Классическая плотность вероятности

Классическая плотность вероятности — это функция плотности вероятности , которая представляет вероятность обнаружения частицы вблизи определенного места, подверженного потенциальной энергии в классической механической системе. Эти плотности вероятности помогают понять принцип соответствия и установить связь между изучаемой квантовой системой и классическим пределом . ^[1]^[2]^[3]

Математическая основа

Рассмотрим пример простого гармонического осциллятора, покоящегося с амплитудой $A.$ первоначально Предположим, что эта система была помещена внутри светонепроницаемого контейнера так, что ее можно было увидеть только с помощью камеры, которая может только делать снимки того, что происходит внутри. Каждый снимок имеет некоторую вероятность увидеть осциллятор в любой возможной позиции $x$ на его траектории. Классическая плотность вероятности инкапсулирует, какие позиции более вероятны, какие менее вероятны, среднее положение системы и так далее. Чтобы получить эту функцию, учтите тот факт, что позиции, в которых наиболее вероятно будет обнаружен осциллятор, — это те позиции, в которых осциллятор проводит большую часть своего времени. Действительно, вероятность достижения данного $значения x$ пропорциональна времени, проведенному вблизи этого $значения x$ . Если осциллятор проводит бесконечно малое количество времени $dt$ в окрестности $dx$ заданного $значения x$ , то вероятность $P (x) dx$ оказаться в этой окрестности будет равна

P(x)\,dx\propto dt.

Поскольку сила, действующая на осциллятор, консервативна и движение происходит в конечной области, движение будет циклическим с некоторым периодом, который будет обозначаться $T$ . Поскольку вероятность нахождения осциллятора в любом возможном положении между минимально возможным $значением x$ и максимально возможным $значением x$ должна в сумме равняться 1, нормализация

\int _{x_{\rm {min}}}^{x_{\rm {max}}}P(x)\,dx=1=N\int _{t_{i}}^{t_{f}}dt

используется, где $N$ — константа нормализации. Поскольку колеблющаяся масса охватывает этот диапазон положений за половину своего периода (полный период идет от $- A$ до $+ A$ , а затем обратно к $- A$ ), интеграл по $t$ равен $T /2$ , что устанавливает $N$ равным $2/ T$ .

Используя цепное правило , $dt$ можно выразить через высоту, на которой задерживается масса, заметив, что $dt = dx /(dx / dt)$ , поэтому наша плотность вероятности становится равной

P(x)\,dx={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{dx/dt}}={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{v(x)}},

где $v (x)$ — скорость осциллятора как функция его положения. (Обратите внимание: поскольку скорость является скалярной величиной, $v (x)$ одинакова для обоих полупериодов.) На этом этапе все, что необходимо, — это предоставить функцию $v (x)$ для получения $P (x)$ . Для систем, подверженных консервативным силам, это достигается путем соотнесения скорости с энергией. кинетическая энергия $K$ Поскольку $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2 mv 2$ и полную энергию $E = K + U$ , где $U (x)$ — потенциальная энергия системы, скорость можно записать как

v(x)={\sqrt {\frac {2K}{m}}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}[E-U(x)]}}.

Подстановка этого в наше выражение для $P (x)$ дает

P(x)={\frac {1}{T}}{\sqrt {\frac {2m}{E-U(x)}}}.

Хотя нашим стартовым примером был гармонический осциллятор, вся математика до этого момента была совершенно общей для частицы, на которую действует консервативная сила. Эту формулу можно обобщить для любой одномерной физической системы, подставив соответствующую функцию потенциальной энергии. это будет сделано, $P (x)$ будет легко получен для любой разрешенной энергии $E.$ Как только

Примеры

Простой гармонический генератор

Плотность вероятности состояния $n = 30$ квантового гармонического осциллятора. Сплошной график представляет квантовомеханическую плотность вероятности, а пунктирная линия представляет классическую плотность вероятности. Пунктирные вертикальные линии обозначают классические переломные моменты системы.

Начиная с примера, использованного в приведенном выше выводе, простой гармонический осциллятор имеет функцию потенциальной энергии

U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},

где $k$ — жесткость пружины генератора, а $ω = 2 π / T$ — собственная угловая частота генератора. Полная энергия осциллятора определяется путем оценки $U (x)$ в точках поворота $= \pm A.$ x Подстановка этого в выражение для $P (x)$ дает

P(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}.

