Теорема Хаага

Работая над математической физикой взаимодействующей релятивистской квантовой теории поля , Рудольф Хааг разработал аргумент ^{[ 1 ]} против существования картины взаимодействия , результат, который теперь широко известен как теорема Хаага . Первоначальное доказательство Хаага опиралось на конкретную форму распространённых в то время теорий поля, но впоследствии было обобщено рядом авторов, в частности Холлом и Вайтманом , которые пришли к выводу, что ни одно универсальное представление гильбертова пространства не может описывать как свободные, так и взаимодействующие поля. ^{[ 2 ]} Обобщение Рида и Саймона показывает, что оно применимо к свободным нейтральным скалярным полям разных масс: ^{[ 3 ]} откуда следует, что картина взаимодействия всегда противоречива, даже в случае свободного поля.

Введение

Традиционно описание квантовой теории поля требует описания набора операторов, удовлетворяющих каноническим (анти)коммутационным соотношениям , и гильбертова пространства , в котором действуют эти операторы. Эквивалентно, нужно дать представление свободной алгебры на этих операторах по модулю канонических коммутационных соотношений ( алгебра CCR/CAR ); во второй перспективе основная алгебра операторов одна и та же, но разные теории поля соответствуют разным (т. е. унитарно неэквивалентным ) представлениям.

С философской точки зрения действие алгебры CCR должно быть неприводимым , поскольку в противном случае теорию можно записать как совокупность эффектов двух отдельных полей. Этот принцип подразумевает существование циклического состояния вакуума . Важно отметить, что вакуум однозначно определяет представление алгебры, поскольку оно циклическое.

Распространены две различные характеристики вакуума: с минимальной энергией собственный вектор поля гамильтониана или состояние, аннулируемое числовым оператором $a. † а$ . Когда эти спецификации описывают разные векторы, говорят, что вакуум поляризуется , после физической интерпретации в случае квантовой электродинамики . ^{[ 4 ]}

Результат Хаага объясняет, что одна и та же квантовая теория поля должна трактовать вакуум во взаимодействии по-разному, а не в свободном. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Формальное описание

В своей современной форме теорема Хаага состоит из двух частей: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Если квантовое поле свободно и евклидово-инвариантно в пространственных измерениях, то вакуум этого поля не поляризуется.
Если два пуанкаре-инвариантных квантовых поля находятся в одном вакууме, то их первые четыре функции Вайтмана совпадают. При этом если одно такое поле свободно, то и другое должно быть свободным полем той же массы .

Такое положение дел резко контрастирует с обычной нерелятивистской квантовой механикой , где всегда существует унитарная эквивалентность между свободными и взаимодействующими представлениями. Этот факт используется при построении картины взаимодействия , где операторы развиваются с использованием представления свободного поля, а состояния развиваются с использованием представления взаимодействующего поля. В рамках формализма квантовой теории поля (КТП) такой картины вообще не существует, поскольку эти два представления унитарно неэквивалентны. Таким образом, теоретик квантового поля сталкивается с так называемой проблемой выбора : необходимо выбрать «правильное» представление среди несчетно-бесконечного множества представлений, которые не эквивалентны.

Физическая/эвристическая точка зрения

Как уже отмечал Хааг в своей оригинальной работе, именно поляризация вакуума лежит в основе теоремы Хаага. Любое взаимодействующее квантовое поле (в том числе невзаимодействующие поля разных масс) поляризует вакуум, и, как следствие, его вакуумное состояние лежит внутри перенормированного гильбертова пространства. $\;H_{\text{renorm}}\;$ которое отличается от гильбертова пространства $\;H_{\text{free}}\;$ свободного поля. Хотя всегда можно найти изоморфизм , который отображает одно гильбертово пространство в другое, из теоремы Хаага следует, что ни одно такое отображение не может дать унитарно эквивалентных представлений соответствующих канонических коммутационных отношений , то есть однозначных физических результатов.

Обходные пути

Среди предположений, которые приводят к теореме Хаага, — трансляционная инвариантность системы. системы, которые могут быть созданы внутри ящика с периодическими граничными условиями или взаимодействуют с подходящими внешними потенциалами. Следовательно, из выводов теоремы выходят ^{[ 7 ]}

Гаага (1958) ^{[ 8 ]} и Рюэль (1962) ^{[ 9 ]} представили теорию рассеяния Хаага-Рюэля , которая имеет дело с асимптотическими свободными состояниями и тем самым служит для формализации некоторых предположений, необходимых для формулы редукции LSZ . ^{[ 10 ]} Однако эти методы не могут быть применены к безмассовым частицам и имеют нерешенные проблемы со связанными состояниями.

