Вырожденные уровни энергии

«Квантовое вырождение» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о состоянии материи, см. Вырожденная материя . Чтобы узнать о других значениях, см. Вырождение .

В квантовой механике уровень энергии является вырожденным , если он соответствует двум или более различным измеримым состояниям квантовой системы . И наоборот, два или более различных состояний квантово-механической системы называются вырожденными, если при измерении они дают одинаковое значение энергии. Число различных состояний, соответствующих определенному уровню энергии, называется степенью вырождения (или просто вырождения ) уровня. Математически это представляется гамильтонианом для системы, имеющей более одного линейно независимого собственного состояния с одинаковым собственным значением энергии . В этом случае одной энергии недостаточно, чтобы охарактеризовать, в каком состоянии находится система, и другие квантовые числа необходимы , чтобы охарактеризовать точное состояние, когда требуется различие. В классической механике это можно понимать как различные возможные траектории, соответствующие одной и той же энергии.

Вырождение играет фундаментальную роль в квантовой статистической механике . Для системы N -частиц в трех измерениях один энергетический уровень может соответствовать нескольким различным волновым функциям или энергетическим состояниям. Все эти вырожденные состояния на одном уровне имеют равную вероятность заполнения. Число таких состояний дает вырождение определенного уровня энергии.

Вырожденные состояния в квантовой системе

Математика

Возможные состояния квантово-механической системы можно математически рассматривать как абстрактные векторы в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве , а наблюдаемые могут быть представлены линейными эрмитовыми операторами, действующими на них. Выбрав подходящий базис , можно определить компоненты этих векторов и матричные элементы операторов в этом базисе. Если A — матрица размера N × N , X — ненулевой вектор , а λ — скаляр , такой, что $AX=\lambda X$, то скаляр λ называется собственным значением A , а вектор X называется собственным вектором, соответствующим λ . Вместе с нулевым вектором множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному значению λ образует подпространство C , ^н называется собственным пространством λ , которое . Собственное значение λ, соответствующее двум или более разным линейно независимым собственным векторам, называется вырожденным , т. е. $AX_{1}=\lambda X_{1}$ и $AX_{2}=\lambda X_{2}$, где $X_{1}$ и $X_{2}$ являются линейно независимыми собственными векторами. Размерность собственного пространства , соответствующего этому собственному значению, известна как его степень вырождения , которая может быть конечной или бесконечной. Собственное значение называется невырожденным, если его собственное пространство одномерно.

Собственные значения матриц, представляющих физические наблюдаемые в квантовой механике, дают измеримые значения этих наблюдаемых, в то время как собственные состояния, соответствующие этим собственным значениям, дают возможные состояния, в которых система может находиться после измерения. Измеримые значения энергии квантовой системы задаются собственными значениями оператора Гамильтона, а его собственные состояния дают возможные энергетические состояния системы. Значение энергии называется вырожденным, если с ним связаны хотя бы два линейно независимых энергетических состояния. Более того, любая линейная комбинация двух или более вырожденных собственных состояний также является собственным состоянием оператора Гамильтона, соответствующим тому же собственному значению энергии. Это ясно следует из того факта, что собственное пространство собственного значения энергии λ представляет собой подпространство (ядро гамильтониана минус λ, умноженное на единицу), следовательно, замкнуто относительно линейных комбинаций.

Доказательство приведенной выше теоремы.

Если ${\hat {H}}$ представляет гамильтонов оператор и $|\psi _{1}\rangle$ и $|\psi _{2}\rangle$ являются двумя собственными состояниями, соответствующими одному и тому же собственному значению E , то

$${\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle &=E|\psi _{1}\rangle \\{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle &=E|\psi _{2}\rangle \end{aligned}}$$

Позволять $|\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$, где $c_{1}$ и $c_{2}$ являются комплексными (вообще говоря) константами, представляют собой любую линейную комбинацию $|\psi _{1}\rangle$ и $|\psi _{2}\rangle$.Затем,

$${\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi \rangle &={\hat {H}}(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=c_{1}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle +c_{2}{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle \\&=E(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=E|\psi \rangle \end{aligned}}$$

что показывает, что $|\psi \rangle$ является собственным состоянием ${\hat {H}}$ с тем же собственным значением E .

