Мультиплет

В физике , и особенно в физике элементарных частиц , мультиплет — это пространство состояний для «внутренних» степеней свободы частицы, то есть степеней свободы, связанных с самой частицей, в отличие от «внешних» степеней свободы, таких как степень свободы частицы. положение в пространстве. Примерами таких степеней свободы являются состояние спина частицы в квантовой механике или состояние цвета , изоспина и гиперзаряда частиц в Стандартной модели физики элементарных частиц. Формально мы описываем это пространство состояний векторным пространством , в котором действует группа непрерывных симметрий.

Математическая формулировка

Математически мультиплеты описываются через представления группы Ли или соответствующей ей алгебры Ли и обычно используются для обозначения неприводимых представлений (для краткости irreps).

На уровне группы это тройка $(V,G,\rho )$ где

$V$ — векторное пространство над полем (в алгебраическом смысле) $K$ , обычно считается $K=\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$
$G$ является группой Ли. Часто это компактная группа Ли.
$\rho$ является групповым гомоморфизмом $G\rightarrow {\text{GL}}(V)$ , то есть карта из группы $G$ в пространство обратимых линейных отображений на $V$ . Эта карта должна сохранять структуру группы: для $g_{1},g_{2}\in G,$ у нас есть $\rho (g_{1}\cdot g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})$ .

На уровне алгебры это тройка $(V,{\mathfrak {g}},\rho )$ , где

$V$ все как прежде.
${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли. Часто это конечномерная алгебра Ли над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ .
$\rho$ является гомоморфизмом алгебры Ли ${\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)$ . Это линейное отображение, сохраняющее скобку Ли: при $X_{1},X_{2}\in {\mathfrak {g}},$ у нас есть $\rho ([X_{1},X_{2}])=[\rho (X_{1}),\rho (X_{2})]$ .

Символ $\rho$ используется как для алгебр Ли, так и для групп Ли, поскольку, по крайней мере, в конечной размерности, существует хорошо понятное соответствие между группами Ли и алгебрами Ли.

В математике принято называть гомоморфизм $\rho$ как представление, например, в предложении «рассмотрим представление» $\rho$ ', и векторное пространство $V$ называется «пространством представления». В физике иногда векторное пространство называют представлением, например, в предложении «мы моделируем частицу как трансформирующуюся в синглетном представлении» или даже для обозначения квантового поля, которое принимает значения в таком представлении, и физическое частицы, которые моделируются таким квантовым полем.

Для неприводимого представления $n$ -плет относится к $n$ размерное неприводимое представление. Как правило, группа может иметь несколько неизоморфных представлений одного и того же измерения, поэтому это не полностью характеризует представление. Исключением является ${\text{SU}}(2)$ который имеет ровно одно неприводимое представление размерности $n$ для каждого неотрицательного целого числа $n$ .

Например, рассмотрим реальное трехмерное пространство, $\mathbb {R} ^{3}$ . Группа трехмерных вращений SO(3) естественно действует на этом пространстве как группа $3\times 3$ матрицы. Эта явная реализация группы вращения известна как фундаментальное представление. $\rho _{\text{fund}}$ , так $\mathbb {R} ^{3}$ представляет собой пространство представления. Полные данные представительства $(\mathbb {R} ^{3},{\text{SO(3)}},\rho _{\text{fund}})$ . Поскольку размерность этого пространства представления равна 3, оно известно как тройное представление для ${\text{SO}}(3)$ , и это принято обозначать как $\mathbf {3}$ .

Приложение к теоретической физике

Что касается приложений к теоретической физике, мы можем ограничить наше внимание теорией представлений нескольких физически важных групп. Многие из них хорошо понимают теорию представления:

${\text{U}}(1)$ : Часть калибровочной группы Стандартной модели и калибровочной группы теорий электромагнетизма. Все Irreps являются одномерными и индексируются целыми числами. $\mathbb {Z}$ , заданный явно $\rho _{n}:{\text{U}}(1)\rightarrow {\text{GL}}(\mathbb {C} );e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }$ . Индекс можно понимать как номер витка карты.
${\text{SU}}(2)\cong {\text{Spin}}(3)$ : Входит в группу датчиков стандартной модели. Irreps индексируются неотрицательными целыми числами в $n\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ , с $n$ описывающее размерность представления или, при соответствующей нормализации, наивысший вес представления. В физике принято обозначать их полуцелыми числами. См. Теорию представлений SU(2) .
${\text{SO}}(3)$ : Группа вращений 3D-пространства. Irreps — это нечетные иррепы ${\text{SU}}(2)$
${\text{SU}}(3)$ : Входит в группу датчиков стандартной модели. Irreps — это индексированные пары неотрицательных целых чисел. $(m,n)$ , описывающий наивысший вес представления. См. коэффициенты Клебша-Гордана для SU(3) .
${\text{SO}}(1,3)$ : Группа Лоренца , линейные симметрии плоского пространства-времени. Все представления возникают как представления соответствующей спиновой группы. См. Теорию представлений группы Лоренца .
${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{Spin}}(1,3)$ : Спиновая группа ${\text{SO}}(1,3)$ . Irreps индексируются парами неотрицательных целых чисел. $(\mu ,\nu )$ , индексируя размерность представления.
${\text{E}}(1,3)\cong \mathbb {R} ^{1,3}\rtimes {\text{SO}}(1,3)$ : Группа Пуанкаре изометрий плоского пространства-времени. Это можно понять с точки зрения теории представлений вышеприведенных групп. См. классификацию Вигнера .