Противоречивые реакции теоретиков квантового поля

В то время как некоторые физики и философы физики неоднократно подчеркивали, насколько серьезно теорема Хаага подрывает основы КТП , большинство практикующих теоретиков квантового поля просто игнорируют этот вопрос. Большинство текстов по квантовой теории поля, ориентированных на практическое понимание Стандартной модели взаимодействий элементарных частиц, даже не упоминают ее, неявно предполагая, что может быть найден некий строгий набор определений и процедур, которые подкрепят мощные и хорошо подтвержденные эвристические результаты, о которых они сообщают. .

Например, асимптотическая структура (см. струи КХД ) представляет собой конкретный расчет, полностью согласующийся с экспериментом, но, тем не менее, она не может быть выполнена в силу теоремы Хаага. По общему мнению, это не какой-то расчет, на который просто наткнулись, а скорее, что он воплощает физическую истину. Практические расчеты и инструменты мотивированы и оправданы обращением к большому математическому формализму, называемому QFT . Теорема Хаага предполагает, что этот формализм недостаточно обоснован, однако практические расчеты достаточно далеки от обобщенного формализма, поэтому любые его недостатки не влияют (или делают недействительными) практические результаты.

Как отметил Теллер (1997): ^{[ 11 ]}

Каждый должен согласиться с тем, что как часть математики теорема Хаага является действительным результатом, который, по крайней мере, кажется, ставит под сомнение математическую основу взаимодействующей квантовой теории поля, и согласиться с тем, что в то же время теория оказалась удивительно успешной в применении к экспериментальным результатам. . ^{[ 11 ]}

Люфер (2005) ^{[ 12 ]} предположил, что широкий спектр противоречивых реакций на теорему Хаага может быть частично вызван тем фактом, что она существует в разных формулировках, которые, в свою очередь, были доказаны в рамках разных формулировок КТП, таких как аксиоматический подход Вайтмана или формула LSZ . ^{[ 12 ]} По мнению Люфера,

Те немногие, кто об этом упоминает, склонны рассматривать это как нечто важное, что кто-то (другой) должен тщательно изучить. ^{[ 12 ]}

Склар (2000) ^{[ 13 ]} далее указал:

В теории могут присутствовать концептуальные проблемы, которые кажутся результатом математических артефактов. Теоретику это кажется не фундаментальными проблемами, коренящимися в какой-то глубокой физической ошибке в теории, а, скорее, следствием какой-то неудачи в том, как теория была выражена. Теорема Хаага, возможно, представляет собой трудность такого рода. ^{[ 13 ]}

Уоллес (2011) ^{[ 14 ]} сравнил преимущества традиционной КТП с достоинствами алгебраической квантовой теории поля (АКПТ) и заметил, что

... алгебраическая квантовая теория поля имеет унитарно неэквивалентные представления даже в пространственно конечных областях, но это отсутствие унитарной эквивалентности проявляется только в отношении ожидаемых значений в произвольных малых областях пространства-времени , а это именно те ожидаемые значения, которые не передают реальные значения. информация о мире. ^{[ 14 ]}

Последнее утверждение он оправдывает открытиями, полученными в современной теории ренормгрупп, а именно тем фактом, что

... мы можем объединить все наше незнание того, как реализуется обрезание (т. е. короткодействующее обрезание, необходимое для выполнения процедуры перенормировки), в значения конечного числа коэффициентов, которые можно измерить эмпирически. ^{[ 14 ]}

Что касается следствий теоремы Хаага, наблюдение Уоллеса ^{[ 14 ]} подразумевает, что, поскольку КТП не пытается предсказать фундаментальные параметры, такие как массы частиц или константы связи, потенциально вредные эффекты, возникающие из унитарно-неэквивалентных представлений, остаются поглощенными внутри эмпирических значений, возникающих в результате измерений этих параметров (в заданном масштабе длины). и которые легко импортируются в QFT . Таким образом, на практике они остаются невидимыми для теоретиков квантового поля.