энергии

В отсутствие вырождения, если определяется измеренное значение энергии квантовой системы, соответствующее состояние системы считается известным, поскольку каждому собственному значению энергии соответствует только одно собственное состояние. Однако если гамильтониан ${\hat {H}}$ имеет вырожденное собственное значение $E_{n}$ степени g _n связанные с ним собственные состояния образуют подпространство размерности n g _. векторное В таком случае несколько конечных состояний могут быть связаны с одним и тем же результатом. $E_{n}$, все из которых являются линейными комбинациями g _n ортонормированных собственных векторов $|E_{n,i}\rangle$.

В этом случае вероятность того, что измеренное значение энергии для системы в состоянии $|\psi \rangle$ даст значение $E_{n}$ определяется суммой вероятностей нахождения системы в каждом из состояний этого базиса, т. е.

$$P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}$$

Вырождение в разных измерениях

Целью этого раздела является иллюстрация существования вырожденных уровней энергии в квантовых системах, изучаемых в различных измерениях. Изучение одномерных и двумерных систем помогает концептуальному пониманию более сложных систем.

Вырождение в одном измерении

В ряде случаев аналитические результаты легче получить при исследовании одномерных систем. Для квантовой частицы с волновой функцией $|\psi \rangle$ движение в одномерном потенциале $V(x)$, независимое от времени уравнение Шредингера можно записать как

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi$$

Поскольку это обыкновенное дифференциальное уравнение, для данной энергии существуют две независимые собственные функции. $E$ самое большее, так что степень вырождения никогда не превышает двух. Можно доказать, что в одном измерении не существует вырожденных связанных состояний для нормируемых волновых функций . Достаточное условие на кусочно-непрерывный потенциал $V$ и энергия $E$ это существование двух действительных чисел $M,x_{0}$ с $M\neq 0$ такой, что $\forall x>x_{0}$ у нас есть $V(x)-E\geq M^{2}$. В частности, $V$ ограничено снизу по этому критерию.

showДоказательство приведенной выше теоремы.

Considering a one-dimensional quantum system in a potential $V(x)$ with degenerate states $|\psi _{1}\rangle$ and $|\psi _{2}\rangle$ corresponding to the same energy eigenvalue $E$, writing the time-independent Schrödinger equation for the system: $${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}+V\psi _{1}&=E\psi _{1}\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}+V\psi _{2}&=E\psi _{2}\end{aligned}}$$ Multiplying the first equation by $\psi _{2}$ and the second by $\psi _{1}$ and subtracting one from the other, we get: $$\psi _{1}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}-\psi _{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{1}=0$$ Integrating both sides $$\psi _{1}{\frac {d\psi _{2}}{dx}}-\psi _{2}{\frac {d\psi _{1}}{dx}}={\mbox{constant}}$$ In case of well-defined and normalizable wave functions, the above constant vanishes, provided both the wave functions vanish at at least one point, and we find: $$\psi _{1}(x)=c\psi _{2}(x)$$ where $c$ is, in general, a complex constant. For bound state eigenfunctions (which tend to zero as $x\to \infty$), and assuming $V$ and $E$ satisfy the condition given above, it can be shown that also the first derivative of the wave function approaches zero in the limit $x\to \infty$, so that the above constant is zero and we have no degeneracy.

Вырождение в двумерных квантовых системах

Двумерные квантовые системы существуют во всех трех состояниях материи, и большая часть разнообразия, наблюдаемого в трехмерной материи, может быть создана в двух измерениях. Реальные двумерные материалы состоят из моноатомных слоев на поверхности твердых тел. Некоторые примеры двумерных электронных систем, полученных экспериментально, включают -транзистор , двумерные сверхрешетки гелия МОП , неона , аргона , ксенона и т. д. и поверхность жидкого гелия . Наличие вырожденных уровней энергии изучается в случаях « Частица в ящике» и двумерного гармонического осциллятора , которые выступают в качестве полезных математических моделей для нескольких систем реального мира.

Частица в прямоугольной плоскости

Рассмотрим свободную частицу в плоскости измерений $L_{x}$ и $L_{y}$ в плоскости непроницаемых стен. Нестационарное уравнение Шрёдингера для этой системы с волновой функцией $|\psi \rangle$ можно записать как

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi$$

Разрешенные значения энергии:

$$E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)$$

Нормированная волновая функция

$$\psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)$$

где $n_{x},n_{y}=1,2,3,\dots$

Итак, квантовые числа $n_{x}$ и $n_{y}$ необходимы для описания собственных значений энергии, а наименьшая энергия системы определяется выражением

$$E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)$$

Для некоторых соизмеримых отношений двух длин $L_{x}$ и $L_{y}$, некоторые пары состояний вырождены. Если $L_{x}/L_{y}=p/q$, где p и q — целые числа, состояния $(n_{x},n_{y})$ и $(pn_{y}/q,qn_{x}/p)$ имеют одинаковую энергию и поэтому вырождены по отношению друг к другу.

