Модель Бора – Зоммерфельда

Орбитали радия. (Концевые пластины для )

5 электронов с одинаковыми главными и вспомогательными квантовыми числами, вращающимися синхронно. ( стр. 364)

Расширение Зоммерфельда модели атома водорода Солнечной системы Бора 1913 года , показывающее добавление эллиптических орбит для объяснения тонкой спектральной структуры.

Модель Бора-Зоммерфельда (также известная как модель Зоммерфельда или теория Бора-Зоммерфельда ) была расширением модели Бора, допускающей эллиптические орбиты электронов вокруг атомного ядра. Теория Бора-Зоммерфельда названа в честь датского физика Нильса Бора и немецкого физика Арнольда Зоммерфельда . Зоммерфельд утверждал, что если бы электронные орбиты могли быть эллиптическими , а не круговыми, энергия электрона была бы такой же, за исключением присутствия магнитного поля, что привело к тому, что сейчас известно как квантовое вырождение .

Модель Бора-Зоммерфельда добавлена ​​к условию квантования углового момента модели Бора с радиальным квантованием (условие Уильяма Уилсона , условие квантования Вильсона-Зоммерфельда ):

$\int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,$

где p _r — радиальный импульс, канонически сопряженный с координатой q , которая является радиальным положением, а T — один полный орбитальный период. Интеграл – это действие координат действие-угол . Это условие, подсказываемое принципом соответствия , является единственно возможным, поскольку квантовые числа являются адиабатическими инвариантами .

Орбиты атома водорода с одинаковым главным квантовым числом, но разными вспомогательными квантовыми числами ( стр. 367)

История

Основная статья: Старая квантовая теория

В 1913 году Нильс Бор продемонстрировал зачатки определенного позднее принципа соответствия и использовал его для формулировки модели атома водорода , которая объяснила линейчатый спектр . В следующие несколько лет Арнольд Зоммерфельд распространил квантовое правило на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел, введенный Хендриком Лоренцем и Альбертом Эйнштейном . Зоммерфельд внес решающий вклад. путем квантования z -компоненты углового момента , что в старую квантовую эпоху называлось «пространственным квантованием» (нем. Richtungsquantelung ). Это позволило сделать орбиты электрона эллипсами, а не кругами, и ввело концепцию квантового вырождения. Эта теория правильно объяснила бы эффект Зеемана , если бы не проблема спина электрона . Модель Зоммерфельда была гораздо ближе к современной квантовомеханической картине, чем модель Бора.

В 1950-х годах Джозеф Келлер обновил квантование Бора – Зоммерфельда, используя интерпретацию Эйнштейна 1917 года: теперь известный как метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера . В 1971 году Мартин Гуцвиллер учел, что этот метод работает только для интегрируемых систем, и вывел полуклассический способ квантования хаотических систем на основе интегралов по путям .

Прогнозы

Модель Зоммерфельда предсказала, что магнитный момент атома, измеренный вдоль оси, будет принимать только дискретные значения, результат, который, по-видимому, противоречит вращательной инвариантности, но был подтвержден экспериментом Штерна-Герлаха . Это был значительный шаг в развитии квантовой механики. Он также описал возможность атомных энергетических уровней расщепления магнитным полем (так называемый эффект Зеемана). Вальтер Коссель работал с Бором и Зоммерфельдом над моделью атома Бора-Зоммерфельда, в которой два электрона в первой оболочке и восемь во второй.

Проблемы

Модель Бора-Зоммерфельда была фундаментально противоречивой и приводила ко многим парадоксам. Магнитное квантовое число измеряло наклон плоскости орбиты относительно плоскости xy и могло принимать лишь несколько дискретных значений. Это противоречило тому очевидному факту, что атом можно было поворачивать в ту или иную сторону относительно координат без ограничений. Квантование Зоммерфельда может выполняться в разных канонических координатах и ​​иногда дает разные ответы. Внесение радиационных поправок было трудным, поскольку требовалось найти координаты действие-угол для объединенной системы излучение/атом, что затруднительно, когда излучению разрешено выходить. Вся теория не распространялась на неинтегрируемые движения, а это означало, что многие системы невозможно было рассматривать даже в принципе. В конце концов, модель была заменена современной квантово-механической трактовкой атома водорода, которую впервые дал Вольфганг Паули Гейзенберга в 1925 году с использованием матричной механики . Современная картина атома водорода основана на атомные орбитали волновой механики , которые Эрвин Шредингер разработал в 1926 году.

Однако это не означает, что модель Бора–Зоммерфельда не имела успеха. Расчеты на основе модели Бора – Зоммерфельда смогли точно объяснить ряд более сложных атомных спектральных эффектов. Например, с точностью до возмущений первого порядка модель Бора и квантовая механика делают одинаковые предсказания относительно расщепления спектральной линии при эффекте Штарка . Однако при возмущениях более высокого порядка модель Бора и квантовая механика различаются, и измерения эффекта Штарка при высоких напряженностях поля помогли подтвердить правильность квантовой механики по сравнению с моделью Бора. Преобладающая теория, лежащая в основе этого различия, заключается в форме орбиталей электронов, которые варьируются в зависимости от энергетического состояния электрона.

Условия квантования Бора – Зоммерфельда приводят к вопросам современной математики. Непротиворечивое квазиклассическое условие квантования требует определенного типа структуры фазового пространства, что накладывает топологические ограничения на типы симплектических многообразий, которые можно квантовать. симплектическая форма должна быть формой кривизны связности , эрмитова В частности , линейного расслоения которая называется предквантованием .

Релятивистская орбита

Орбитали атома водорода. Скачки от 3 ₁ , 3 ₂ , 3 ₃ до 2 ₂ создают бальмеровскую спектральную линию H _α , но они различаются тонкой структурой. (Рисунок 27 )

Эллиптические орбиты с одинаковой энергией и квантованным угловым моментом.

Смотрите также: принцип исключения Паули

Арнольд Зоммерфельд получил релятивистское решение уровней атомной энергии. Мы начнем этот вывод с релятивистским уравнением для энергии в электрическом потенциале

$W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}$

После замены $u={\frac {1}{r}}$ мы получаем

${\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u$

Для импульса $p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}$, $p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}$ и их соотношение ${\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}$ уравнение движения (см. уравнение Бине )

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K$

с решением

$u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi$

Угловой сдвиг перицентра за оборот определяется выражением

$\varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}$

С квантовыми условиями

$\oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h$

и

$\oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h$

мы получим энергию

${\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}-1$

где $\alpha$ – константа тонкой структуры . Это решение (с использованием замены квантовых чисел) эквивалентно решению уравнения Дирака . Тем не менее, оба решения не могут предсказать лэмбовские сдвиги .

См. также

• Модель Бора
• Старая квантовая теория