Ссылки

^ Гаага, Рудольф (1955). «О квантовых теориях поля» (PDF) . Математически-физические заметки . 29:12 .
^ Холл, Дик; Вайтман, А.С. (1957). «Теорема об инвариантных аналитических функциях с приложениями к релятивистской квантовой теории поля». Matematisk-fysiske Meddelelser . 31 :1.
^ Рид, Майкл С .; Саймон, Барри (1975). Фурье-анализ, самосопряженность . Методы современной математической физики. Том. II. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. Теорема X.46.
^ Jump up to: ^а ^б Фрейзер 2006 .
^ Jump up to: ^а ^б Боголюбов Н. Н.; Логунов А.А.; Тодоров, И. Т. (1975). Фулинг, Стивен А. (ред.). Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля . Монографии по математической физике 18. Перевод Фулинга, Стивена А.; Попова, Людмила Г. Ридинг, Массачусетс: В.А. Бенджамин. стр. 548–562.
^ Эмч, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической и квантовой теории поля . Нью-Йорк: Wiley Interscience. стр. 247–253.
^ Рид, Майкл С .; Саймон, Барри (1979). Теория рассеяния . Методы современной математической физики. Том. III. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press.
^ Хааг, Р. (1958). «Квантовые теории поля с составными частицами и асимптотические условия». Физический обзор . 112 (2): 669–673. Бибкод : 1958PhRv..112..669H . дои : 10.1103/PhysRev.112.669 .
^ Рюэль, Дэвид (1962). «Об асимптотическом условии в квантовой теории поля». Гельветика Физика Акта . 35 : 147–163.
^ Фреденхаген, Клаус (2009). Квантовая теория поля (PDF) . Конспекты лекций. Университет Гамбурга . ^{[ мертвая ссылка ]}
^ Jump up to: ^а ^б Теллер, Пол (1997). Интерпретативное введение в квантовую теорию поля . Издательство Принстонского университета. п. 115.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Люфер, Трейси (2005). «Кто доказал теорему Хаага?». Международный журнал теоретической физики . 44 (11): 1993–2003. Бибкод : 2005IJTP...44.1995L . дои : 10.1007/s10773-005-8977-z . S2CID 120271840 .
^ Jump up to: ^а ^б Склар, Лоуренс (2000). Теория и истина: философская критика в рамках фундаментальной науки . Издательство Оксфордского университета.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Уоллес, Дэвид (2011). «Серьезное отношение к физике элементарных частиц: критика алгебраического подхода к квантовой теории поля». Исследования по истории и философии науки . Часть B: Исследования по истории и философии современной физики. 42 (2): 116–125. Бибкод : 2011SHPMP..42..116W . CiteSeerX 10.1.1.463.1836 . дои : 10.1016/j.shpsb.2010.12.001 .

Дальнейшее чтение

Фрейзер, Дорин (2006). Теорема Хаага и интерпретация квантовых теорий поля с взаимодействиями (кандидатская диссертация). Университет Питтсбурга .
Арагеоргис, А. (1995). Поля, частицы и кривизна: основы и философские аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени (кандидатская диссертация). Университет Питтсбурга .

Эта квантовой механике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Гаага, Рудольф (1955). «О квантовых теориях поля» (PDF) . Математически-физические заметки . 29:12 .

[2] Холл, Дик; Вайтман, А.С. (1957). «Теорема об инвариантных аналитических функциях с приложениями к релятивистской квантовой теории поля». Matematisk-fysiske Meddelelser . 31 :1.

[3] Рид, Майкл С .; Саймон, Барри (1975). Фурье-анализ, самосопряженность . Методы современной математической физики. Том. II. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. Теорема X.46.

[FOOTNOTEFraser2006-4] Jump up to: ^а ^б Фрейзер 2006 .

[:0-5] Jump up to: ^а ^б Боголюбов Н. Н.; Логунов А.А.; Тодоров, И. Т. (1975). Фулинг, Стивен А. (ред.). Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля . Монографии по математической физике 18. Перевод Фулинга, Стивена А.; Попова, Людмила Г. Ридинг, Массачусетс: В.А. Бенджамин. стр. 548–562.

[6] Эмч, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической и квантовой теории поля . Нью-Йорк: Wiley Interscience. стр. 247–253.

[7] Рид, Майкл С .; Саймон, Барри (1979). Теория рассеяния . Методы современной математической физики. Том. III. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press.

[8] Хааг, Р. (1958). «Квантовые теории поля с составными частицами и асимптотические условия». Физический обзор . 112 (2): 669–673. Бибкод : 1958PhRv..112..669H . дои : 10.1103/PhysRev.112.669 .

[9] Рюэль, Дэвид (1962). «Об асимптотическом условии в квантовой теории поля». Гельветика Физика Акта . 35 : 147–163.

[10] Фреденхаген, Клаус (2009). Квантовая теория поля (PDF) . Конспекты лекций. Университет Гамбурга . ^{[ мертвая ссылка ]}

[Teller-1997-11] Jump up to: ^а ^б Теллер, Пол (1997). Интерпретативное введение в квантовую теорию поля . Издательство Принстонского университета. п. 115.

[Lupher-2005-12] Jump up to: ^а ^б ^с Люфер, Трейси (2005). «Кто доказал теорему Хаага?». Международный журнал теоретической физики . 44 (11): 1993–2003. Бибкод : 2005IJTP...44.1995L . дои : 10.1007/s10773-005-8977-z . S2CID 120271840 .

[Sklar-2000-13] Jump up to: ^а ^б Склар, Лоуренс (2000). Теория и истина: философская критика в рамках фундаментальной науки . Издательство Оксфордского университета.

[Wallace-2011-14] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Уоллес, Дэвид (2011). «Серьезное отношение к физике элементарных частиц: критика алгебраического подхода к квантовой теории поля». Исследования по истории и философии науки . Часть B: Исследования по истории и философии современной физики. 42 (2): 116–125. Бибкод : 2011SHPMP..42..116W . CiteSeerX 10.1.1.463.1836 . дои : 10.1016/j.shpsb.2010.12.001 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]