Вынужденное излучение

Лазерный свет – это разновидность вынужденного излучения.

Стимулированное излучение — это процесс, посредством которого входящий фотон определенной частоты может взаимодействовать с возбужденным атомным электроном (или другим возбужденным молекулярным состоянием), заставляя его перейти на более низкий энергетический уровень. Освободившаяся энергия передается электромагнитному полю, создавая новый фотон с частотой , поляризацией и направлением движения, которые идентичны фотонам падающей волны. В этом отличие от спонтанного излучения , которое происходит с характерной скоростью для каждого из атомов/осцилляторов в верхнем энергетическом состоянии независимо от внешнего электромагнитного поля.

По данным Американского физического общества , первым человеком, правильно предсказавшим явление вынужденного излучения, был Альберт Эйнштейн в серии статей, начавшихся в 1916 году, кульминацией которых стало то, что сейчас называется коэффициентом B Эйнштейна . Работы Эйнштейна стали теоретической основой мазера и лазера . По форме этот процесс идентичен атомному поглощению , при котором энергия поглощенного фотона вызывает идентичный, но противоположный атомный переход: с нижнего уровня на более высокий энергетический уровень. В нормальных средах при тепловом равновесии поглощение превышает вынужденное излучение, поскольку в состояниях с более низкой энергией находится больше электронов, чем в состояниях с более высокой энергией. Однако при наличии инверсной населенности скорость стимулированного излучения превышает скорость поглощения, и чистое оптическое усиление может быть достигнуто . Такая усиливающая среда вместе с оптическим резонатором лежит в основе лазера или мазера.Не имея механизма обратной связи, лазерные усилители и суперлюминесцентные источники также работают на основе вынужденного излучения.

Обзор

Электроны и их взаимодействие с электромагнитными полями важны для нашего понимания химии и физики .С классической точки зрения , энергия электрона, вращающегося вокруг атомного ядра, больше на орбитах, находящихся дальше ядра атома от . Однако квантово-механические эффекты вынуждают электроны занимать дискретные позиции на орбиталях . Таким образом, электроны находятся на определенных энергетических уровнях атома, два из которых показаны ниже:

Когда электрон поглощает энергию света (фотонов) или тепла ( фононов ), он получает этот падающий квант энергии. Но переходы разрешены только между дискретными уровнями энергии, такими как два, показанные выше.Это приводит к линиям излучения и линиям поглощения .

Когда электрон переходит с более низкого на более высокий энергетический уровень, маловероятно, что он останется таким навсегда.Электрон в возбужденном состоянии может распасться на состояние с более низкой энергией, которое не занято, в соответствии с определенной постоянной времени, характеризующей этот переход. Когда такой электрон распадается без внешнего воздействия, испуская фотон, это называется « спонтанным излучением ». Фаза и направление, связанные с испускаемым фотоном, случайны. Таким образом, материал со многими атомами в таком возбужденном состоянии может привести к излучению с узким спектром (с центром вокруг одной длины волны света), но отдельные фотоны не будут иметь общего фазового соотношения и также будут излучаться в случайных направлениях. Это механизм флуоресценции и теплового излучения .

Внешнее электромагнитное поле на частоте, связанной с переходом, может влиять на квантовомеханическое состояние атома, не поглощаясь. Когда электрон в атоме совершает переход между двумя стационарными состояниями (ни одно из которых не имеет дипольного поля), он входит в переходное состояние, которое действительно имеет дипольное поле и которое действует как небольшой электрический диполь , и этот диполь колеблется с частотой характеристическая частота. В ответ на внешнее электрическое поле на этой частоте вероятность перехода электрона в это переходное состояние значительно увеличивается. Таким образом, скорость переходов между двумя стационарными состояниями превышает скорость спонтанного излучения. Переход из состояния с более высокой энергией в более низкое создает дополнительный фотон с той же фазой и направлением, что и падающий фотон; это процесс вынужденного излучения.