Частица в квадратном ящике

В данном случае размеры коробки $L_{x}=L_{y}=L$ а собственные значения энергии имеют вид

$$E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})$$

С $n_{x}$ и $n_{y}$ можно менять местами без изменения энергии, каждый энергетический уровень имеет вырождение не менее двух, когда $n_{x}$ и $n_{y}$ разные. Вырожденные состояния получаются и тогда, когда сумма квадратов квантовых чисел, соответствующих разным уровням энергии, одинакова. Например, все три состояния (n _x = 7, n _y = 1), (n _x = 1, n _y = 7) и (n _x = n _y = 5) имеют $E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}$ и составляют вырожденное множество.

Степени вырождения разных уровней энергии для частицы в квадратном ящике:

$n_{x}$	$n_{y}$	$E\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\right)$	Вырождение
1	1	2	1
2 1	1 2	5 5	2
2	2	8	1
3 1	1 3	10 10	2
3 2	2 3	13 13	2
4 1	1 4	17 17	2
3	3	18	1
...	...	...	...
7 5 1	1 5 7	50 50 50	3
...	...	...	...
8 7 4 1	1 4 7 8	65 65 65 65	4
...	...	...	...
9 7 6 2	2 6 7 9	85 85 85 85	4
...	...	...	...
11 10 5 2	2 5 10 11	125 125 125 125	4
...	...	...	...
14 10 2	2 10 14	200 200 200	3
...	...	...	...
17 13 7	7 13 17	338 338 338	3

Частица в кубическом ящике

В данном случае размеры коробки $L_{x}=L_{y}=L_{z}=L$ а собственные значения энергии зависят от трех квантовых чисел.

$$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})$$

С $n_{x}$, $n_{y}$ и $n_{z}$ можно менять местами без изменения энергии, каждый энергетический уровень имеет вырождение не менее трех, если не все три квантовых числа равны.

Нахождение уникального собственного базиса в случае вырождения

Если два оператора ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ ездить на работу, т.е. $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$, то для каждого собственного вектора $|\psi \rangle$ из ${\hat {A}}$, ${\hat {B}}|\psi \rangle$ также является собственным вектором ${\hat {A}}$ с тем же собственным значением. Однако если это собственное значение, скажем $\lambda$, вырождено, можно сказать, что ${\hat {B}}|\psi \rangle$ принадлежит собственному пространству $E_{\lambda }$ из ${\hat {A}}$, который называется глобально инвариантным относительно действия ${\hat {B}}$.

Для двух коммутирующих наблюдаемых A и B можно построить ортонормированный базис пространства состояний с собственными векторами, общими для двух операторов. Однако, $\lambda$ является вырожденным собственным значением ${\hat {A}}$, то это собственное подпространство ${\hat {A}}$ который инвариантен относительно действия ${\hat {B}}$, представление поэтому ${\hat {B}}$ в собственном базисе ${\hat {A}}$ не диагональ, а блочно-диагональная матрица , т.е. вырожденные собственные векторы матрицы ${\hat {A}}$ вообще говоря, не являются собственными векторами ${\hat {B}}$. Однако всегда можно выбрать в каждом вырожденном собственном подпространстве ${\hat {A}}$, базис собственных векторов, общих для ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$.

Выбор полного набора коммутирующих наблюдаемых

Если данная наблюдаемая A невырождена, существует единственный базис, образованный ее собственными векторами. С другой стороны, если одно или несколько собственных значений ${\hat {A}}$ вырождены, поэтому указания собственного значения недостаточно для характеристики базисного вектора. Если, выбрав наблюдаемую ${\hat {B}}$, который коммутирует с ${\hat {A}}$, можно построить ортонормированный базис собственных векторов, общих для ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$, который уникален для каждой из возможных пар собственных значений {a,b}, то ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ Говорят, что они образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых . Однако, если уникальный набор собственных векторов все еще не может быть указан, хотя бы для одной из пар собственных значений, третья наблюдаемая ${\hat {C}}$, который коммутирует с обоими ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ можно найти так, что все три образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых.

