Классификация Вигнера

В математике и теоретической физике . Вигнера используется классификация это классификация неотрицательных $~(~E\geq 0~)~$ энергетически неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре , имеющие либо конечные, либо нулевые собственные значения массы . (Эти унитарные представления бесконечномерны; группа не является полупростой и не удовлетворяет теореме Вейля о полной сводимости .) Оно было введено Юджином Вигнером для классификации частиц и полей в физике — см. статью «Физика частиц и теория представлений» . Он опирается на подгруппы-стабилизаторы этой группы, получившие название « маленьких групп Вигнера» различных массовых состояний.

группы Инварианты Казимира Пуанкаре: $~C_{1}=P^{\mu }\,P_{\mu }~,$ ( обозначение Эйнштейна ), где $P$ — оператор 4-импульса , а $~C_{2}=W^{\alpha }\,W_{\alpha }~,$ где $W$ — псевдовектор Паули–Любанского . Собственные значения этих операторов служат для обозначения представлений. Первое связано с квадратом массы, а второе — со спиральностью или спином .

Таким образом, физически релевантные представления могут быть классифицированы в зависимости от того, являются ли они

$~m>0~;$
$~m=0~$ но $~P_{0}>0~;\quad$ или ли
$~m=0~$ с $~P^{\mu }=0~,{\text{ for }}\mu =0,1,2,3~.$

Вигнер обнаружил, что безмассовые частицы фундаментально отличаются от массивных частиц.

Для первого случая: Обратите внимание, что собственное пространство (см. обобщенные собственные пространства неограниченных операторов ), связанное с $~P=(m,0,0,0)~$ является представлением SO (3) .

В лучевой интерпретации вместо этого можно перейти к Spin(3) . Итак, массивные состояния классифицируются неприводимым унитарным представлением Spin(3), которое характеризует их спин , и положительной массой $m$ .

Для второго случая: Посмотрите стабилизатор на; $~P=(k,0,0,-k)~.$

Это двойное накрытие SE (2) (см. проективное представление ). У нас есть два случая: один, когда неповторяющиеся повторения описываются целым кратным ⁠ 1/2 другой , а ⁠ называется спиральностью называется представлением «непрерывного спина».

Для третьего случая: Единственное конечномерное унитарное решение — это тривиальное представление, называемое вакуумом .

Массивные скалярные поля

В качестве примера представим неприводимое унитарное представление с $~m>0~,$ и $~s=0~.$ Оно соответствует пространству массивных скалярных полей .

Пусть $M$ — лист гиперболоида, определяемый следующим образом:

~P_{0}^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad

~P_{0}>0~.

Метрика Минковского ограничивается римановой метрикой на $M$ , придавая $M$ метрическую структуру гиперболического пространства , в частности, это гиперболоидная модель гиперболического пространства, см. в геометрии пространства Минковского доказательство . Группа Пуанкаре $P$ действует на $M,$ потому что (забывая действие подгруппы трансляции $ℝ 4$ со сложением внутри $P$ ) он сохраняет скалярное произведение Минковского и элемент $x$ подгруппы перевода $ℝ 4$ группы Пуанкаре действует на $~L^{2}(M)~$ путем умножения на подходящие фазовые множители $~\exp \left(-i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)~,$ где $~p\in M~.$ Эти два действия можно умело объединить, используя индуцированные представления , чтобы получить действие. действующий $P,$ на $~L^{2}(M)~,$ который сочетает в себе движения $M$ и умножение фаз.

Это дает действие группы Пуанкаре на пространстве функций, интегрируемых с квадратом, определенных на гиперповерхности $M$ в пространстве Минковского. Их можно рассматривать как меры, определенные в пространстве Минковского, которые сосредоточены на множестве $M,$ определяемом формулой

E^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad

~E~\equiv ~P_{0}>0~.

Преобразование Фурье (во всех четырех переменных) таких мер дает положительную энергию, ^{[ нужны разъяснения ]} конечноэнергетические решения уравнения Клейна–Гордона, определенного в пространстве Минковского, а именно

{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +m^{2}\psi =0,

без физических единиц. Таким образом, $~m>0,\quad s=0~$ неприводимое представление группы Пуанкаре реализуется ее действием на подходящее пространство решений линейного волнового уравнения.