История

Вынужденное излучение было теоретическим открытием Альберта Эйнштейна. в рамках старой квантовой теории , в которой излучение описывается фотонами, которые являются квантами ЭМ поля. Вынужденное излучение также может происходить в классических моделях, безотносительно к фотонам или квантовой механике. (См. также «Лазер § История ».) По мнению профессора физики и директора Гарвардского Массачусетского технологического института по изучению ультрахолодных атомов Дэниела Клеппнера , теория излучения Эйнштейна опередила свое время и на несколько десятилетий является прообразом современной теории квантовой электродинамики и квантовой оптики.

Математическая модель

Вынужденное излучение можно смоделировать математически, рассматривая атом, который может находиться в одном из двух электронных энергетических состояний: состоянии нижнего уровня (возможно, основном состоянии) (1) и возбужденном состоянии (2), с энергиями E ₁ и E ₂ соответственно. .

Если атом находится в возбужденном состоянии, он может перейти в более низкое состояние в процессе спонтанного излучения , высвобождая разницу в энергиях между двумя состояниями в виде фотона. Фотон будет иметь частоту ν ₀ и энергию hν ₀ , определяемые формулой: $$E_{2}-E_{1}=h\,\nu _{0}$$где h — постоянная Планка .

Альтернативно, если атом в возбужденном состоянии возмущается электрическим полем частоты ν ₀ , он может испустить дополнительный фотон той же частоты и в фазе, тем самым увеличивая внешнее поле, оставляя атом в состоянии с более низкой энергией. Этот процесс известен как вынужденное излучение.

В группе таких атомов, если число атомов в возбужденном состоянии определяется N ₂ , скорость, с которой происходит вынужденное излучение, определяется выражением $${\frac {\partial N_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{1}}{\partial t}}=-B_{21}\,\rho (\nu )\,N_{2}$$где константа пропорциональности B ₂₁ известна как коэффициент Эйнштейна B для этого конкретного перехода, а ρ ( ν ) — плотность излучения падающего поля на частоте ν . Таким образом, скорость излучения пропорциональна числу атомов в возбужденном состоянии N ₂ и плотности падающих фотонов.

В то же время произойдет процесс атомной абсорбции, который отнимет энергию поля и поднимет электроны из нижнего состояния в верхнее. Его скорость определяется по существу идентичным уравнением: $${\frac {\partial N_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{1}}{\partial t}}=B_{12}\,\rho (\nu )\,N_{1}.$$

Таким образом, скорость поглощения пропорциональна числу атомов в нижнем состоянии N ₁ . Коэффициенты B можно рассчитать с использованием дипольного приближения и зависящей от времени теории возмущений в квантовой механике следующим образом:

$B_{ab}={\frac {e^{2}}{6\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}$

Где B соответствует распределению энергии по частоте ν. Коэффициент B может варьироваться в зависимости от выбора используемой функции распределения энергии, однако произведение функции распределения энергии и соответствующего коэффициента B остается неизменным.

Эйнштейн показал, используя форму закона Планка, что коэффициент для этого перехода должен быть идентичен коэффициенту для вынужденного излучения: $$B_{12}=B_{21}.$$

Таким образом, поглощение и вынужденное излучение представляют собой обратные процессы, протекающие с несколько различной скоростью. Другой способ взглянуть на это — посмотреть на чистое стимулированное излучение или поглощение, рассматривая его как единый процесс. Чистую скорость перехода от E ₂ к E ₁ в результате этого комбинированного процесса можно найти путем сложения соответствующих скоростей, указанных выше: $${\frac {\partial N_{1}^{\text{net}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{2}^{\text{net}}}{\partial t}}=B_{21}\,\rho (\nu )\,(N_{2}-N_{1})=B_{21}\,\rho (\nu )\,\Delta N.$$

Таким образом, в электрическое поле выделяется чистая мощность, равная энергии фотона hν , ​​умноженной на эту чистую скорость перехода. Чтобы это число было положительным, указывающим на чистую вынужденную эмиссию, в возбужденном состоянии должно быть больше атомов, чем на нижнем уровне: $\Delta N>0$. В противном случае происходит чистое поглощение, и мощность волны уменьшается при прохождении через среду. Особое условие $N_{2}>N_{1}$ известно как инверсия населенностей , довольно необычное условие, которое должно быть реализовано в усиливающей среде лазера.

