Принцип соответствия

Чтобы узнать о других значениях, см. Принцип соответствия (значения) .

В физике — принцип соответствия это одна из нескольких предпосылок или утверждений о взаимосвязи между классической и квантовой механикой . Физик Нильс Бор ввёл этот термин в 1920 году. во время раннего развития квантовой теории ; он использовал его, чтобы объяснить, как квантованные классические орбитали связаны с квантовым излучением. Современные источники часто используют этот термин для обозначения идеи о том, что поведение систем, описываемых квантовой теорией, воспроизводит классическую физику в пределе больших квантовых чисел : для больших орбит и больших энергий квантовые расчеты должны согласовываться с классическими расчетами. «Обобщенный» принцип соответствия относится к требованию широкого набора связей между любой старой и новой теорией.

История

Макс Планк был первым, кто представил идею квантов энергии в 1900 году, изучая излучение черного тела . В 1906 году он также был первым, кто написал, что квантовая теория должна восстановить классическую механику в некотором пределе, особенно когда постоянная Планка h стремится к нулю. С помощью этой идеи он показал, что закон Планка для теплового излучения приводит к закону Рэлея-Джинса , классическому предсказанию (действительному для больших длин волн ).

Нильс Бор использовал аналогичную идею, разрабатывая свою модель атома . В 1913 году он выдвинул первые постулаты того, что сейчас известно как старая квантовая теория . Используя эти постулаты, он получил, что для атома водорода энергетический спектр приближается к классическому континууму при больших n (квантовое число, которое кодирует энергию орбиты). Бор ввел термин «принцип соответствия» во время лекции в 1920 году.

Арнольд Зоммерфельд усовершенствовал теорию Бора, приведя к условию квантования Бора-Зоммерфельда . В 1921 году Зоммерфельд назвал принцип соответствия волшебной палочкой Бора ( нем . Bohrs Zauberstab ).

Принцип соответствия Бора

Зародыши принципа соответствия Бора возникли из двух источников. Сначала Зоммерфельд и Макс Борн разработали «процедуру квантования», основанную на переменных угла действия классической гамильтоновой механики. Это дало математическое обоснование стационарных состояний Бора-Зоммерфельда модели атома . Вторым семенем стал Альбертом Эйнштейном квантовый вывод закона Планка, сделанный в 1916 году. Эйнштейн разработал статистическую механику для атомов модели Бора, взаимодействующих с электромагнитным излучением, что приводит к поглощению и двум видам излучения: спонтанному и вынужденному излучению . Но для Бора важным результатом стало использование классических аналогий и атомной модели Бора для исправления несоответствий в выводе Планком формулы излучения черного тела.

Бор использовал слово « соответствие », выделенное курсивом в лекциях и письме, прежде чем назвать его принципом соответствия. Он рассматривал это как соответствие между квантовым движением и излучением, а не между классической и квантовой теориями. В 1920 г. он пишет, что существует «далеко идущее соответствие между различными типами возможных переходов между стационарными состояниями, с одной стороны, и различными гармоническими составляющими движения, с другой стороны».

Первая статья Бора, содержащая определение принципа соответствия был в 1923 году в обзорной статье, озаглавленной (в английском переводе) «О применении квантовой теории к атомной структуре». В главе II «Процесс излучения» он определяет свой принцип соответствия как условие, связывающее гармонические составляющие момента электрона с возможным возникновением радиационного перехода. Говоря современным языком, это условие представляет собой правило отбора , говорящее, что данный квантовый скачок возможен тогда и только тогда, когда определенный тип движения существует в соответствующей классической модели.

Следуя своему определению принципа соответствия, Бор описывает два применения. Сначала он показывает, что частота испускаемого излучения связана с интегралом, который хорошо аппроксимируется суммой, когда квантовые числа внутри интеграла велики по сравнению с их разностями. Аналогичным образом он показывает взаимосвязь интенсивностей спектральных линий и, следовательно, скорости возникновения квантовых скачков.Эти асимптотические соотношения выражаются Бором как следствия его общего принципа соответствия. Однако исторически каждое из этих приложений называлось «принципом соответствия».

В докторской диссертации Ганса Крамерса, работавшего в группе Бора в Копенгагене, принцип соответствия Бора был применен для объяснения всех известных фактов спектроскопического эффекта Штарка , включая некоторые спектральные компоненты, неизвестные во время работы Крамерса. Зоммерфельд скептически относился к принципу соответствия, поскольку он не казался следствием фундаментальной теории; работа Крамеров убедила его, что этот принцип, тем не менее, имеет эвристическую полезность. Эту концепцию подхватили и другие физики, в том числе работы Джона Ван Флека , Крамерса и Гейзенберга по теории дисперсии . Этот принцип стал краеугольным камнем полуклассической атомной теории Бора-Зоммерфельда;Нобелевская премия 1922 года была присуждена Бору частично за работу по принципу заочного письма.

Несмотря на успехи, физические теории, основанные на этом принципе, в начале 1920-х годов столкнулись с растущими проблемами. Ван Флека и Крамерса потенциала ионизации гелия Теоретические расчеты существенно расходились с экспериментальными значениями. Бор, Крамерс и Джон Слейтер ответили новым теоретическим подходом, который теперь называется теорией БКС, основанным на принципе соответствия, но отрицающим сохранение энергии . Эйнштейн и Вольфганг Паули раскритиковали новый подход, а эксперимент по совпадению Боте-Гейгера показал, что энергия сохраняется при квантовых столкновениях.