Теория проективных представлений

С физической точки зрения нас интересуют неприводимые проективные унитарные представления группы Пуанкаре. Ведь два вектора в квантовом гильбертовом пространстве, отличающиеся умножением на константу, представляют одно и то же физическое состояние. Таким образом, два унитарных оператора, отличающиеся кратно единице, оказывают одинаковое действие на физические состояния. Следовательно, унитарные операторы, представляющие симметрию Пуанкаре, определены только с точностью до константы, и, следовательно, закон состава группы должен выполняться только до константы.

Согласно теореме Баргмана , каждое проективное унитарное представление группы Пуанкаре происходит из обычного унитарного представления ее универсального накрытия, которое является двойным накрытием. (Теорема Баргмана применима, поскольку двойное накрытие группы Пуанкаре не допускает нетривиальных одномерных центральных расширений .)

Переход к двойному покрытию важен, поскольку он допускает случаи вращения с полунечетным числом. Например, в случае положительной массы маленькой группой является SU(2), а не SO(3); тогда представления SU(2) включают как целочисленные, так и полунечетные случаи спина.

Поскольку общий критерий в теореме Баргмана не был известен, когда Вигнер проводил свою классификацию, ему пришлось вручную показать (раздел 5 статьи), что фазы в операторах можно выбирать так, чтобы они отражали закон композиции в группе, с точностью до знак, который затем учитывается переходом к двойному накрытию группы Пуанкаре.

Дальнейшая классификация

Из этой классификации исключены тахионные решения, решения без фиксированной массы, инфрачастицы без фиксированной массы и т. д. Такие решения имеют физическое значение при рассмотрении виртуальных состояний. Знаменитым примером является случай глубоко неупругого рассеяния , при котором виртуальный пространственный фотон обменивается между входящим лептоном и входящим адроном . Это оправдывает введение поперечно- и продольно-поляризованных фотонов и связанной с ними концепции поперечных и продольных структурных функций при рассмотрении этих виртуальных состояний как эффективных зондов внутреннего кваркового и глюонного содержания адронов. С математической точки зрения вместо обычной группы SO(3) , встречающейся в обычном массивном случае, рассмотренном выше, рассматривается группа SO(2,1). Это объясняет появление двух векторов поперечной поляризации $~\epsilon _{T}^{\lambda =1,2}~$ и $~\epsilon _{L}~$ которые удовлетворяют $~\epsilon _{T}^{2}=-1~$ и $~\epsilon _{L}^{2}=+1~,$ по сравнению с обычным случаем бесплатного $~Z_{0}~$ бозон, имеющий три вектора поляризации $~\epsilon _{T}^{\lambda }{\text{ for }}\lambda =1,2,3~;$ каждый из них удовлетворяет $~\epsilon _{T}^{2}=-1~.$

См. также

Ссылки

Баргманн, В .; Вигнер, EP (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 34 (5): 211–223. Бибкод : 1948PNAS...34..211B . дои : 10.1073/pnas.34.5.211 . ПМК 1079095 . ПМИД 16578292 .

Макки, Джордж (1978). Представления унитарных групп в физике, теории вероятностей и теории чисел . Серия конспектов лекций по математике. Том. 55. Издательская компания Бенджамина/Каммингса . ISBN 978-0805367034 .

Штернберг, Шломо (1994). «§3.9. Классификация Вигнера». Теория групп и физика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521248709 .

Тунг, Ву-Ки (1985). «Глава 10. Представления группы Лоренца и группы Пуанкаре; классификация Вигнера». Теория групп в физике . Всемирная научная издательская компания . ISBN 978-9971966577 .

Вайнберг, С. (2002). «Глава 2. Релятивистская квантовая механика». Квантовая теория полей . Том. I. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-55001-7 .

Вигнер, EP (1939). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца». Анналы математики . 40 (1): 149–204. Бибкод : 1939АнМат..40..149Вт . дои : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . МР 1503456 . S2CID 121773411 .