Отсюда следует, что собственные функции гамильтониана квантовой системы с общим значением энергии должны быть помечены путем предоставления некоторой дополнительной информации, что можно сделать, выбрав оператор, коммутирующий с гамильтонианом. Эти дополнительные метки требовали присвоения уникальной собственной функции энергии и обычно связаны с константами движения системы.

энергии и оператор

Оператор четности определяется его действием в $|r\rangle$ представление изменения r на -r, т.е.

$$\langle r|P|\psi \rangle =\psi (-r)$$

Можно показать, что собственные значения P ограничены $\pm 1$, которые оба являются вырожденными собственными значениями в бесконечномерном пространстве состояний. Собственный вектор P с собственным значением +1 называется четным, а с собственным значением −1 — нечетным.

Теперь четный оператор ${\hat {A}}$ тот, который удовлетворяет,

$${\tilde {A}}=P{\hat {A}}P$$

$$[P,{\hat {A}}]=0$$

пока странный оператор ${\hat {B}}$ тот, который удовлетворяет

$$P{\hat {B}}+{\hat {B}}P=0$$

Поскольку квадрат оператора импульса ${\hat {p}}^{2}$ четен, если потенциал V(r) четен, то гамильтониан ${\hat {H}}$ называется четным оператором. В этом случае, если каждое из его собственных значений невырождено, каждый собственный вектор обязательно является собственным состоянием P, и, следовательно, можно искать собственные состояния P. ${\hat {H}}$ среди четных и нечетных состояний. Однако если одно из собственных состояний энергии не имеет определенной четности , можно утверждать, что соответствующее собственное значение вырождено, и $P|\psi \rangle$ является собственным вектором ${\hat {H}}$ с тем же собственным значением, что и $|\psi \rangle$.

Вырождение и симметрия

Физической причиной вырождения квантовомеханической системы часто является наличие некоторой симметрии в системе. Изучение симметрии квантовой системы в некоторых случаях может позволить нам найти уровни энергии и вырождения без решения уравнения Шредингера, что сокращает усилия.

Математически связь вырождения с симметрией можно пояснить следующим образом. Рассмотрим операцию симметрии, с унитарным оператором S. связанную При такой операции новый гамильтониан связывается с исходным гамильтонианом преобразованием подобия , порождаемым оператором S , таким, что $H'=SHS^{-1}=SHS^{\dagger }$, поскольку S унитарно. Если гамильтониан остается неизменным при операции преобразования S , мы имеем

$${\begin{aligned}SHS^{\dagger }&=H\\[1ex]SHS^{-1}&=H\\[1ex]SH&=HS\\[1ex][S,H]&=0\end{aligned}}$$

Теперь, если $|\alpha \rangle$ является собственным энергетическим состоянием,

$$H|\alpha \rangle =E|\alpha \rangle$$

где E — соответствующее собственное значение энергии.

$$HS|\alpha \rangle =SH|\alpha \rangle =SE|\alpha \rangle =ES|\alpha \rangle$$

это означает, что $S|\alpha \rangle$ также является собственным состоянием энергии с тем же собственным значением E . Если два государства $|\alpha \rangle$ и $S|\alpha \rangle$ линейно независимы (т.е. физически различны), поэтому они вырождены.

В случаях, когда S характеризуется непрерывным параметром $\epsilon$, все состояния формы $S(\epsilon )|\alpha \rangle$ имеют одинаковое собственное значение энергии.

гамильтониана

Говорят, что совокупность всех операторов, коммутирующих с гамильтонианом квантовой системы, образует группу симметрии гамильтониана. Коммутаторы группы образующих этой определяют алгебру группы. n-мерное представление группы симметрии сохраняет таблицу умножения операторов симметрии. Возможные вырождения гамильтониана с определенной группой симметрии задаются размерностями неприводимых представлений группы. Собственные функции, соответствующие n-кратно вырожденному собственному значению, составляют основу n-мерного неприводимого представления группы симметрии гамильтониана.

Виды вырождения

Вырождения в квантовой системе могут носить систематический или случайный характер.

или

Это также называется геометрическим или нормальным вырождением и возникает из-за наличия некоторой симметрии в рассматриваемой системе, т. е. инвариантности гамильтониана относительно определенной операции, как описано выше. Представление, полученное в результате нормального вырождения, неприводимо, и соответствующие собственные функции составляют основу этого представления.

