Динамичные картинки

В квантовой механике динамические изображения (или представления ) — это множество эквивалентных способов математической формулировки динамики квантовой системы.

Двумя наиболее важными из них являются картина Гейзенберга и картина Шрёдингера . Они отличаются только изменением базиса относительно зависимости от времени, аналогично лагранжевой и эйлеровой спецификации поля потока : короче говоря, временная зависимость привязывается к квантовым состояниям в картине Шредингера и к операторам в картине Гейзенберга.

Существует также промежуточная формулировка, известная как картина взаимодействия (или картина Дирака ), которая полезна для выполнения вычислений, когда сложный гамильтониан имеет естественное разложение на простой «свободный» гамильтониан и возмущение .

Уравнения, применимые к одному изображению, не обязательно выполняются и к другим, поскольку зависящие от времени унитарные преобразования связывают операторы в одном изображении с аналогичными операторами в других. Не во всех учебниках и статьях четко указано, из какого изображения взят каждый оператор, что может привести к путанице.

Картина Шрёдингера

Фон

В элементарной квантовой механике состояние квантовомеханической системы представлено комплексной волновой функцией $ψ (x, t)$ . Более абстрактно, состояние может быть представлено как вектор состояния или ket , | ψ ⟩. Этот кет является элементом гильбертова пространства , векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантово-механический оператор — это функция, принимающая кет | ψ ⟩ и возвращает какой-то другой кет | ψ′ ⟩.

Различия между представлениями Шрёдингера и Гейзенберга о квантовой механике заключаются в том, как обращаться с системами, которые развиваются во времени: зависящая от времени природа системы должна выражаться в некоторой комбинации векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состоянии | ψ ⟩, для которого математическое ожидание импульса, $\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle$ , колеблется синусоидально во времени. Тогда можно задаться вопросом, должно ли это синусоидальное колебание отражаться на векторе состояния | ψ ⟩, оператор импульса ${\hat {p}}$ или и то, и другое. Все три варианта действительны; первый дает картину Шредингера, второй — картину Гейзенберга, а третий — картину взаимодействия.

Картина Шредингера полезна при работе с независимым от времени гамильтонианом $H$ , то есть: $\partial _{t}H=0$ .

Оператор временной эволюции

Определение

Оператор временной эволюции создавая кет в какой - _момент то другой _{U (t, t0) определяется как оператор, который действует на кет в момент времени t0,} времени t :

|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .

Для бюстгальтеров вместо этого у нас есть

\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).

Характеристики

Унитарность

Оператор временной эволюции должен быть унитарным . Это потому, что мы требуем, чтобы норма государственного кета не менялась со временем. То есть,

\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .

Поэтому,

U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.

Личность

Когда t = t0 _, , U является тождественным оператором поскольку

|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .

Закрытие

Временную эволюцию от t ₀ до t можно рассматривать как двухэтапную временную эволюцию: сначала от t ₀ до промежуточного момента t ₁ , а затем от t ₁ до конечного момента t . Поэтому,

U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).

Дифференциальное уравнение для оператора эволюции во времени

Мы опускаем индекс t ₀ в операторе временной эволюции, придерживаясь соглашения, что t ₀ = 0, и записываем его как U ( t ). Шрёдингера Уравнение

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,

где H — гамильтониан . Теперь, используя оператор временной эволюции U, запишем $|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle$ , у нас есть

i\hbar {\partial  \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .

С $|\psi (0)\rangle$ является постоянным кетом (состояние кет при t = 0 ), и поскольку приведенное выше уравнение верно для любого постоянного кет в гильбертовом пространстве, оператор эволюции во времени должен подчиняться уравнению

i\hbar {\partial  \over \partial t}U(t)=HU(t).

Если гамильтониан не зависит от времени, решение приведенного выше уравнения будет ^[1]

U(t)=e^{-iHt/\hbar }.

Поскольку H является оператором, это экспоненциальное выражение должно быть оценено через его ряд Тейлора :

e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .

Поэтому,

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .

Обратите внимание, что $|\psi (0)\rangle$ является произвольным кетом. Однако, если исходный кет является собственным состоянием гамильтониана с собственным значением E , мы получаем:

|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .

Таким образом, мы видим, что собственные состояния гамильтониана являются стационарными состояниями : они приобретают общий фазовый фактор только по мере своего развития со временем.

