Хорошее квантовое число

В квантовой механике собственное значение $q$ наблюдаемого ​ $O$ называется хорошим квантовым числом, если наблюдаемое $O$ является константой движения . Другими словами, квантовое число является хорошим, если соответствующая наблюдаемая коммутирует с гамильтонианом . Если система начинается с собственного состояния с собственным значением $q$ по мере того, как система развивается во времени, и измерение , он остается в этом состоянии $O$ всегда дает одно и то же собственное значение $q$.

Хорошие квантовые числа часто используются для обозначения начальных и конечных состояний в экспериментах. Например, в коллайдерах частиц:

1. Частицы изначально готовятся в приближенных собственных состояниях импульса; импульс частицы является хорошим квантовым числом для невзаимодействующих частиц.
2. Частицы вынуждены сталкиваться. В этот момент импульс каждой частицы претерпевает изменения, и, следовательно, импульс частиц не является хорошим квантовым числом для взаимодействующих частиц во время столкновения.
3. Спустя значительное время после столкновения частицы измеряются в собственных состояниях импульса. Импульс каждой частицы стабилизировался и снова является хорошим квантовым числом спустя долгое время после столкновения.

Сохранение хороших квантовых чисел

Позволять $O$ — оператор коммутирующий , с гамильтонианом $H$. Это означает, что мы можем иметь общие собственные состояния $O$ и $H$. Предположим, что наша система находится в одном из этих общих собственных состояний. Если мы измерим $O$, это обязательно даст собственное значение $q$ (хорошее квантовое число). Кроме того, хорошо известен результат, что собственное состояние гамильтониана является стационарным состоянием : это означает, что даже если системе дать возможность развиваться в течение некоторого времени до проведения измерения, она все равно будет давать то же собственное значение. Следовательно, если наша система находится в общем собственном состоянии, ее собственные значения $O$ (хорошие квантовые числа) не изменятся со временем.

Состояния, которые можно обозначить хорошими квантовыми числами

Состояния , которые можно пометить хорошими квантовыми числами, являются состояниями гамильтониана собственными . Их еще называют стационарными состояниями . Они называются так потому, что система остается в том же состоянии с течением времени во всех наблюдаемых отношениях.

Такое состояние удовлетворяет:

${\hat {H}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle$,

где $|\Psi \rangle$ это квантовое состояние, ${\hat {H}}$ – гамильтонов оператор, а $E_{\Psi }$ - собственное энергетическое значение состояния $|\Psi \rangle$.

Эволюция состояния кет определяется уравнением Шрёдингера :

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle$

Он дает временную эволюцию состояния системы как:

$|\Psi (t)\rangle =e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }|\Psi (0)\rangle$

Эволюция во времени включает в себя только устойчивое изменение сложного фазового фактора , которое невозможно наблюдать. Само государство остается прежним.

Атом водорода

Атом водорода: нет спин-орбитального взаимодействия.

В случае атома водорода (в предположении отсутствия спин-орбитальной связи ) наблюдаемыми, коммутирующими с гамильтонианом, являются орбитальный угловой момент , спиновый угловой момент, сумма спинового углового момента и орбитального углового момента, и тот $z$ компоненты указанных выше угловых моментов. Таким образом, хорошие квантовые числа в этом случае (которые являются собственными значениями этих наблюдаемых) равны $l,j,m_{\text{l}},m_{s},m_{j}$. Мы опустили $s$, поскольку для электрона он всегда постоянен и не имеет никакого значения с точки зрения маркировки состояний.

Однако все хорошие квантовые числа в приведенном выше случае атома водорода (с незначительной спин-орбитальной связью), а именно $l,j,m_{\text{l}},m_{s},m_{j}$ не может использоваться одновременно для указания состояния. Именно здесь CSCO (Полный набор наблюдаемых для поездок на работу) в игру вступает . Вот некоторые общие результаты, имеющие общее значение:

1. Определенное количество хороших квантовых чисел можно использовать для однозначного определения определенного квантового состояния только тогда, когда наблюдаемые, соответствующие хорошим квантовым числам, образуют CSCO.
2. Если наблюдаемые коммутируют, но не образуют CSCO, то их хорошие квантовые числа относятся к набору состояний. В этом случае они не относятся к государству однозначно.
3. Если наблюдаемые не коммутируют, их нельзя использовать даже для обозначения какого-либо набора состояний, не говоря уже о каком-либо уникальном состоянии.

В случае атома водорода $L^{2},J^{2},L_{z},J_{z}$ не формируйте коммутирующий набор. Но $n,l,m_{\text{l}},m_{s}$ являются квантовыми числами CSCO. Итак, в данном случае они образуют набор хороших квантовых чисел. Сходным образом, $n,l,j,m_{\text{j}}$ тоже образуют набор хороших квантовых чисел.

Атом водорода: включено спин-орбитальное взаимодействие

Чтобы учесть спин-орбитальное взаимодействие, нам нужно добавить дополнительный член в гамильтониан

$\Delta H_{\text{SO}}={\frac {\alpha }{r^{3}}}\,{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {L}}$,

где префактор $\alpha$ определяет силу спин-орбитальной связи. Теперь новый гамильтониан с этим новым $\Delta H_{\text{SO}}$ термин не коммутирует с ${\boldsymbol {L}}$ и ${\boldsymbol {S}}$. Он ездит только с $L^{2}$, $S^{2}$, $J^{2}$ и ${\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {S}}$ , который является оператором полного углового момента . Другими словами, $m_{\text{l}},m_{s}$ уже не являются хорошими квантовыми числами, а $l,s,j,m_{\text{j}}$ (помимо главного квантового числа $n$).

А поскольку для обозначения собственных состояний используются хорошие квантовые числа, соответствующие интересующие формулы выражаются через них. Например, математическое ожидание энергии спин-орбитального взаимодействия определяется выражением

$\langle n,l,s,j,m_{j}|\Delta H_{\text{SO}}|n,l,s,j,m_{j}\rangle ={\beta \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))$

где

$\beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\mu _{0} \over 4{\pi }^{4}}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}$

Приведенные выше выражения содержат хорошие квантовые числа, характеризующие собственное состояние.

См. также

• Полный набор коммутирующих наблюдаемых
• Гамильтониан (квантовая механика)
• Стационарное состояние
• Постоянная движения
• Квантовое число
• Измерение в квантовой механике
• Теорема Эренфеста
• Оператор (физика)