )

{\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)

Где гамильтониан в этом случае является гамильтонианом взаимодействия КЭД, но он также может быть общим взаимодействием, и $\sigma$ — пространственноподобная поверхность, проходящая через точку $x$ . Производная формально представляет собой вариацию по этой поверхности при условии $x$ зафиксированный. Трудно дать точную математическую формальную интерпретацию этого уравнения. ^[11]

Этот подход Швингер назвал «дифференциальным» и «полевым» подходом, в отличие от «интегрального» и «частичного» подхода диаграмм Фейнмана. ^[12]^[13]

Основная идея состоит в том, что если взаимодействие имеет небольшую константу связи (т.е. в случае электромагнетизма порядка постоянной тонкой структуры), то последующие пертурбативные члены будут степенями константы связи и, следовательно, меньшими. ^[14]

Использовать

Цель картины взаимодействия состоит в том, чтобы переложить всю временную зависимость, обусловленную H _0, на операторов, тем самым позволяя им свободно развиваться и оставляя только H _1,I для управления эволюцией во времени векторов состояния.

Картина взаимодействия удобна при рассмотрении влияния небольшого члена взаимодействия H _1,S , добавляемого к гамильтониану решаемой системы H _0,S . Используя картину взаимодействия, можно использовать зависящую от времени теорию возмущений , чтобы найти эффект H _1,I , ^[15]^{: 355 и далее} например, при выводе золотого правила Ферми , ^[15]^{: 359–363} или серия Дайсона ^[15]^{: 355–357} в квантовой теории поля : в 1947 году Синъитиро Томонага и Джулиан Швингер поняли, что ковариантную теорию возмущений можно элегантно сформулировать в картине взаимодействия, поскольку операторы поля могут развиваться во времени как свободные поля, даже при наличии взаимодействий, которые теперь рассматриваются пертурбативно. в такой серии Дайсона.

Итоговое сравнение эволюции на всех картинках

Для независимого от времени гамильтониана , _HS где H _0,S — свободный гамильтониан,

Эволюция:	Картина ( v т и )
Эволюция:	Шрёдингер (S)	Гейзенберг (H)	Взаимодействие (Я)
Кетское государство	$\|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	постоянный	$\|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
наблюдаемый	постоянный	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Матрица плотности	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	постоянный	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

Ссылки

^ Дак, Ян; Сударшан, ЭКГ (1998). «Глава 6: Изобретение Дираком квантовой теории поля». Паули и теорема спиновой статистики . Мировое научное издательство. стр. 149–167. ISBN 978-9810231149 .
^ https://courses.physicals.illinois.edu/phys580/fa2013/interaction.pdf. ^{[ пустой URL PDF ]}
^ Альберт Мессия (1966). Квантовая механика , Северная Голландия, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; Джей Джей Сакураи (1994). Современная квантовая механика (Аддисон-Уэсли) ISBN 9780201539295 .
^ Дж. В. Негеле, Х. Орланд (1988), Квантовые многочастичные системы, ISBN 0738200522 .
^ «Картина взаимодействия, конспекты лекций Нью-Йоркского университета» . Архивировано из оригинала 4 сентября 2013 г.
^ Квантовая теория поля для одаренных любителей, глава 18 - для тех, кто видел, что это называется уравнением Швингера-Томонаги, это не уравнение Швингера-Томонаги. Это обобщение уравнения Шредингера на произвольные пространственноподобные слоения пространства-времени.
^ Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Дирк (1971). Квантовая теория многочастичных систем . МакГроу-Хилл. п. 55. ИСБН 978-0-07-020653-3 .
^ Швингер Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Дувр, с. 151, ISBN 0-486-60444-6
^ Перейти обратно: ^а ^б Швингер, Дж. (1948), «Квантовая электродинамика. I. Ковариантная формулировка». , Physical Review , 74 (10): 1439–1461, Бибкод : 1948PhRv...74.1439S , doi : 10.1103/PhysRev.74.1439
^ Швингер Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Дувр, с. 151 163 170 276, ISBN 0-486-60444-6
^ Вакита, Хитоши (1976), «Интегрирование уравнения Томонаги-Швингера» , Communications in Mathematical Physics , 50 (1): 61–68, Bibcode : 1976CMaPh..50...61W , doi : 10.1007/BF01608555 , S2CID 122590381
^ Лекция Швингера на Нобелевскую премию (PDF) , с. 140, Швингер неофициально называет дифференцированный подход локальным, а интегральный — разновидностью глобального подхода. Термин глобальный здесь используется по отношению к области интеграции.
^ Швингер Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Дувр, с. предисловие xiii, ISBN 0-486-60444-6 , «Швингер неофициально называет локальный подход, обращаясь к полям также в контексте локальных действий. Частицы — это возникающие свойства из интегрального подхода, примененного к полю, или усредненного подхода. В то же время он проводит аналогию с классическим различием между частицами. и полей, и показать, как это реализуется для квантовых полей
^ Швингер Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Дувр, с. 152, ISBN 0-486-60444-6
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Сакураи, Джей-Джей; Наполитано, Джим (2010), Современная квантовая механика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0805382914

Дальнейшее чтение

Л.Д. Ландау ; Э. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1 .
Таунсенд, Джон С. (2000). Современный подход к квантовой механике (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 1-891389-13-0 .

