Первое квантование

Первое квантование — это процедура преобразования уравнений классических уравнений частиц в квантовые волновые уравнения. Сопутствующая концепция вторичного квантования преобразует классические уравнения поля в квантовые уравнения поля.

Однако это не обязательно так. В частности, полностью квантовая версия теории может быть создана путем интерпретации взаимодействующих полей и связанных с ними потенциалов как операторов умножения при условии, что потенциал записан в канонических координатах , совместимых с евклидовыми координатами стандартной классической механики . Первое квантование подходит для изучения одной квантово-механической системы (не путать с одночастичной системой, поскольку одна квантовая волновая функция описывает состояние одной квантовой системы, которая может иметь сколь угодно много сложных составных частей и эволюция которой задается всего одним несвязанным уравнением Шредингера ), управляемым лабораторными приборами, которые управляются классической механикой , например, старомодным вольтметром (лишенным современных полупроводниковых приборов, которые полагаются на квантовую теорию - однако, хотя этого достаточно, это не необходимо), простой термометр, генератор магнитного поля и так далее.

История

Опубликованная в 1901 году, Макс Планк вывел существование и значение константы, теперь носящей его имя, рассматривая только закон смещения Вина , статистическую механику и теорию электромагнетизма . Четыре года спустя, в 1905 году, Альберт Эйнштейн пошел еще дальше, чтобы выяснить эту константу и ее глубокую связь с тормозным потенциалом электронов, испускаемых в результате фотоэлектрического эффекта. Энергия фотоэлектрического эффекта зависела не только от количества падающих фотонов (интенсивности света), но и от частоты света — нового явления в то время, благодаря которому Эйнштейн получил Нобелевскую премию по физике 1921 года. Тогда можно сделать вывод, что это было ключевое начало квантования, то есть дискретизации материи на фундаментальные составляющие.

Примерно восемь лет спустя Нильс Бор в 1913 году опубликовал свою знаменитую серию из трех частей, в которой, по сути, по указу, постулировал квантование углового момента в водороде и водородоподобных металлах. Фактически, орбитальный угловой момент $L$ (валентного) электрона принимает вид $L=l\hbar$, где $l$ предполагается целое число $0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots \,$. В оригинальном изложении орбитальный угловой момент электрона был назван $M$, постоянная Планка, разделенная на два пи как $M_{0}$и квантовое число или «подсчет количества проходов между стационарными точками», как первоначально заявил Бор, как: $\tau$. Более подробную информацию смотрите в ссылках выше.

Хотя позже будет показано, что это предположение не совсем верно, на самом деле оно оказывается довольно близким к правильному выражению для квантового числа (собственного значения) оператора орбитального углового момента для больших значений квантового числа. $l$, и действительно, это было частью собственного предположения Бора. Рассмотрим следствие предположения Бора $L^{2}=l^{2}\hbar ^{2}$и сравните его с правильной версией, известной сегодня как $L^{2}=l(l+1)\hbar ^{2}$. Очевидно, что для больших $l$, разницы мало, так же как и для $l=0$, эквивалентность точная. Не вдаваясь в дальнейшие исторические подробности, достаточно остановиться здесь и считать эту эпоху истории квантования «старой квантовой теорией », имея в виду период в истории физики, когда корпускулярная природа субатомных частиц стала играть все более важную роль. важную роль в понимании результатов физических экспериментов, обязательным завершением которых была дискретизация ключевых физических наблюдаемых величин. Однако, в отличие от эпохи, описанной ниже как эпоха первого квантования , эта эпоха была основана исключительно на чисто классических аргументах, таких как закон смещения Вина , термодинамика , статистическая механика и электромагнитная теория . Фактически наблюдение бальмеровской серии водорода в истории спектроскопии датируется еще 1885 годом.

Тем не менее, переломные события, которые впоследствии ознаменовали эпоху первого квантования , произошли в решающие годы, охватывающие 1925–1928 годы. Одновременно авторы Борн и Джордан в декабре 1925 г. вместе с Дираком также в декабре 1925 г. затем Шрёдингер в январе 1926 года, после этого Борн, Гейзенберг и Джордан в августе 1926 г. и, наконец, Дирак в 1928 году. Результатами этих публикаций стали три теоретических формализма, два из которых оказались эквивалентными: теория Борна, Гейзенберга и Йордана была эквивалентна теории Шрёдингера, а теория Дирака 1928 года стала рассматриваться как релятивистская версия двух предыдущих. Наконец, стоит упомянуть публикацию Гейзенберга и Паули в 1929 г. которое можно рассматривать как первую попытку « второго квантования » — термина, дословно использованного Паули в публикации Американского физического общества в 1943 году .