Если гамильтониан зависит от времени, но в разное время гамильтонианы коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как

U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разные моменты времени не коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать в виде

U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),

где T — оператор временного порядка , который иногда называют рядом Дайсона, в честь Фримена Дайсона .

Альтернативой картине Шредингера является переключение на вращающуюся систему отсчета, которая сама вращается пропагатором. Поскольку волнообразное вращение теперь принимает на себя сама система отсчета, функция невозмущенного состояния кажется действительно статической. Это фотография Гейзенберга (внизу).

картина Гейзенберга

Картина Гейзенберга — это формулировка (сделанная Вернером Гейзенбергом во время пребывания в Гельголанде в 1920-х годах) квантовой механики , в которой операторы ( наблюдаемые и другие) включают зависимость от времени, но векторы состояния не зависят от времени.

Определение

В картине квантовой механики Гейзенберга вектор состояния $|\psi \rangle$ , не меняется со временем, а наблюдаемое A удовлетворяет

${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},$

где H — гамильтониан , а [•,•] обозначает коммутатор двух операторов (в данном случае H и A ). Взятие ожидаемых значений дает теорему Эренфеста, представленную в принципе соответствия .

По теореме Стоуна-фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шрёдингера унитарно эквивалентны. В некотором смысле картина Гейзенберга более естественна и удобна, чем эквивалентная картина Шредингера, особенно для релятивистских теорий. Лоренц-инвариантность проявляется в картине Гейзенберга. Этот подход также имеет более прямое сходство с классической физикой : при замене коммутатора, приведенного выше, на скобку Пуассона , уравнение Гейзенберга становится уравнением гамильтоновой механики .

Вывод уравнения Гейзенберга

Среднее значение наблюдаемой A , которая является эрмитовым линейным оператором для данного состояния. $|\psi (t)\rangle$ , определяется

$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .$

В картине Шрёдингера государство $|\psi \rangle$ в момент времени t относится к состоянию $|\psi \rangle$ в момент времени 0 с помощью унитарного оператора временной эволюции , $U(t)$ : $|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .$ Если гамильтониан не меняется со временем, то оператор эволюции во времени можно записать как $U(t)=e^{-iHt/\hbar },$ где H — гамильтониан, а ħ — приведенная постоянная Планка . Поэтому,

$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .$

Определите тогда, $A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.$

Отсюда следует, что ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A(t)&={\frac {i}{\hbar }}He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.\end{aligned}}$

Дифференциация проводилась по правилу произведения , при этом ∂ A /∂ t является производной по времени исходного A , а не определенного оператора A ( t ). Последнее уравнение справедливо, поскольку exp(− / ħ ) коммутирует с H. iHt

Таким образом ${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },$ откуда и возникает приведенное выше уравнение движения Гейзенберга, поскольку конвективная функциональная зависимость от x (0) и p (0) переходит в такую же зависимость от x ( t ), p ( t ), так что последний член превращается в ∂ A ( т )/∂ т . [ X , Y ] является коммутатором двух операторов и определяется как $[X, Y] := XY - YX$ .

Уравнение решается с помощью A ( t ), определенного выше, что очевидно из использования стандартного операторного тождества : ${e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .$ что подразумевает $A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots$

Это соотношение также справедливо для классической механики , классического предела вышесказанного, учитывая соответствие между скобками Пуассона и коммутаторами , $[A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}$ В классической механике для A без явной зависимости от времени $\{A,H\}={\frac {d}{dt}}A\,,$ итак, опять же, выражение для A ( t ) представляет собой разложение Тейлора вокруг t = 0.

Коммутаторные отношения

Коммутаторные отношения могут выглядеть иначе, чем на картине Шредингера, из-за зависимости операторов от времени. Например, $x (t1 p, x (t2 и) p (t1))$ ( $,) t2 операторы .$ рассмотрим Эволюция этих операторов во времени зависит от гамильтониана системы. Рассматривая одномерный гармонический осциллятор,

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}

,

эволюция операторов положения и импульса определяется выражением:

{d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}

,

{d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x

.

Дифференцируя оба уравнения еще раз и решая их с соответствующими начальными условиями,

{\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},

{\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},

приводит к

x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)

,

p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)

.

Непосредственное вычисление дает более общие коммутаторные соотношения:

[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})

,

[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})

,

[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})

.

Для $t_{1}=t_{2}$ , можно просто восстановить стандартные канонические коммутационные соотношения, действительные для всех изображений.