См. также

[:4-1] Дак, Ян; Сударшан, ЭКГ (1998). «Глава 6: Изобретение Дираком квантовой теории поля». Паули и теорема спиновой статистики . Мировое научное издательство. стр. 149–167. ISBN 978-9810231149 .

[2] ttps://courses.physicals.illinois.edu/phys580/fa2013/interaction.pdf. ^{[ пустой URL PDF ]}

[3] Альберт Мессия (1966). Квантовая механика , Северная Голландия, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; Джей Джей Сакураи (1994). Современная квантовая механика (Аддисон-Уэсли) ISBN 9780201539295 .

[4] Дж. В. Негеле, Х. Орланд (1988), Квантовые многочастичные системы, ISBN 0738200522 .

[5] «Картина взаимодействия, конспекты лекций Нью-Йоркского университета» . Архивировано из оригинала 4 сентября 2013 г.

[6] Квантовая теория поля для одаренных любителей, глава 18 - для тех, кто видел, что это называется уравнением Швингера-Томонаги, это не уравнение Швингера-Томонаги. Это обобщение уравнения Шредингера на произвольные пространственноподобные слоения пространства-времени.

[7] Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Дирк (1971). Квантовая теория многочастичных систем . МакГроу-Хилл. п. 55. ИСБН 978-0-07-020653-3 .

[Schwinger-8] Швингер Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Дувр, с. 151, ISBN 0-486-60444-6

[Schwinger0-9] Перейти обратно: ^а ^б Швингер, Дж. (1948), «Квантовая электродинамика. I. Ковариантная формулировка». , Physical Review , 74 (10): 1439–1461, Бибкод : 1948PhRv...74.1439S , doi : 10.1103/PhysRev.74.1439

[Schwinger1-10] Швингер Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Дувр, с. 151 163 170 276, ISBN 0-486-60444-6

[Wakita1976-11] Вакита, Хитоши (1976), «Интегрирование уравнения Томонаги-Швингера» , Communications in Mathematical Physics , 50 (1): 61–68, Bibcode : 1976CMaPh..50...61W , doi : 10.1007/BF01608555 , S2CID 122590381

[SchwingerNP-12] Лекция Швингера на Нобелевскую премию (PDF) , с. 140, Швингер неофициально называет дифференцированный подход локальным, а интегральный — разновидностью глобального подхода. Термин глобальный здесь используется по отношению к области интеграции.

[Schwinger3-13] Швингер Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Дувр, с. предисловие xiii, ISBN 0-486-60444-6 , «Швингер неофициально называет локальный подход, обращаясь к полям также в контексте локальных действий. Частицы — это возникающие свойства из интегрального подхода, примененного к полю, или усредненного подхода. В то же время он проводит аналогию с классическим различием между частицами. и полей, и показать, как это реализуется для квантовых полей

[Schwinger2-14] Швингер Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Дувр, с. 152, ISBN 0-486-60444-6

[Sakurai-15] Перейти обратно: ^а ^б ^с Сакураи, Джей-Джей; Наполитано, Джим (2010), Современная квантовая механика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0805382914

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т и Квантовая механика
Background	Introduction History Timeline Classical mechanics Old quantum theory Glossary
Fundamentals	Born rule Bra–ket notation Complementarity Density matrix Energy level Ground state Excited state Degenerate levels Zero-point energy Entanglement Hamiltonian Interference Decoherence Measurement Nonlocality Quantum state Superposition Tunnelling Scattering theory Symmetry in quantum mechanics Uncertainty Wave function Collapse Wave–particle duality
Formulations	Formulations Heisenberg Interaction Matrix mechanics Schrödinger Path integral formulation Phase space
Equations	Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations	Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Experiments	Bell test Davisson–Germer Delayed-choice quantum eraser Double-slit Franck–Hertz Mach–Zehnder interferometer Elitzur–Vaidman Popper Quantum eraser Stern–Gerlach Wheeler's delayed choice
Science	Quantum biology Quantum chemistry Quantum chaos Quantum cosmology Quantum differential calculus Quantum dynamics Quantum geometry Quantum measurement problem Quantum mind Quantum stochastic calculus Quantum spacetime
Technology	Quantum algorithms Quantum amplifier Quantum bus Quantum cellular automata Quantum finite automata Quantum channel Quantum circuit Quantum complexity theory Quantum computing Timeline Quantum cryptography Quantum electronics Quantum error correction Quantum imaging Quantum image processing Quantum information Quantum key distribution Quantum logic Quantum logic gates Quantum machine Quantum machine learning Quantum metamaterial Quantum metrology Quantum network Quantum neural network Quantum optics Quantum programming Quantum sensing Quantum simulator Quantum teleportation
Extensions	Quantum fluctuation Casimir effect Quantum statistical mechanics Quantum field theory History Quantum gravity Relativistic quantum mechanics
Related	Schrödinger's cat in popular culture Wigner's friend EPR paradox Quantum mysticism
Category