В целях разъяснения и понимания терминологии в ее развитии на протяжении истории достаточно закончить крупнейшую публикацию, которая помогла признать эквивалентность матричной механики Борна, Гейзенберга и Джордана 1925–1926 гг. волновому уравнению Шредингера 1926 г. Собрание и расширенные работы Джона фон Неймана показали, что обе теории математически эквивалентны. и именно это осознание сегодня понимается как первое квантование .

Качественные математические предварительные сведения

Чтобы понять термин «первое квантование», нужно сначала понять, что означает, что что-то вообще является квантовым. Классическая теория Ньютона представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка , которое дает детерминированную траекторию системы масс : $m$. Ускорение ​ , $a$, во Ньютона , втором законе движения $F=ma$, — вторая производная положения системы как функция времени. Поэтому естественно искать решения уравнения Ньютона, дифференцируемые как минимум второго порядка .

Квантовая теория кардинально отличается тем, что она заменяет физические наблюдаемые, такие как положение системы, время, в которое происходит это наблюдение, массу и скорость системы в момент наблюдения, понятием операторных наблюдаемых. Операторы как наблюдаемые меняют представление о том, что измеримо, и приводят к неизбежному выводу теории вероятностей Макса Борна. В рамках недетерминизма вероятность нахождения системы в определенном наблюдаемом состоянии определяется динамической плотностью вероятности, которая определяется как квадрат абсолютного значения решения уравнения Шредингера . Тот факт, что плотности вероятности интегрируемы и нормализуемы к единице, означает, что решения уравнения Шредингера должны быть интегрируемы с квадратом. Векторное пространство бесконечных последовательностей, сумма квадратов которых представляет собой сходящийся ряд, называется $\ell ^{2}$ (произносится как «маленький эл два»). Оно находится во взаимно однозначном соответствии с бесконечномерным векторным пространством функций, интегрируемых с квадратом: $L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$, из евклидова пространства $\mathbb {R} ^{d}$ на комплексную плоскость , $\mathbb {C}$. По этой причине, $\ell ^{2}$ и $L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$ часто без разбора называют «гильбертовым пространством». Это довольно вводит в заблуждение, поскольку $\mathbb {R} ^{d}$ также является гильбертовым пространством, если оно оснащено и дополнено евклидовым скалярным произведением , хотя и является конечномерным пространством.

Типы систем

И теория Ньютона, и теория Шредингера имеют в себе массовый параметр, и поэтому они могут, таким образом, описывать эволюцию совокупности масс или одной составляющей системы с одной общей массой, а также идеализированной отдельной частицы с идеализированной системой одной массы. Ниже приведены примеры различных типов систем.

Одночастичные системы

В общем, одночастичное состояние можно описать полным набором квантовых чисел, обозначаемых $\nu$. Например, три квантовых числа $n,l,m$ связанные с электроном в кулоновском потенциале , подобно атому водорода , образуют полный набор (без учета спина). Поэтому государство называется $|\nu \rangle$ и является собственным вектором оператора Гамильтона. Можно получить представление функции состояния состояния, используя $\psi _{\nu }(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\nu \rangle$. Все собственные векторы эрмитова оператора образуют полный базис, поэтому можно построить любое состояние. ${\textstyle |\psi \rangle =\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |\psi \rangle }$ получение соотношения полноты:

$\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |=\mathbf {I}$

Многие чувствовали, что все свойства частицы можно узнать, используя этот векторный базис, который здесь выражен с помощью нотации Дирака-Бракета . Однако это не обязательно должно быть правдой.

Многочастичные системы

При обращении к N -системам частиц, т. е. к системам, содержащим N одинаковых частиц, т. е. частиц, характеризующихся одинаковыми физическими параметрами, такими как масса , заряд и спин , расширение одночастичной функции состояния $\psi (\mathbf {r} )$ к N -частицы функции состояния $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})$ необходимо. Фундаментальное различие между классической и квантовой механикой касается концепции неразличимости идентичных частиц. Таким образом, в квантовой физике возможны только два вида частиц, так называемые бозоны и фермионы, которые подчиняются правилам:

$\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})$ (бозоны),

$\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})$ (фермионы).

Где мы поменяли местами две координаты $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$ государственной функции. Обычная волновая функция получается с использованием определителя Слейтера и теории тождественных частиц. Используя эту основу, можно решить любую многочастичную задачу, которая может быть четко и точно описана одной волновой функцией и одним диагонализируемым состоянием всей системы. С этой точки зрения первое квантование не является действительно многочастичной теорией, но понятие «система» также не обязательно должно состоять из одной частицы.

См. также

• Каноническое квантование
• Геометрическое квантование
• Квантование
• Второе квантование