Метод Эйнштейна–Бриллюэна–Келлера.

Метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера ( ЭБК ) — это полуклассический метод (названный в честь Альберта Эйнштейна , Леона Бриллюэна и Джозефа Б. Келлера ), используемый для вычисления собственных значений в квантово-механических системах. Квантование ЭБК является усовершенствованием квантования Бора-Зоммерфельда , которое не учитывало скачки каустической фазы в классических точках поворота. Эта процедура способна точно воспроизвести спектр 3D- гармонического осциллятора , частицы в ящике и даже релятивистскую тонкую структуру атома водорода .

В 1976–1977 годах Майкл Берри и М. Табор получили расширение Гутцвиллера формулы следов для плотности состояний интегрируемой системы, начиная с квантования ЭБК.

Был получен ряд недавних результатов по вычислительным проблемам, связанным с этой темой, например, работа Эрика Дж. Хеллера и Эммануэля Дэвида Танненбаума с использованием уравнения в частных производных с использованием подхода градиентного спуска .

Процедура

Дана сепарабельная классическая система, заданная координатами $(q_{i},p_{i});i\in \{1,2,\cdots ,d\}$, в котором каждая пара $(q_{i},p_{i})$ описывает замкнутую функцию или периодическую функцию в $q_{i}$, процедура ЭБК включает в себя квантование линейных интегралов $p_{i}$ по замкнутой орбите $q_{i}$:

$I_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}dq_{i}=\hbar \left(n_{i}+{\frac {\mu _{i}}{4}}+{\frac {b_{i}}{2}}\right)$

где $I_{i}$ координата действие-угол , $n_{i}$ является положительным целым числом, и $\mu _{i}$ и $b_{i}$ are Maslov indexes . $\mu _{i}$ соответствует числу классических точек поворота на траектории $q_{i}$ ( граничное условие Дирихле ) и $b_{i}$ соответствует числу отражений от твердой стенки ( граничное условие Неймана ).

Примеры

1D гармонический осциллятор

Гамильтониан простого гармонического осциллятора имеет вид

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}$

где $p$ - линейный импульс и $x$ координата положения. Переменная действия задается выражением

$I={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {2mE-m^{2}\omega ^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x$

где мы это использовали $H=E$ - энергия и что замкнутая траектория в 4 раза превышает траекторию от 0 до точки поворота. $x_{0}={\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}$.

Интеграл оказывается

$E=I\omega$,

который при квантовании ЭБК имеет две точки мягкого поворота на каждой орбите $\mu _{x}=2$ и $b_{x}=0$. Наконец, это дает

$E=\hbar \omega (n+1/2)$,

что является точным результатом квантования квантового гармонического осциллятора.

2D атом водорода

Гамильтониан для нерелятивистского электрона (электрический заряд $e$) в атоме водорода составляет:

$H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

где $p_{r}$ - канонический импульс радиального расстояния $r$, и $p_{\varphi }$ - канонический импульс азимутального угла $\varphi$. Возьмите координаты действия-угла:

$I_{\varphi }={\text{constant}}=|L|$

Для радиальной координаты $r$:

$p_{r}={\sqrt {2mE-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}}$

$I_{r}={\frac {1}{\pi }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}p_{r}dr={\frac {me^{2}}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {-2mE}}}}-|L|$

где мы интегрируемся между двумя классическими поворотными точками $r_{1},r_{2}$ ( $\mu _{r}=2$)

$E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}(I_{r}+I_{\varphi })^{2}}}$

Использование квантования EBK $b_{r}=\mu _{\varphi }=b_{\varphi }=0,n_{\varphi }=m$ :

$I_{\varphi }=\hbar m\quad ;\quad m=0,1,2,\cdots$

$I_{r}=\hbar (n_{r}+1/2)\quad ;\quad n_{r}=0,1,2,\cdots$

$E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n_{r}+m+1/2)^{2}}}$

и сделав $n=n_{r}+m+1$ спектр 2D атома водорода восстанавливается:

$E_{n}=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n-1/2)^{2}}}\quad ;\quad n=1,2,3,\cdots$

Обратите внимание, что для этого случая $I_{\varphi }=|L|$ почти совпадает с обычным квантованием оператора момента импульса на плоскости $L_{z}$. Для трехмерного случая метод ЭБК для полного углового момента эквивалентен поправке Лангера .

См. также

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Приближение ВКБ
• Какой хаос

Ссылки

• Дункан, Энтони; Янссен, Мишель (2019). «5. Руководящие принципы». Построение квантовой механики (Первое изд.). Оксфорд, Великобритания ; Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-884547-8 .