Примечательной характеристикой стимулированного излучения по сравнению с обычными источниками света (которые зависят от спонтанного излучения) является то, что испускаемые фотоны имеют ту же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, что и падающие фотоны. Таким образом, задействованные фотоны взаимно когерентны . Когда инверсная населенность ( $\Delta N>0$) присутствует, следовательно, будет иметь место оптическое усиление падающего излучения.

Хотя энергия, генерируемая вынужденным излучением, всегда имеет точную частоту поля, которое ее стимулировало, приведенное выше уравнение скорости относится только к возбуждению на определенной оптической частоте. $\nu _{0}$ соответствует энергии перехода. На частотах, смещенных от $\nu _{0}$ сила вынужденного (или спонтанного) излучения будет уменьшаться в соответствии с так называемой формой линии .Учитывая только однородное уширение, влияющее на атомный или молекулярный резонанс, функция формы спектральной линии описывается как лоренцево распределение

$$g'(\nu )={1 \over \pi }{(\Gamma /2) \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}$$

где $\Gamma$ — это полная ширина на половине максимума или полоса пропускания на полувысоте.

Пиковое значение формы лоренцевой линии приходится на центр линии, $\nu =\nu _{0}$. Функцию формы линии можно нормализовать так, чтобы ее значение при $\nu _{0}$ есть единство; в случае лоренциана получаем $$g(\nu )={g'(\nu ) \over g'(\nu _{0})}={(\Gamma /2)^{2} \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}.$$

Таким образом, стимулированное излучение на частотах, далеких от $\nu _{0}$ снижается на этот коэффициент. На практике также может иметь место уширение формы линии из-за неоднородного уширения , в первую очередь из-за эффекта Доплера , возникающего в результате распределения скоростей в газе при определенной температуре. Это имеет гауссову форму и снижает пиковую силу функции формы линии. В практической задаче полную функцию формы линии можно вычислить путем свертки отдельных задействованных функций формы линии. Следовательно, оптическое усиление добавит мощность падающему оптическому полю на частоте $\nu$ по ставке, указанной $$P=h\nu \,g(\nu )\,B_{21}\,\rho (\nu )\,\Delta N.$$

Сечение стимулированного излучения

Сечение стимулированного излучения $$\sigma _{21}(\nu )=A_{21}{\frac {\lambda ^{2}}{8\pi n^{2}}}g'(\nu )$$где

• А ₂₁ – Эйнштейна А коэффициент ,
• λ — длина волны в вакууме,
• n — показатель преломления среды (безразмерный),
• g' ( ν ) — функция формы спектральной линии.

Оптическое усиление

Стимулированное излучение может обеспечить физический механизм оптического усиления . Если внешний источник энергии побуждает более 50% атомов в основном состоянии перейти в возбужденное состояние, то так называемая инверсия населенности создается . Когда свет соответствующей частоты проходит через инвертированную среду, фотоны либо поглощаются атомами, которые остаются в основном состоянии, либо фотоны стимулируют возбужденные атомы излучать дополнительные фотоны той же частоты, фазы и направления. Поскольку в возбужденном состоянии находится больше атомов, чем в основном, происходит усиление входной интенсивности .

Инверсная населенность в единицах атомов на кубический метр равна

$\Delta N_{21}=N_{2}-{g_{2} \over g_{1}}N_{1}$

где g ₁ и g ₂ — вырождения энергетических уровней 1 и 2 соответственно.