Картинка взаимодействия

Картина взаимодействия наиболее полезна, когда эволюцию наблюдаемых можно решить точно, ограничивая любые сложности эволюцией состояний. По этой причине гамильтониан наблюдаемых называется «свободным гамильтонианом», а гамильтониан состояний — «гамильтонианом взаимодействия».

Определение

Операторы и векторы состояний в картине взаимодействия связаны изменением базиса ( унитарным преобразованием ) с теми же операторами и векторами состояний в картине Шрёдингера.

Чтобы перейти к картине взаимодействия, разделим гамильтониан картины Шрёдингера на две части:

$H_{S}=H_{0,S}+H_{1,S}~.$

Любой возможный выбор частей даст достоверную картину взаимодействия; но для того, чтобы картина взаимодействия была полезной для упрощения анализа проблемы, ее части обычно выбираются так, чтобы $H_{0,S}$ хорошо понятна и точно решаема, в то время как $H_{1,S}$ содержит некоторые более трудные для анализа возмущения в этой системе.

Если гамильтониан имеет явную зависимость от времени (например, если квантовая система взаимодействует с приложенным внешним электрическим полем, которое меняется во времени), обычно бывает выгодно включить члены, явно зависящие от времени, с $H_{1,S}$ , уход $H_{0,S}$ независимый от времени. Мы исходим из того, что это так. Если есть контекст, в котором имеет смысл иметь $H_{0,S}$ зависят от времени, то можно приступить к замене $e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }$ соответствующим оператором временной эволюции в определениях ниже.

Векторы состояния

Вектор состояния в картине взаимодействия определяется как ^[2]

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle ~,$

где $|\psi _{S}(t)\rangle$ — тот же вектор состояния, что и в картине Шрёдингера.

Операторы

Оператор в картине взаимодействия определяется как

$A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.$

Обратите внимание, что $A_{S}(t)$ обычно не зависит от t и может быть переписано просто как $A_{S}$ . Это зависит от t только в том случае, если оператор имеет «явную зависимость от времени», например, из-за его зависимости от приложенного внешнего изменяющегося во времени электрического поля.

гамильтонов оператор

Для оператора $H_{0}$ сама по себе картина взаимодействия и картина Шрёдингера совпадают,

H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}.

Это легко увидеть на том факте, что операторы коммутируют с дифференцируемыми функциями самих себя. назвать H ₀ Тогда этот конкретный оператор можно без двусмысленности .

Однако для возмущенного гамильтониана H _{1, I} ,

H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar },

где гамильтониан возмущения картины взаимодействия становится гамильтонианом, зависящим от времени - если только [ H _1,s , H _0,s ] = 0 .

Можно также получить картину взаимодействия для зависящего от времени гамильтониана H _0,s ( t ), но экспоненты необходимо заменить на унитарный пропагатор для эволюции, порождаемой H _0,s ( t ), или более явно с упорядоченным по времени экспоненциальным интегралом.

Матрица плотности

Можно показать, что матрица плотности преобразуется в картину взаимодействия так же, как и любой другой оператор. В частности, пусть $\rho _{I}$ и $\rho _{S}$ — матрица плотности в картине взаимодействия и картине Шрёдингера соответственно. Если есть вероятность $p_{n}$ находиться в физическом состоянии $|\psi _{n}\rangle$ , затем

\rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.

Уравнения эволюции во времени

Штаты

Преобразование уравнения Шредингера в картину взаимодействия дает:

i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .

Это уравнение называется Швингера – Томонаги уравнением .

Операторы

Если оператор $A_{S}$ не зависит от времени (т. е. не имеет «явной зависимости от времени»; см. выше), то соответствующая временная эволюция для $A_{I}(t)$ дается:

i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;

В картине взаимодействия операторы развиваются во времени подобно операторам в картине Гейзенберга сгамильтониан $H'=H_{0}$ .

Матрица плотности

Преобразование уравнения Швингера–Томонаги на язык матрицы плотности (или, что то же самое, преобразование уравнения фон Неймана в картину взаимодействия) дает:

i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].

Существование

Картина взаимодействия не всегда существует. Во взаимодействующих квантовых теориях поля теорема Хаага утверждает, что картины взаимодействия не существует. Это связано с тем, что гамильтониан не может быть разделен на свободную и взаимодействующую часть внутри сектора суперотбора. Более того, даже если в картине Шрёдингера гамильтониан не зависит от времени, например $H = H 0 + V$ , в картине взаимодействия он зависит, по крайней мере, если $V$ не коммутирует с $H 0$ , поскольку

H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}

.