Поскольку существующие теории противоречили наблюдениям, возникли две новые концепции квантовой механики. Гейзенберга в Umdeutung Во-первых, статья 1925 года о матричной механике была вдохновлена ​​принципом соответствия, он не цитировал Бора. Дальнейшая разработка в сотрудничестве с Паскуалем Джорданом и Максом Борном привела к созданию математической модели, не связанной с принципом. Во-вторых, волновая механика Шрёдингера в следующем году также не использовала этот принцип. Позже было показано, что обе картины эквивалентны и достаточно точны, чтобы заменить старую квантовую теорию. Эти подходы не имеют атомных орбит: соответствие является скорее аналогией, чем принципом.

Переписка Дирака

Поль Дирак разработал значительную часть новой квантовой теории во второй половине 1920-х годов. Хотя он и не применил принцип соответствия Бора, он разработал другое, более формальное классико-квантовое соответствие. Дирак соединил структуры классической механики, известные как скобки Пуассона , с аналогичной структурой квантовой механики, известной как коммутаторы : $$\{A,B\}\longmapsto {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}].$$С помощью этого соответствия, которое теперь называется каноническим квантованием , Дирак показал, как математическая форма классической механики может быть преобразована в основу новой математики квантовой механики.

Дирак развил эти связи, изучая работы Гейзенберга и Крамерса о дисперсии, работы, которые были непосредственно построены на принципе соответствия Бора; Подход Дирака обеспечивает математически обоснованный путь к цели Бора, заключающейся в установлении связи между классической и квантовой механикой. Хотя Дирак не называл это соответствие «принципом», в учебниках физики его связи называются «принципом соответствия».

Классический предел волновой механики

Основная статья: Классический предел

Выдающийся успех классической механики в описании природных явлений вплоть до XX века означает, что и квантовая механика должна добиться того же успеха в аналогичных обстоятельствах.

Судя по опыту, законы классической физики блестяще оправдали себя во всех процессах движения… Поэтому необходимо выдвинуть как безусловно необходимый постулат, что новая механика… должна во всех этих задачах достигать тех же результатов, что и классическая механика.

— Макс Борн, 1933 г.

Один из способов количественного определения этой концепции — потребовать, чтобы квантово-механические теории давали результаты классической механики, когда квант действия стремится к нулю. $\hbar \rightarrow 0$. Этот переход может быть осуществлен двумя разными способами.

Во-первых, частицу можно аппроксимировать волновым пакетом и пренебречь неопределенным разбросом пакета во времени. В 1927 году Пауль Эренфест доказал свою одноименную теорему , которая показала, что законы движения Ньютона в среднем выполняются в квантовой механике: квантовое статистическое математическое ожидание положения и импульса подчиняется законам Ньютона.

Во-вторых, представление об отдельных частицах можно заменить статистической смесью классических частиц с плотностью, соответствующей квантовой плотности вероятности. Этот подход привел к концепции квазиклассической физики , начиная с развития приближения ВКБ, в описании квантового туннелирования . используемого , например,

Современный вид

Хотя Бор рассматривал «соответствие» как принцип, помогающий его описанию квантовых явлений, фундаментальные различия между математической структурой квантовой и классической механики во многих случаях препятствуют соответствию. , «в некоторых ситуациях между классическими и квантовыми концепциями может существовать приблизительное соответствие, а не принцип» . физика Ашера Переса По словам Поскольку квантовая механика действует в дискретном пространстве, а классическая механика — в непрерывном, любое соответствие обязательно будет нечетким и неуловимым.

Вводные учебники по квантовой механике предполагают, что квантовая механика переходит к классической теории в пределе больших квантовых чисел. или в пределе, когда постоянная Планка в квантовой формуле снижается до нуля, $\hbar \rightarrow 0$. Однако такая переписка не всегда возможна. Например, классические системы могут иметь хаотические орбиты, которые расходятся, но квантовые состояния унитарны и поддерживают фиксированное перекрытие.

Обобщенный принцип соответствия

Термин «принцип обобщенного соответствия» использовался при изучении истории науки для обозначения сведения новой научной теории к более ранней научной теории в соответствующих обстоятельствах. Это требует, чтобы новая теория объясняла все явления при обстоятельствах, для которых было известно, что предыдущая теория справедлива; это также означает, что новая теория сохранит значительную часть старой теории. Обобщенный принцип применяет соответствие между аспектами всей теории, а не только к одной формуле, как в классическом предельном соответствии. Например, Альберт Эйнштейн в своей работе по теории относительности 1905 года отметил, что классическая механика опирается на теорию относительности Галилея, а электромагнетизм — нет, и тем не менее обе они работают хорошо. Он создал новую теорию, которая объединила их в систему, сводящуюся к этим отдельным теориям в приближениях.По иронии судьбы, единственным провалом концепции «обобщенного принципа соответствия» научных теорий является замена классической механики квантовой механикой.

См. также

• Квантовая декогеренция
• Классический предел
• Классическая плотность вероятности
• Неравенство Леггетта – Гарга