Глоссарий элементарной квантовой механики

Это глоссарий терминологии, часто встречающейся в курсах квантовой механики для студентов .

Предостережения:

• Разные авторы могут давать разные определения одного и того же термина.
• Дискуссии ограничиваются картиной Шрёдингера и нерелятивистской квантовой механикой .
• Обозначение:
  • $|x\rangle$ - собственное состояние положения
  • $|\alpha \rangle ,|\beta \rangle ,|\gamma \rangle ...$ - волновая функция состояния системы
  • $\Psi$ - полная волновая функция системы
  • $\psi$ - волновая функция системы (может быть и частицы)
  • $\psi _{\alpha }(x,t)$ - волновая функция частицы в позиционном представлении, равная $\langle x|\alpha \rangle$

Формализм

Кинематические постулаты

полный набор волновых функций

Базис пространства гильбертова волновых функций относительно системы.

Хороший

Эрмитово сопряженное кету называется бюстгальтером. $\langle \alpha |=(|\alpha \rangle )^{\dagger }$. См. «Обозначение бюстгальтера».

Хорошие обозначения

Обозначение брекета — это способ представления состояний и операторов системы с помощью угловых скобок и вертикальных черт, например: $|\alpha \rangle$ и $|\alpha \rangle \langle \beta |$.

Матрица плотности

Физически матрица плотности — это способ представления чистых и смешанных состояний. Матрица плотности чистого состояния, кет которой равен $|\alpha \rangle$ является $|\alpha \rangle \langle \alpha |$.

Математически матрица плотности должна удовлетворять следующим условиям:

• $\operatorname {Tr} (\rho )=1$
• $\rho ^{\dagger }=\rho$

Оператор плотности

Синоним «матрицы плотности».

Обозначение Дирака

Синоним «обозначения бюстгальтера».

Гильбертово пространство

Учитывая систему, возможное чистое состояние может быть представлено как вектор в гильбертовом пространстве . Каждый луч (векторы различаются только фазой и величиной) в соответствующем гильбертовом пространстве представляют собой состояние.

Является

Волновая функция, выраженная в виде $|a\rangle$ называется кет. См. «Обозначение бюстгальтера».

Смешанное состояние

Смешанное состояние представляет собой статистический ансамбль чистого состояния.

критерий:

• Чистое состояние: $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})=1$
• Смешанное состояние: $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})<1$

Нормируемая волновая функция

Волновая функция $|\alpha '\rangle$ называется нормируемым, если $\langle \alpha '|\alpha '\rangle <\infty$. Нормируемую волновую функцию можно нормализовать с помощью $|a'\rangle \to \alpha ={\frac {|\alpha '\rangle }{\sqrt {\langle \alpha '|\alpha '\rangle }}}$.

Нормированная волновая функция

Волновая функция $|a\rangle$ называется нормированным, если $\langle a|a\rangle =1$.

Чистое состояние

Состояние, которое можно представить как волновую функцию / кет в гильбертовом пространстве / решение уравнения Шредингера, называется чистым состоянием. См. «смешанное состояние».

Квантовые числа

способ представления состояния несколькими числами, который соответствует полному набору коммутирующих наблюдаемых .

Типичным примером квантовых чисел является возможное состояние электрона в центральном потенциале: $(n,\ell ,m,s)$, что соответствует собственному состоянию наблюдаемых $H$ (с точки зрения $r$), $L$ (величина углового момента), $L_{z}$ (угловой момент в $z$-направление) и $S_{z}$.

Функция спиновой волны

Часть волновой функции частицы (частиц). См. «полная волновая функция частицы».

Спинор

Синоним «функции спиновой волны».

Пространственная волновая функция

Часть волновой функции частицы (частиц). См. «полная волновая функция частицы».

Состояние

Состояние — это полное описание наблюдаемых свойств физической системы.

Иногда это слово используется как синоним «волновой функции» или «чистого состояния».

Вектор состояния

синоним «волновой функции».

Статистический ансамбль

Большое количество копий системы.

Система

Достаточно изолированная часть Вселенной для исследования.

Тензорное произведение гильбертова пространства

Когда мы рассматриваем полную систему как составную систему двух подсистем A и B, волновые функции сложной системы находятся в гильбертовом пространстве. $H_{A}\otimes H_{B}$, если гильбертово пространство волновых функций для A и B равно $H_{A}$ и $H_{B}$ соответственно.

Полная волновая функция частицы

Для одночастичной системы полная волновая функция $\Psi$ частицы можно выразить как произведение пространственной волновой функции и спинора. Полные волновые функции находятся в тензорном пространстве гильбертова пространства пространственной части (которое натянуто на собственные состояния положения) и гильбертовом пространстве для спина.

Волновая функция

Слово «волновая функция» может означать одно из следующих:

1. Вектор в гильбертовом пространстве, который может представлять состояние; синоним «кет» или «вектор состояния».
2. Вектор состояния в конкретном базисе. В этом случае его можно рассматривать как ковариантный вектор .
3. Вектор состояния в представлении позиции, например $\psi _{\alpha }(x_{0})=\langle x_{0}|\alpha \rangle$, где $|x_{0}\rangle$ это собственное состояние положения.