Эта функция имеет две вертикальные асимптоты в точках поворота, что имеет физический смысл, поскольку точки поворота — это места, где осциллятор находится в состоянии покоя, и, следовательно, они, скорее всего, будут найдены вблизи этих $значений x$ . Обратите внимание, что даже несмотря на то, что функция плотности вероятности стремится к бесконечности, вероятность все равно конечна из-за площади под кривой, а не самой кривой, представляющей вероятность.

Прыгающий мяч

Функции плотности вероятности квантового (красного) и классического (черного) квантового прыгающего шарика для $n = 50$ . Поворотная точка здесь обозначена $z n$ (то, что в этом разделе называется $h$ ).

Для прыгающего мяча без потерь потенциальная энергия и полная энергия равны

U(z)=mgz,

E=mgh,

где $h$ — максимальная высота, достигнутая мячом. Подстановка их в $P (z)$ дает

P(z)={\frac {1}{2{\sqrt {h}}}}{\frac {1}{\sqrt {h-z}}},

где отношение $T={\sqrt {8h/g}}$ использовался для упрощения факторов. Область определения этой функции $z\in [0,h]$ (шар не проваливается сквозь пол при $z = 0$ ), поэтому распределение не симметрично, как в случае простого гармонического осциллятора. существует вертикальная асимптота $Опять же, в точке поворота z = h$ .

Распределение импульса в пространстве

Помимо рассмотрения распределения вероятностей в пространстве позиций , также полезно охарактеризовать систему на основе ее импульса. Следуя аналогичному аргументу, приведенному выше, результат: ^[2]

P(p)={\frac {2}{T}}{\frac {1}{|F(x)|}},

где $F (x) = - dU / dx$ — сила, действующая на частицу как функция положения. На практике эту функцию необходимо выразить через импульс $p$ путем замены переменных.

Простой гармонический генератор

На примере простого гармонического осциллятора, приведенного выше, потенциальную энергию и силу можно записать как

U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},

|F(x)|=|-kx|={\sqrt {2kU(x)}}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2mE-p^{2})}}.

Идентификация $(2 мЭ) 1/2 = p 0$ как максимальный импульс системы, это упрощается до

P(p)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {p_{0}^{2}-p^{2}}}}.

Обратите внимание, что это имеет ту же функциональную форму, что и распределение вероятностей в пространстве позиций. Это характерно для проблемы простого гармонического осциллятора и возникает из-за симметрии между $x$ и $p$ в уравнениях движения.

Прыгающий мяч

Пример с прыгающим мячом более прост, поскольку в этом случае сила постоянна,

F(x)=mg,

что приводит к функции плотности вероятности

P(p)={\frac {1}{m{\sqrt {8gh}}}}={\frac {1}{2p_{0}}}{\text{ for }}|p|<p_{0},

где $р 0 = м (2 gh) 1/2$ - максимальный импульс мяча. В этой системе все импульсы равновероятны.

См. также

Ссылки

^ Гриффитс, Дэвид Дж .; Шретер, Даррел Ф. (2018). Введение в квантовую механику (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 12–13, 20, 53. ISBN. 978-0-13-191175-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Робинетт, RW (1995). «Квантовые и классические распределения вероятностей положения и импульса» . Американский журнал физики . 63 (9): 823–832. Бибкод : 1995AmJPh..63..823R . дои : 10.1119/1.17807 .
^ Либофф, Ричард Л. (1980). Введение в квантовую механику . Addison-Wesley Publishing Company, Inc., стр. 91, 194. ISBN 0-201-12221-9 .

[1] Гриффитс, Дэвид Дж .; Шретер, Даррел Ф. (2018). Введение в квантовую механику (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 12–13, 20, 53. ISBN. 978-0-13-191175-8 .

[AJP-2] Перейти обратно: ^а ^б Робинетт, RW (1995). «Квантовые и классические распределения вероятностей положения и импульса» . Американский журнал физики . 63 (9): 823–832. Бибкод : 1995AmJPh..63..823R . дои : 10.1119/1.17807 .

[3] Либофф, Ричард Л. (1980). Введение в квантовую механику . Addison-Wesley Publishing Company, Inc., стр. 91, 194. ISBN 0-201-12221-9 .

[1]

[2]

[3]