Поправка Лангера
Поправка Лангера , названная в честь математика Рудольфа Эрнеста Лангера , представляет собой поправку к приближению ВКБ для задач с радиальной симметрией.
Описание
[ редактировать ]В 3D-системах
[ редактировать ]При применении метода аппроксимации ВКБ к радиальному Шредингера уравнению где эффективный потенциал определяется выражением ( азимутальное квантовое число, связанное с оператором углового момента ), полученные собственные энергии и поведение волновой функции отличаются от реального решения.
![{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+[E-V_{\textrm { eff}}(r)]R(r)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ed8fd0c073927427b87dc7e02b4eae5d6d1da5)
В 1937 году Рудольф Э. Лангер предложил исправление. что известно как коррекция Лангера или замена Лангера . [1] Эта манипуляция эквивалентна вставке постоянного коэффициента 1/4 всякий раз, когда появляется. С эвристической точки зрения говорят, что этот фактор возникает из-за того, что диапазон радиального уравнения Шредингера ограничен от 0 до бесконечности, в отличие от всей действительной линии. Благодаря такому изменению постоянного члена эффективного потенциала результаты, полученные с помощью приближения ВКБ, воспроизводят точный спектр для многих потенциалов. Корректность замены Лангера следует из расчета ВКБ собственных значений Кулона с заменой, воспроизводящей хорошо известный результат. [2]
В 2D-системах
[ редактировать ]Заметим, что для 2D-систем эффективный потенциал принимает вид поэтому поправка Лангера гласит: [3] Эта манипуляция также эквивалентна вставке постоянного коэффициента 1/4 всякий раз, когда появляется.
Обоснование
[ редактировать ]Еще более убедительным расчетом является вывод траекторий Редже (и, следовательно, собственных значений) радиального уравнения Шредингера с потенциалом Юкавы как методом возмущений (со старым коэффициент) и независимо вывод по методу ВКБ (с заменой Лангера) — в обоих случаях даже до более высоких порядков. Для расчета возмущений см. Мюллера-Кирстена. книгу [4] и для расчета ВКБ Букема. [5] [6]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Лангер, Рудольф Э. (15 апреля 1937 г.). «О формулах связи и решениях волнового уравнения». Физический обзор . 51 (8). Американское физическое общество (APS): 669–676. Бибкод : 1937PhRv...51..669L . дои : 10.1103/physrev.51.669 . ISSN 0031-899X .
- ^ Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории, 2-е изд. World Scientific (Сингапур, 2012), с. 404.
- ^ Брэк, Матиас; Бхадури, Раджат (5 марта 2018 г.). Полуклассическая физика . ЦРК Пресс. п. 76. ИСБН 978-0-429-97137-2 .
- ^ Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2012), глава 16.
- ^ Букема, Дж.И. (1964). «Расчет траекторий Редже в теории потенциала с помощью ВКБ и вариационных методов». Физика . 30 (7). Эльзевир Б.В.: 1320–1325. Бибкод : 1964Phy....30.1320B . дои : 10.1016/0031-8914(64)90084-9 . ISSN 0031-8914 .
- ^ Букема, Дж.И. (1964). «Заметка о расчете траекторий Редже в теории потенциала по приближению ВКБ второго порядка». Физика . 30 (10). Эльзевир Б.В.: 1909–1912. Бибкод : 1964Phy....30.1909B . дои : 10.1016/0031-8914(64)90072-2 . ISSN 0031-8914 .