Уравнение усиления малого сигнала

Интенсивность (в ваттах на квадратный метр) стимулированного излучения определяется следующим дифференциальным уравнением:

${dI \over dz}=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}\cdot I(z)$

до тех пор, пока интенсивность I ( z ) достаточно мала и не оказывает существенного влияния на величину инверсии населенности. Группируя первые два фактора вместе, это уравнение упрощается как

${dI \over dz}=\gamma _{0}(\nu )\cdot I(z)$

где

$\gamma _{0}(\nu )=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}$

— коэффициент усиления слабого сигнала (в радианах на метр). Мы можем решить дифференциальное уравнение, используя разделение переменных :

${dI \over I(z)}=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz$

Интегрируя, находим:

$\ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z$

или

$I(z)=I_{in}e^{\gamma _{0}(\nu )z}$

где

$I_{in}=I(z=0)\,$ — оптическая интенсивность входного сигнала (в ваттах на квадратный метр).

Интенсивность насыщения

Интенсивность насыщения I _S определяется как входная интенсивность, при которой коэффициент усиления оптического усилителя падает ровно до половины коэффициента усиления слабого сигнала. Мы можем вычислить интенсивность насыщения как

$I_{S}={h\nu \over \sigma (\nu )\cdot \tau _{S}}$

где

$h$ – постоянная Планка , а

$\tau _{\text{S}}$ — постоянная времени насыщения, которая зависит от времен жизни спонтанного излучения различных переходов между уровнями энергии, связанных с усилением.

$\nu$ частота в Гц

Минимальное значение $I_{\text{S}}(\nu )$ происходит при резонансе, где сечение $\sigma (\nu )$ является самым большим. Это минимальное значение составляет:

$I_{\text{sat}}={\frac {\pi }{3}}{hc \over \lambda ^{3}\tau _{S}}$

Для простого двухуровневого атома с естественной шириной линии $\Gamma$, постоянная времени насыщения $\tau _{\text{S}}=\Gamma ^{-1}$.

Общее уравнение усиления

Общая форма уравнения усиления, которая применяется независимо от входной интенсивности, выводится из общего дифференциального уравнения для интенсивности I как функции положения z в усиливающей среде :

${dI \over dz}={\gamma _{0}(\nu ) \over 1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}}\cdot I(z)$

где $I_{S}$ – интенсивность насыщения. Для решения мы сначала переставим уравнение, чтобы разделить переменные, интенсивность I и положение z :

${dI \over I(z)}\left[1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}\right]=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz$

Интегрируя обе части, получаем

$\ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I(z)-I_{in} \over I_{S}}=\gamma _{0}(\nu )\cdot z$

или

$\ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left({I(z) \over I_{in}}-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z$

Коэффициент усиления G усилителя определяется как оптическая интенсивность I в положении z, деленная на входную интенсивность:

$G=G(z)={I(z) \over I_{in}}$

Подставив это определение в предыдущее уравнение, мы находим общее уравнение усиления :

$\ln \left(G\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left(G-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z$

Аппроксимация малого сигнала

Другими словами, в частном случае, когда входной сигнал мал по сравнению с интенсивностью насыщения,

$I_{in}\ll I_{S}\,$

тогда общее уравнение усиления дает усиление малого сигнала как

$\ln(G)=\ln(G_{0})=\gamma _{0}(\nu )\cdot z$

или

$G=G_{0}=e^{\gamma _{0}(\nu )z}$

которое идентично уравнению усиления малого сигнала (см. выше).

Асимптотическое поведение большого сигнала

Для больших входных сигналов, где

$I_{in}\gg I_{S}\,$

коэффициент усиления приближается к единице

$G\rightarrow 1$

и общее уравнение усиления приближается к линейной асимптоте :

$I(z)=I_{in}+{\gamma _{0}(\nu )\cdot z \over {\bar {g}}(\nu )}I_{S}$

См. также

• Поглощение
• Активная лазерная среда
• Лазер (включает раздел истории )
• Лазерная наука
• Цикл Раби
• Спонтанное излучение
• СТЭД-микроскопия
• Коэффициенты Эйнштейна

Ссылки

• Салех, Ист Э.А. и Тейх, Малвин Карл (1991). Основы фотоники Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-83965-5 .
• Алан Корни (1977). Атомная и лазерная спектроскопия . Оксфорд: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN  0-19-921145-0 . ISBN   978-0-19-921145-6 .

.3 Основы лазера, Уильям Т. Силфваст