Случайное вырождение

Это тип вырождения, возникающий из-за некоторых особенностей системы или функциональной формы рассматриваемого потенциала и связанный, возможно, со скрытой динамической симметрией в системе. Это также приводит к сохранению количеств, которые часто нелегко идентифицировать. Случайные симметрии приводят к этим дополнительным вырождениям в дискретном энергетическом спектре. Случайное вырождение может быть связано с тем, что группа гамильтониана неполна. Эти вырождения связаны с существованием связанных орбит в классической физике.

: потенциалы Кулона и гармонического

Для частицы в центральном 1/ r- потенциале вектор Лапласа-Рунге-Ленца является сохраняющейся величиной, возникающей в результате случайного вырождения в дополнение к сохранению углового момента из -за вращательной инвариантности.

Для частицы, движущейся по конусу под действием 1/ r и r ² потенциалов, сосредоточенных на вершине конуса, сохраняющимися величинами, соответствующими случайной симметрии, будут две компоненты эквивалента вектора Рунге-Ленца в дополнение к одной компоненте вектора углового момента. Эти величины порождают SU(2) -симметрию для обоих потенциалов.

Пример: Частица в постоянном магнитном поле

Частица, движущаяся под действием постоянного магнитного поля, совершающая циклотронное движение по круговой орбите, является еще одним важным примером случайной симметрии. симметрии Мультиплетами в этом случае являются уровни Ландау бесконечно вырожденные .

Примеры

Атом водорода

Основная статья: Атом водорода

В атомной физике связанные состояния электрона в атоме водорода показывают нам полезные примеры вырождения. В этом случае гамильтониан коммутирует с полным орбитальным угловым моментом ${\hat {L}}^{2}$, его составляющая по направлению z, ${\hat {L}}_{z}$, полный спиновый угловой момент ${\hat {S}}^{2}$ и его z-компонента ${\hat {S}}_{z}$. Квантовые числа, соответствующие этим операторам, равны $\ell$, $m_{\ell }$, $s$ (всегда 1/2 для электрона) и $m_{s}$ соответственно.

Энергетические уровни в атоме водорода зависят только от главного квантового числа n . Для данного n все состояния, соответствующие $\ell =0,\ldots ,n-1$ имеют одинаковую энергию и вырождены. Аналогично для заданных n и ℓ значений $(2\ell +1)$, государства с $m_{\ell }=-\ell ,\ldots ,\ell$ вырождаются. степень вырождения уровня энергии En _равна Поэтому

$$\sum _{\ell \mathop {=} 0}^{n-1}(2\ell +1)=n^{2},$$

которое удваивается, если учесть спиновое вырождение.

Вырождение по отношению к $m_{\ell }$ есть существенное вырождение, которое присутствует для любого центрального потенциала и возникает из-за отсутствия выделенного пространственного направления. Вырождение по отношению к $\ell$ часто описывается как случайное вырождение, но его можно объяснить с точки зрения особой симметрии уравнения Шредингера, которая справедлива только для атома водорода, в котором потенциальная энергия определяется законом Кулона .

трехмерный

Это бесспиновая частица массы m, движущаяся в трехмерном пространстве под действием центральной силы , абсолютное значение которой пропорционально расстоянию частицы от центра силы.

$$F=-kr$$

Его называют изотропным, поскольку потенциал $V(r)$ действующее на него вращательно-инвариантно, т. е.

$$V(r)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}$$

где $\omega$ угловая частота, определяемая выражением ${\textstyle {\sqrt {k/m}}}$.

Поскольку пространство состояний такой частицы представляет собой тензорное произведение пространств состояний, связанных с отдельными одномерными волновыми функциями, независимое от времени уравнение Шредингера для такой системы имеет вид:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{m\omega ^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\psi }=E\psi$$

Итак, собственные значения энергии равны

$$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega$$

или,

$$E_{n}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega$$

где n — неотрицательное целое число.Итак, уровни энергии вырождены и степень вырождения равна числу различных множеств $\{n_{x},n_{y},n_{z}\}$ удовлетворяющий

$$n_{x}+n_{y}+n_{z}=n$$

Вырождение $n$-е состояние можно найти, рассматривая распределение $n$ кванты через $n_{x}$, $n_{y}$ и $n_{z}$. Имея 0 в $n_{x}$ дает $n+1$ возможности распространения по $n_{y}$ и $n_{z}$. Имея 1 квант $n_{x}$ дает $n$ возможности по всему $n_{y}$ и $n_{z}$ и так далее. Это приводит к общему результату $n-n_{x}+1$ и суммируем все $n$ приводит к дегенерации $n$-е государство,

$$\sum _{n_{x}=0}^{n}(n-n_{x}+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$$

Для основного состояния $n=0$, вырождение $1$ поэтому государство невырождено. Для всех высших состояний вырождение больше 1, поэтому состояние вырождено.