Динамика

Основная статья: уравнение Шрёдингера

Вырождение

См. «Вырожденный уровень энергии».

Вырожденный уровень энергии

Если энергии разных состояний (волновые функции, не кратные друг другу скалярно) одинаковы, уровень энергии называется вырожденным.

В одномерной системе нет вырождения.

Энергетический спектр

Энергетический спектр относится к возможной энергии системы.

Для связанной системы (связанных состояний) энергетический спектр дискретен; для несвязанной системы (состояний рассеяния) энергетический спектр непрерывен.

связанные математические темы: уравнение Штурма – Лиувилля.

гамильтониан ${\hat {H}}$

Оператор представляет полную энергию системы.

Уравнение Шрёдингера

Уравнение Шредингера связывает гамильтонов оператор, действующий на волновую функцию, с ее эволюцией во времени (уравнение 1 ):

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\alpha \rangle ={\hat {H}}|\alpha \rangle$$

Уравнение (1) иногда называют «зависимым от времени уравнением Шредингера» (TDSE).

Независимое от времени уравнение Шредингера (TISE)

Модификация нестационарного уравнения Шредингера как проблемы собственных значений. Решения представляют собой собственные энергетические состояния системы (уравнение 2 ):

$$E|\alpha \rangle ={\hat {H}}|\alpha \rangle$$

Динамика, связанная с отдельной частицей в потенциале/другие пространственные свойства

В этой ситуации УЭ имеет вид

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right)\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)$$

Его можно получить из (1), рассматривая $\Psi _{\alpha }(x,t):=\langle x|\alpha \rangle$ и ${\hat {H}}:=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}$

Связанное состояние

Состояние называется связанным, если плотность вероятности его положения на бесконечности все время стремится к нулю. Грубо говоря, мы можем ожидать найти частицу(ы) в области конечного размера с определенной вероятностью. Точнее, $|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\to 0$ когда $|\mathbf {r} |\to +\infty$, для всех $t>0$.

Есть критерий по энергии:

Позволять $E$ быть энергией ожидания состояния. Это связанное состояние тогда и только тогда, когда $E<\operatorname {min} \{V(r\to -\infty ),V(r\to +\infty )\}$.

Представление позиции и представление импульса

Позиционное представление волновой функции

$\Psi _{\alpha }(x,t):=\langle x|\alpha \rangle$,

импульсное представление волновой функции

${\tilde {\Psi }}_{\alpha }(p,t):=\langle p|\alpha \rangle$ ;

где $|x\rangle$ является собственным состоянием позиции и $|p\rangle$ собственное состояние импульса соответственно.

Два представления связаны преобразованием Фурье .

Амплитуда вероятности

Амплитуда вероятности имеет вид $\langle \alpha |\psi \rangle$.

Вероятностный ток

Если использовать метафору плотности вероятности как плотности массы, то вероятностный ток $J$ текущий: $J(x,t)={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\psi \right)$ Вероятностный ток и плотность вероятности вместе удовлетворяют уравнению непрерывности :

$${\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (x,t)|^{2}+\nabla \cdot \mathbf {J} (x,t)=0$$

Плотность вероятности

Учитывая волновую функцию частицы, $|\psi (x,t)|^{2}$ плотность вероятности в позиции $x$ и время $t$. $|\psi (x_{0},t)|^{2}\,dx$ означает вероятность обнаружить частицу вблизи $x_{0}$.

Состояние рассеяния

Волновую функцию состояния рассеяния можно понимать как распространяющуюся волну. См. также «связанное состояние».

Есть критерий по энергии:

Позволять $E$ быть энергией ожидания состояния. Это состояние рассеяния тогда и только тогда, когда $E>\operatorname {min} \{V(r\to -\infty ),V(r\to +\infty )\}$.

Квадратно-интегрируемый

Интегрируемость с квадратом является необходимым условием для функции, представляющей положение/импульс волновой функции связанного состояния системы.

Учитывая представление позиции $\Psi (x,t)$ вектора состояния волновой функции, интегрируемый с квадратом означает:

• 1D случай: $\int _{-\infty }^{+\infty }|\Psi (x,t)|^{2}\,dx<+\infty$.
• 3D-кейс: $\int _{V}|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\,dV<+\infty$.

Стационарное состояние

Стационарное состояние связанной системы является собственным состоянием гамильтонова оператора. Классически это соответствует стоячей волне. Это эквивалентно следующим вещам:

• собственное состояние оператора Гамильтона
• собственная функция независимого от времени уравнения Шредингера
• состояние определенной энергии
• состояние, в котором «каждое математическое ожидание является постоянным во времени»
• состояние, плотность вероятности которого ( $|\psi (x,t)|^{2}$) не меняется со временем, т.е. ${\frac {d}{dt}}|\Psi (x,t)|^{2}=0$

измерения

Основная статья: Измерения в квантовой механике

Правило Борна

Вероятность состояния $|\alpha \rangle$ свернуть в собственное состояние $|k\rangle$ наблюдаемой определяется выражением $|\langle k|\alpha \rangle |^{2}$.

