Дифференцируемая функция
В математике дифференцируемая функция одной действительной переменной — это функция которой , производная существует в каждой точке ее области определения . Другими словами, график дифференцируемой функции имеет невертикальную касательную в каждой внутренней точке ее области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется линейной функцией в каждой внутренней точке) и не содержит излома, угла или точки возврата .
Если x0 если является внутренней точкой области определения функции f , то f называется дифференцируемой в точке , x0 производная существует. Другими словами, график f имеет невертикальную касательную в точке ( x 0 , f ( x 0 ) ) . Говорят, что f дифференцируема на U если она дифференцируема в каждой точке U. , f Говорят, что непрерывно дифференцируема , если ее производная также является непрерывной функцией в области определения функции . Вообще говоря, говорят, что f принадлежит к классу если это первый деривативы существуют и непрерывны в области определения функции .
Для функции многих переменных, как показано здесь , ее дифференцируемость — это нечто большее, чем существование ее частных производных.
Дифференцируемость вещественных функций одной переменной [ править ]
Функция , определенный на открытом множестве , называется дифференцируемым при если производная
существует. Это означает, что функция непрерывна в точке a .
Эту функцию f называют дифференцируемой на U , она дифференцируема в каждой точке U. если Таким образом , в этом случае производная f является функцией из U в
Непрерывная функция не обязательно дифференцируема, но дифференцируемая функция обязательно непрерывна (в каждой точке, где она дифференцируема), как показано ниже (в разделе «Дифференцируемость и непрерывность »). Функция называется непрерывно дифференцируемой, если ее производная также является непрерывной функцией; существуют функции, которые дифференцируемы, но не непрерывно дифференцируемы (пример приведен в разделе Классы дифференцируемости ).
и непрерывность Дифференцируемость
Если f дифференцируема в точке x0 точке , то f также должна непрерывной в x0 . быть В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно : непрерывная функция не обязательно должна быть дифференцируемой. Например, функция с изгибом, точкой возврата или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не может быть дифференцируемой в месте аномалии.
Большинство функций, встречающихся на практике, имеют производные во всех или почти в каждой точках. Однако результат Стефана Банаха утверждает, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным набором в пространстве всех непрерывных функций. [1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции весьма нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, является функция Вейерштрасса .
дифференцируемости Классы
Функция Говорят, что это непрерывно дифференцируема , если производная существует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеет скачкообразного разрыва , она может иметь существенный разрыв . Например, функция
Аналогично тому, как говорят, что непрерывные функции принадлежат классу о непрерывно дифференцируемых функциях иногда говорят, что они принадлежат к классу . Функция имеет класс если первая и вторая производные функции существуют и непрерывны. В более общем смысле говорят, что функция принадлежит классу если первый деривативы все существуют и непрерывны. Если производные существуют для всех положительных целых чисел функция гладкая или, что то же самое, класса
Дифференцируемость в измерениях высоких более
Функция нескольких действительных переменных f : R м → Р н называется дифференцируемым в точке x0 , если существует линейное отображение J : R м → Р н такой, что
Если функция дифференцируема в точке , x0 то все частные производные существуют в точке , x0 а линейное отображение J задается матрицей Якобиана , n × m в данном случае матрицей размера . Похожая формулировка многомерной производной обеспечивается фундаментальной леммой о приращении , найденной в исчислении с одной переменной.
Если все частные производные функции существуют в окрестности точки x0 , то и непрерывны в точке x0 точке функция дифференцируема в x0 . этой
Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлению ) не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция f : R 2 → R определяется формулой
не дифференцируема в точке (0, 0) , но все частные производные и производные по направлению существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция
не дифференцируема в точке (0, 0) , но опять же существуют все частные производные и производные по направлению.
Дифференцируемость в комплексном анализе [ править ]
В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и действительные функции с одной переменной. Это допускается благодаря возможности деления комплексных чисел . Итак, функция называется дифференцируемым при когда
Хотя это определение похоже на дифференцируемость действительных функций с одной переменной, однако оно является более ограничительным условием. Функция , комплексно-дифференцируемый в точке автоматически дифференцируема в этой точке, если рассматривать ее как функцию . Это связано с тем, что комплексная дифференцируемость подразумевает, что
Однако функция может быть дифференцируемой как функция многих переменных, но не является комплексно-дифференцируемой. Например, с двумя переменными дифференцируема в каждой точке и рассматривается как действительная функция , но он не является комплексно-дифференцируемым в любой точке, поскольку предел не существует (например, зависит от угла подхода).
Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична .
Дифференцируемые функции на многообразиях [ править ]
Если M — дифференцируемое многообразие , действительная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p . Если M и N — дифференцируемые многообразия, функция f : M → N называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг p и f ( p ).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Банах, С. (1931). «О байровской категории некоторых множеств функций» . Студия Математики 3 (1): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 . . Цитируется Хьюитт, Э; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Спрингер-Верлаг. Теорема 17.8.