Устранение вырождения

Вырождение в квантово-механической системе можно устранить, если лежащая в ее основе симметрия нарушается внешним возмущением . Это вызывает расщепление вырожденных энергетических уровней. По сути, это расщепление исходных неприводимых представлений на такие представления возмущенной системы меньшей размерности.

Математически расщепление из-за применения небольшого потенциала возмущения можно рассчитать с помощью независимой от времени вырожденной теории возмущений . Это аппроксимационная схема, которую можно применить для нахождения решения уравнения на собственные значения для гамильтониана H квантовой системы с приложенным возмущением по заданному решению гамильтониана H ₀ для невозмущенной системы. Он включает в себя разложение собственных значений и собственных чисел гамильтониана H в ряд теории возмущений. Вырожденные собственные состояния с заданным собственным значением энергии образуют векторное подпространство, но не каждый базис собственных состояний этого пространства является хорошей отправной точкой для теории возмущений, поскольку обычно рядом с ними не может быть никаких собственных состояний возмущенной системы. Правильный выбор базиса — это тот, который диагонализует гамильтониан возмущения внутри вырожденного подпространства.

showСнятие вырождения с помощью вырожденной теории возмущений первого порядка.

Consider an unperturbed Hamiltonian ${\hat {H_{0}}}$ and perturbation ${\hat {V}}$, so that the perturbed Hamiltonian $${\hat {H}}={\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}$$ The perturbed eigenstate, for no degeneracy, is given by- $$|\psi _{0}\rangle =|n_{0}\rangle +\sum _{k\neq 0}V_{k0}/(E_{0}-E_{k})|n_{k}\rangle$$ The perturbed energy eigenket as well as higher order energy shifts diverge when $E_{0}=E_{k}$, i.e., in the presence of degeneracy in energy levels. Assuming ${\hat {H_{0}}}$ possesses N degenerate eigenstates $|m\rangle$ with the same energy eigenvalue E, and also in general some non-degenerate eigenstates. A perturbed eigenstate $|\psi _{j}\rangle$ can be written as a linear expansion in the unperturbed degenerate eigenstates as- $$|\psi _{j}\rangle =\sum _{i}|m_{i}\rangle \langle m_{i}|\psi _{j}\rangle =\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle$$ $$[{\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}]\psi _{j}\rangle =[{\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}]\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle =E_{j}\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle$$ where $E_{j}$ refer to the perturbed energy eigenvalues. Since $E$ is a degenerate eigenvalue of ${\hat {H_{0}}}$, $$\sum _{i}c_{ji}{\hat {V}}|m_{i}\rangle =(E_{j}-E)\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle =\Delta E_{j}\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle$$ Premultiplying by another unperturbed degenerate eigenket $\langle m_{k}|$ gives- $$\sum _{i}c_{ji}[\langle m_{k}|{\hat {V}}|m_{i}\rangle -\delta _{ik}(E_{j}-E)]=0$$ This is an eigenvalue problem, and writing $V_{ik}=\langle m_{i}|{\hat {V}}|m_{k}\rangle$, we have- $${\begin{vmatrix}V_{11}-\Delta E_{j}&V_{12}&\dots &V_{1N}\\V_{21}&V_{22}-\Delta E_{j}&\dots &V_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\V_{N1}&V_{N2}&\dots &V_{NN}-\Delta E_{j}\end{vmatrix}}.$$ The N eigenvalues obtained by solving this equation give the shifts in the degenerate energy level due to the applied perturbation, while the eigenvectors give the perturbed states in the unperturbed degenerate basis $|m\rangle$. To choose the good eigenstates from the beginning, it is useful to find an operator ${\hat {V}}$ which commutes with the original Hamiltonian ${\hat {H_{0}}}$ and has simultaneous eigenstates with it.

вырождения

Ниже приведены некоторые важные примеры физических ситуаций, когда вырожденные энергетические уровни квантовой системы расщепляются под действием внешнего возмущения.