Сравнение картинок

Картина Гейзенберга наиболее близка к классической гамильтоновой механике (например, коммутаторы, входящие в приведенные выше уравнения, непосредственно соответствуют классическим скобкам Пуассона ).Картина Шредингера, предпочтительная формулировка во вводных текстах, легко визуализируется в терминах в гильбертовом пространстве вращений векторов состояния , хотя ей не хватает естественного обобщения на лоренц-инвариантные системы. Картина Дирака наиболее полезна в нестационарной и ковариантной теории возмущений, поэтому она подходит для квантовой теории поля и физики многих тел .

Итоговое сравнение эволюции

Эволюция:	Картина ( v т и )
Эволюция:	Шрёдингер (S)	Гейзенберг (H)	Взаимодействие (Я)
Кетское государство	$\|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	постоянный	$\|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
наблюдаемый	постоянный	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Матрица плотности	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	постоянный	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

Эквивалентность

Очевидно, что ожидаемые значения всех наблюдаемых одинаковы в картинах Шредингера, Гейзенберга и взаимодействия.

\langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle =\langle \psi _{I}(t)\mid A_{I}(t)\mid \psi _{I}(t)\rangle ~,

как они должны.

См. также

Примечания

^ Здесь мы используем тот факт, что при t = 0 U ( t ) должно сводиться к тождественному оператору.
^ The Interaction Picture , конспекты онлайн-лекций Нью-Йоркского университета (Марк Такерман)

Ссылки

Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Пэрис: Уайли. стр. 312–314. ISBN 0-471-16433-Х .
Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья.
Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., Джон Уайли, 1998), с. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1 . Онлайн-копия
Р. Шанкар (1994 г.); Принципы квантовой механики , Пленум Пресс, ISBN 978-0306447907 .
Джей Джей Сакурай (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN 978-0201539295 .

Внешние ссылки

Педагогические пособия по квантовой теории поля Щелкните ссылку, чтобы перейти к гл. 2, чтобы найти обширное и упрощенное введение в картину Гейзенберга.

[1] Здесь мы используем тот факт, что при t = 0 U ( t ) должно сводиться к тождественному оператору.

[2] The Interaction Picture , конспекты онлайн-лекций Нью-Йоркского университета (Марк Такерман)

[1]

[2]

v т и Квантовая механика
Background	Introduction History Timeline Classical mechanics Old quantum theory Glossary
Fundamentals	Born rule Bra–ket notation Complementarity Density matrix Energy level Ground state Excited state Degenerate levels Zero-point energy Entanglement Hamiltonian Interference Decoherence Measurement Nonlocality Quantum state Superposition Tunnelling Scattering theory Symmetry in quantum mechanics Uncertainty Wave function Collapse Wave–particle duality
Formulations	Formulations Heisenberg Interaction Matrix mechanics Schrödinger Path integral formulation Phase space
Equations	Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations	Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Experiments	Bell test Davisson–Germer Delayed-choice quantum eraser Double-slit Franck–Hertz Mach–Zehnder interferometer Elitzur–Vaidman Popper Quantum eraser Stern–Gerlach Wheeler's delayed choice
Science	Quantum biology Quantum chemistry Quantum chaos Quantum cosmology Quantum differential calculus Quantum dynamics Quantum geometry Quantum measurement problem Quantum mind Quantum stochastic calculus Quantum spacetime
Technology	Quantum algorithms Quantum amplifier Quantum bus Quantum cellular automata Quantum finite automata Quantum channel Quantum circuit Quantum complexity theory Quantum computing Timeline Quantum cryptography Quantum electronics Quantum error correction Quantum imaging Quantum image processing Quantum information Quantum key distribution Quantum logic Quantum logic gates Quantum machine Quantum machine learning Quantum metamaterial Quantum metrology Quantum network Quantum neural network Quantum optics Quantum programming Quantum sensing Quantum simulator Quantum teleportation
Extensions	Quantum fluctuation Casimir effect Quantum statistical mechanics Quantum field theory History Quantum gravity Relativistic quantum mechanics
Related	Schrödinger's cat in popular culture Wigner's friend EPR paradox Quantum mysticism
Category