Все эти группы фигурируют в теории Стандартной модели. Для теорий, расширяющих эти симметрии, можно рассмотреть теорию представлений некоторых других групп:

Конформная симметрия: для псевдоевклидова пространства симметрии описываются конформной группой. ${\text{Conf}}(p,q)\cong O(p,q)/\mathbb {Z} _{2}$ .
Суперсимметрия: Симметрия, описываемая супергруппой.
Теории Великого объединения: Калибровочные группы, которые содержат калибровочную группу Стандартной модели в качестве подгруппы. Предлагаемые кандидаты включают в себя ${\text{SU}}(5),{\text{SO}}(10)$ и ${\text{E}}_{6}$ .

Физика

Квантовая теория поля

В квантовой физике математическое понятие обычно применяется к представлениям калибровочной группы . Например, ${\text{SU}}(2)$ Калибровочная теория будет иметь мультиплеты, представляющие собой поля , представление которых ${\text{SU}}(2)$ определяется одним полуцелым числом $s=:n/2$ , изоспин. Поскольку неприводимый ${\text{SU}}(2)$ представления изоморфны $n$ симметричной степени фундаментального представления, каждое поле имеет $n$ симметричные внутренние индексы.

Поля также преобразуются под представлениями группы Лоренца. ${\text{SO}}(1,3)$ или, в более общем смысле, его спиновая группа ${\text{Spin}}(1,3)$ который можно отождествить с ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ вследствие исключительного изоморфизма . Примеры включают скалярные поля , обычно обозначаемые $\phi$ , преобразующие в тривиальном представлении векторные поля $A_{\mu }$ (строго говоря, его правильнее было бы назвать ковекторным полем), которое преобразуется как 4-вектор, и спинорные поля $\psi _{\alpha }$ такие как спиноры Дирака или Вейля , которые преобразуются в представления ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ . Правый спинор Вейля преобразуется в фундаментальном представлении: $\mathbb {C} ^{2}$ , из ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ .

Помните, что помимо группы Лоренца поле может трансформироваться под действием калибровочной группы. Например, скалярное поле $\phi (x)$ , где $x$ является точкой пространства-времени, может иметь состояние изоспина, принимающее значения в фундаментальном представлении $\mathbb {C} ^{2}$ из ${\text{SU}}(2)$ . Затем $\phi (x)$ является векторной функцией пространства-времени, но ее все еще называют скалярным полем, поскольку она тривиально преобразуется при преобразованиях Лоренца.

В квантовой теории поля различные частицы соответствуют друг другу, причем калибровочные поля преобразуются в неприводимые представления внутренней группы и группы Лоренца. Таким образом, мультиплет также стал описывать набор субатомных частиц, описываемых этими представлениями.

Примеры

Самый известный пример — спиновый мультиплет , который описывает симметрию группового представления подгруппы SU(2) алгебры Лоренца , которая используется для определения спинового квантования. Спиновый синглет — это тривиальное представление, спиновый дублет — это фундаментальное представление , а спиновый триплет находится в векторном или присоединенном представлении .

В КХД , а именно в кварки находятся в мультиплете SU(3) трехмерном фундаментальном представлении.

Другое использование

Спектроскопия

В спектроскопии, особенно гамма-спектроскопии и рентгеновской спектроскопии , мультиплет представляет собой группу связанных или неразрешимых спектральных линий . Если количество неразрешенных линий невелико, их часто называют дублетными или триплетными пиками, тогда как мультиплет используется для описания групп пиков в любом количестве.

Ссылки

Георгий, Х. (1999). Алгебры Ли в физике элементарных частиц: от изоспина к унифицированным теориям (1-е изд.). ЦРК Пресс. https://doi.org/10.1201/9780429499210

См. также