Нарушение симметрии в двухуровневых системах

См. Также: Избегание пересечения § В двух государственных системах.

Двухуровневая система по существу относится к физической системе, имеющей два состояния, энергии которых близки друг к другу и сильно отличаются от энергий других состояний системы. Все расчеты для такой системы выполняются на двумерном подпространстве пространства состояний.

Если основное состояние физической системы двукратно вырождено, любая связь между двумя соответствующими состояниями снижает энергию основного состояния системы и делает ее более стабильной.

Если $E_{1}$ и $E_{2}$ — энергетические уровни системы такие, что $E_{1}=E_{2}=E$, и возмущение $W$ представлена ​​в двумерном подпространстве в виде следующей матрицы 2×2

$$\mathbf {W} ={\begin{bmatrix}0&W_{12}\\[1ex]W_{12}^{*}&0\end{bmatrix}}.$$

тогда возмущенные энергии равны

$${\begin{aligned}E_{+}&=E+|W_{12}|\\E_{-}&=E-|W_{12}|\end{aligned}}$$

Примеры систем с двумя состояниями, в которых вырождение энергетических состояний нарушается наличием недиагональных членов в гамильтониане, возникающих в результате внутреннего взаимодействия из-за внутреннего свойства системы, включают:

• Бензол с двумя возможными расположениями трех двойных связей между соседними атомами углерода .
• Молекула аммиака , в которой атом азота может находиться как выше, так и ниже плоскости, определяемой тремя атомами водорода .
• ЧАС ⁺
  ₂ молекулы, в которой электрон может быть локализован вокруг любого из двух ядер.

Расщепление тонкой структуры

Основная статья: Тонкая структура

Поправки к кулоновскому взаимодействию между электроном и протоном в атоме водорода, обусловленные релятивистским движением и спин-орбитальным взаимодействием, приводят к нарушению вырождения по уровням энергии для различных значений l, соответствующих одному главному квантовому числу n .

Гамильтониан возмущения, обусловленный релятивистской поправкой, имеет вид

$$H_{r}=-p^{4}/8m^{3}c^{2}$$

где $p$ является оператором импульса и $m$ это масса электрона. Релятивистская энергетическая поправка первого порядка в $|nlm\rangle$ основа дана

$$E_{r}=\left(-1/8m^{3}c^{2}\right)\left\langle n\ell m\right|p^{4}\left|n\ell m\right\rangle$$

Сейчас $p^{4}=4m^{2}(H^{0}+e^{2}/r)^{2}$

$${\begin{aligned}E_{r}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left[E_{n}^{2}+2E_{n}e^{2}\left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle +e^{4}\left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle \right]\\&=-{\frac {1}{2}}mc^{2}\alpha ^{4}\left[-3/(4n^{4})+1/{n^{3}(\ell +1/2)}\right]\end{aligned}}$$

где $\alpha$ – постоянная тонкой структуры .

Под спин-орбитальным взаимодействием понимается взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, испытываемым им вследствие относительного движения с протоном. Гамильтониан взаимодействия

$$H_{so}=-{\frac {e}{mc}}{\frac {\mathbf {m} \cdot \mathbf {L} }{r^{3}}}={\frac {e^{2}}{m^{2}c^{2}r^{3}}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {L}$$

который можно записать как

$$H_{so}={\frac {e^{2}}{4m^{2}c^{2}r^{3}}}\left[J^{2}-L^{2}-S^{2}\right]$$

Энергетическая поправка первого порядка в $|j,m,\ell ,1/2\rangle$ базисе, где гамильтониан возмущения диагональен, определяется выражением

$$E_{so}={\frac {\hbar ^{2}e^{2}}{4m^{2}c^{2}}}{\frac {j(j+1)-\ell (\ell +1)-{\frac {3}{4}}}{a_{0}^{3}n^{3}\ell (\ell +{\frac {1}{2}})(\ell +1)}}$$

где $a_{0}$ — радиус Бора .Полный сдвиг энергии тонкой структуры определяется выражением

$$E_{fs}=-{\frac {mc^{2}\alpha ^{4}}{2n^{3}}}\left[1/(j+1/2)-3/4n\right]$$

для ${\textstyle j=\ell \pm {\tfrac {1}{2}}}$.