Крах

«Коллапс» означает внезапный процесс, при котором состояние системы «внезапно» изменится на собственное состояние наблюдаемой во время измерения.

собственные состояния

Собственное состояние оператора $A$ - вектор, удовлетворяющий уравнению собственных значений: $A|\alpha \rangle =c|\alpha \rangle$, где $c$ является скаляром.

Обычно в нотации Бракетта собственное состояние будет представлено соответствующим собственным значением, если соответствующая наблюдаемая понятна.

Ожидаемая стоимость

Ожидаемое значение $\langle M\rangle$ наблюдаемого M относительно состояния $|\alpha$ средний результат измерения $M$ по отношению к государственному ансамблю $|\alpha$.

$\langle M\rangle$ можно рассчитать по:

$$\langle M\rangle =\langle \alpha |M|\alpha \rangle .$$

Если состояние задано матрицей плотности $\rho$, $\langle M\rangle =\operatorname {Tr} (M\rho )$.

Эрмитовский оператор

Оператор, удовлетворяющий $A=A^{\dagger }$.

Эквивалентно, $\langle \alpha |A|\alpha \rangle =\langle \alpha |A^{\dagger }|\alpha \rangle$ для всех допустимых волновых функций $|\alpha \rangle$.

наблюдаемый

Математически это представляется эрмитовым оператором.

Неразличимые частицы

Обмен

Внутренне идентичные частицы

Если внутренние свойства (свойства, которые можно измерить, но которые не зависят от квантового состояния, например, заряд, полный спин, масса) двух частиц одинаковы, их называют (по сути) идентичными.

Неразличимые частицы

Если система демонстрирует измеримые различия при замене одной из ее частиц другой частицей, эти две частицы называются различимыми.

Бозоны

Бозоны — это частицы с целым спином ( s = 0, 1, 2, ...). Они могут быть элементарными (например, фотоны ) или составными (например, мезоны , ядра или даже атомы). Известны пять элементарных бозонов: четыре калибровочных бозона, несущих силу: γ (фотон), g ( глюон ), Z ( Z-бозон ) и W ( W-бозон ), а также бозон Хиггса .

Фермионы

Фермионы — это частицы с полуцелым спином ( s = 1/2, 3/2, 5/2,...). Как и бозоны, они могут быть элементарными или составными частицами. Существует два типа элементарных фермионов: кварки и лептоны , которые являются основными составляющими обычной материи.

Антисимметризация волновых функций

Симметризация волновых функций

Принцип исключения Паули

Квантовая статистическая механика

Распределение Бозе – Эйнштейна

Конденсация Бозе – Эйнштейна

Состояние бозе-эйнштейновской конденсации (состояние БЭК)

энергия Ферми

Распределение Ферми – Дирака

Определитель Слейтера

Нелокальность

Запутывание

Неравенство Белла

Запутанное состояние

отделимое состояние

теорема о запрете клонирования

Вращение: вращение/угловой момент

Вращаться

угловой момент

Коэффициенты Клебша – Гордана

синглетное и триплетное состояние

Методы аппроксимации

адиабатическое приближение

Приближение Борна – Оппенгеймера

Приближение ВКБ

нестационарная теория возмущений

независимая от времени теория возмущений

полуклассическая

Теорема Эренфеста

Теорема, соединяющая классическую механику и результат, полученный из уравнения Шредингера.

первое квантование

$x\to {\hat {x}},\,p\to i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$

корпускулярно-волновой дуализм

Термины без категорий

принцип неопределенности

Канонические коммутационные соотношения

Канонические коммутационные отношения являются коммутаторами между канонически сопряженными переменными. Например, позиция ${\hat {x}}$ и импульс ${\hat {p}}$:

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar$$

Интеграл по траектории

волновое число

См. также

• Математические формулировки квантовой механики
• Список математических тем квантовой теории
• Список квантово-механических потенциалов
• Введение в квантовую механику

Ссылки

• Учебники для начальной школы
  • Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-Х .
  • Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-8053-8714-5 .
  • Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики . Спрингер. ISBN  0-306-44790-8 .
  • Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Фрэнк Лалоэ (2006). Квантовая механика . Уайли-Интерсайенс. ISBN  978-0-471-56952-7 .
• Учебник для аспирантов
  • Сакураи, Джей-Джей (1994). Современная квантовая механика . Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-53929-2 .
• Другой
  • Гринбергер, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель, ред. (2009). Сборник квантовой физики - концепции, эксперименты, история и философия . Спрингер. ISBN  978-3-540-70622-9 .
  • д'Эспанья, Бернар (2003). Скрытая реальность: анализ концепций квантовой механики (1-е изд.). США: Вествью Пресс.