Эффект Зеемана

Основная статья: эффект Зеемана

Расщепление энергетических уровней атома при помещении его во внешнее магнитное поле из-за взаимодействия магнитного момента ${\vec {m}}$ атома с приложенным полем известен как эффект Зеемана .

Учитывая орбитальный и спиновый угловые моменты, $\mathbf {L}$ и $\mathbf {S}$соответственно одного электрона в атоме водорода, гамильтониан возмущения имеет вид

$${\hat {V}}=-(\mathbf {m} _{\ell }+\mathbf {m} _{s})\cdot \mathbf {B}$$

где $\mathbf {m} _{\ell }=-e\mathbf {L} /2m$ и $\mathbf {m} _{s}=-e\mathbf {S} /m$.Таким образом,

$${\hat {V}}={\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {B}$$

Теперь в случае эффекта Зеемана в слабом поле, когда приложенное поле слабо по сравнению с внутренним полем, спин-орбитальная связь и доминирует ${\textstyle \mathbf {L} }$ и ${\textstyle \mathbf {S} }$ отдельно не сохраняются. Хорошие квантовые числа — это n , ℓ , j и mj _{, и} на этом основании можно показать, что поправка на энергию первого порядка определяется выражением

$$E_{z}=-\mu _{B}g_{j}Bm_{j},$$

где $\mu _{B}={e\hbar }/2m$ называется магнетоном Бора . Таким образом, в зависимости от стоимости $m_{j}$, каждый вырожденный энергетический уровень распадается на несколько уровней.

Снятие вырождения внешним магнитным полем

сильном поле, когда приложенное поле достаточно сильное, так что орбитальный и спиновый угловые моменты разделяются, хорошими квантовыми числами теперь являются n , l , ml _{В случае эффекта Зеемана в} и m _s . Здесь L _z и S _z сохраняются, поэтому гамильтониан возмущения определяется выражением:

$${\hat {V}}=eB(L_{z}+2S_{z})/2m$$

предполагая, что магнитное поле направлено вдоль оси z . Так,

$${\hat {V}}=eB(m_{\ell }+2m_{s})/2m$$

Для каждого значения m _ℓ существует два возможных значения m _s , $\pm 1/2$.

Эффект Старка

Основная статья: Эффект Старка

Расщепление энергетических уровней атома или молекулы под действием внешнего электрического поля известно как эффект Штарка .

Для атома водорода гамильтониан возмущения имеет вид

$${\hat {H}}_{s}=-|e|Ez$$

если электрическое поле выбрано вдоль направления z .

Поправки к энергии, обусловленные приложенным полем, определяются математическим ожиданием ${\hat {H}}_{s}$ в $|n\ell m\rangle$ основе. Это можно показать с помощью правил отбора, что $\langle n\ell m_{\ell }|z|n_{1}\ell _{1}m_{\ell 1}\rangle \neq 0$ когда $\ell =\ell _{1}\pm 1$ и $m_{\ell }=m_{\ell 1}$.

Вырождение снимается только для некоторых состояний, подчиняющихся правилам отбора в первом порядке. Расщепление первого порядка по уровням энергии для вырожденных состояний $|2,0,0\rangle$ и $|2,1,0\rangle$, оба соответствующие n = 2, имеют вид $\Delta E_{2,1,m_{\ell }}=\pm |e|\hbar ^{2}/(m_{e}e^{2})E$.

См. также

• Плотность штатов

Дальнейшее чтение

• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк. Квантовая механика . Том. 1. Германн. ISBN  978-2-7056-8392-4 .
• Шанкар, Рамамурти (2013). Принципы квантовой механики . Спрингер. ISBN  978-1-4615-7675-4 .
• Ларсон, Рон ; Фалво, Дэвид К. (30 марта 2009 г.). Элементарная линейная алгебра, расширенное издание . Cengage Обучение. стр. 8–. ISBN  978-1-305-17240-1 .
• Хобсон; Райли (27 августа 2004 г.). Математические методы в физике и технике (ClPE) 2Ed . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-61296-8 .
• Тормозит (2005). Квантовая механика: ПК Хеммер . Академическое издательство «Тапир». Приложение 3: дополнение к разделам 3.1, 3.3 и 3.5. ISBN  978-82-519-2028-5 .
• Квантовое вырождение в двумерных системах, Дебнараян Яна, факультет физики Университетского колледжа науки и технологий.
• Аль-Хашими, Мунир (2008). Случайная симметрия в квантовой физике .