потенциал Юкавы

В физике элементарных частиц , атома и конденсированного состояния ( потенциал Юкавы также называемый экранированным кулоновским потенциалом ) — потенциал , названный в честь японского физика Хидеки Юкавы . Потенциал имеет вид:

$V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},$

где $g$ - масштабная константа величины, т. е. амплитуда потенциала, m - масса частицы, r - радиальное расстояние до частицы, а α - еще одна масштабная константа, так что $r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}$это приблизительный диапазон. Потенциал монотонно увеличивается по r и является отрицательным, что означает, что сила притяжения. В системе СИ единицей потенциала Юкавы является (1/метр).

Кулоновский потенциал электромагнетизма является примером потенциала Юкавы с $e^{-\alpha mr}$коэффициент везде равен 1. Это можно интерпретировать как утверждение, что фотона масса m равна 0. Фотон является переносчиком силы между взаимодействующими заряженными частицами.

При взаимодействии мезонного поля с фермионным полем константа $g$равна калибровочной константе связи между этими полями. В случае ядерного взаимодействия фермионами будут протон и еще один протон или нейтрон .

История

До Хидеки Юкавы 1935 года статьи физики изо всех сил пытались объяснить результаты атомной модели Джеймса Чедвика , которая состояла из положительно заряженных протонов и нейтронов, упакованных внутри небольшого ядра с радиусом порядка 10 ⁻¹⁴ метры. Физики знали, что электромагнитные силы такой длины заставят протоны отталкиваться друг от друга и ядро ​​распадется. Так возникла мотивация для дальнейшего объяснения взаимодействий между элементарными частицами. В 1932 году Вернер Гейзенберг предложил «Platzwechsel» (миграционное) взаимодействие между нейтронами и протонами внутри ядра, в котором нейтроны представляют собой составные частицы протонов и электронов. Эти составные нейтроны испускают электроны, создавая с протонами силу притяжения, а затем сами превращаются в протоны. Когда в 1933 году на Сольвеевской конференции Гейзенберг предложил свое взаимодействие, физики подозревали, что оно может иметь одну из двух форм:

$J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {or}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}$

из-за своей малой дальности. Однако с его теорией было много проблем. А именно, невозможно, чтобы электрон со спином 1/2 и спин протона 1/2 , нейтрона чтобы добавить спин 1/2 ​ ​ . То, как Гейзенберг рассматривал эту проблему, впоследствии сформировало идеи изоспина .

Идея Гейзенберга об обменном взаимодействии (а не кулоновской силе) между частицами внутри ядра побудила Ферми сформулировать свои идеи о бета-распаде в 1934 году. Нейтрон-протонное взаимодействие Ферми не было основано на «миграции» нейтронов и протонов между собой. Вместо этого Ферми предложил испускать и поглощать две легкие частицы: нейтрино и электрон, а не только электрон (как в теории Гейзенберга). В то время как взаимодействие Ферми решило проблему сохранения линейного и углового момента, советские физики Игорь Тамм и Дмитрий Иваненко продемонстрировали, что сила, связанная с нейтрино и эмиссией электронов, недостаточно сильна, чтобы связать протоны и нейтроны в ядре.

В своей статье, опубликованной в феврале 1935 года, Хидеки Юкава объединяет идею короткодействующего силового взаимодействия Гейзенберга и идею Ферми об обменной частице, чтобы решить проблему нейтрон-протонного взаимодействия. Он вывел потенциал, который включает в себя экспоненциальный член распада ( $e^{-\alpha mr}$) и электромагнитный термин ( $1/r$). По аналогии с квантовой теорией поля Юкава знал, что потенциал и соответствующее ему поле должны быть результатом обменной частицы. В случае КЭД этой обменной частицей был фотон с массой 0. В случае Юкавы обменная частица имела некоторую массу, которая была связана с диапазоном взаимодействия (задаваемым формулой ${\tfrac {1}{\alpha m}}$). Поскольку диапазон действия ядерной силы был известен, Юкава использовал свое уравнение, чтобы предсказать, что масса частицы-посредника примерно в 200 раз превышает массу электрона. Физики назвали эту частицу « мезоном », так как ее масса находилась между протоном и электроном. Мезон Юкавы был открыт в 1947 году и стал известен как пион .

потенциалом

Рисунок 1: Сравнение потенциалов Юкавы, где $g=1$ и с различными значениями m .

Рисунок 2: «Дальнее» сравнение сил потенциалов Юкавы и Кулона, где $g=1$.

Если частица не имеет массы (т. е. m = 0 ), то потенциал Юкавы сводится к кулоновскому потенциалу, и говорят, что радиус действия бесконечен. Фактически мы имеем:

$m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.$

Следовательно, уравнение

$V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}$

упрощается до формы кулоновского потенциала

$V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.$

где мы устанавливаем константу масштабирования:

$g^{2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}$

Сравнение силы дальнодействующего потенциала Юкавы и Кулона показано на рисунке 2. Можно видеть, что кулоновский потенциал действует на большем расстоянии, тогда как потенциал Юкавы довольно быстро приближается к нулю. Однако любой потенциал Юкавы или кулоновский потенциал отличен от нуля при любом большом r .

Преобразование Фурье

Самый простой способ понять, что потенциал Юкавы связан с массивным полем, — это изучить его преобразование Фурье . Надо

$V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k$

где интеграл проводится по всем возможным значениям 3-векторных импульсов k . В этой форме и при установке коэффициента масштабирования на единицу: $\alpha =1$, дробь ${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$ рассматривается как пропагатор или функция Грина уравнения Клейна – Гордона .

Амплитуда Фейнмана

Обмен одиночными частицами.

Потенциал Юкавы можно определить как амплитуду взаимодействия пары фермионов низшего порядка. Взаимодействие Юкавы связывает фермионное поле. $\psi (x)$ в мезонное поле $\phi (x)$ с термином связи

${\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.$

Амплитуда рассеяния двух фермионов, один из которых имеет начальный импульс $p_{1}$ а другой с импульсом $p_{2}$, обменивающий мезон с импульсом k , определяется диаграммой Фейнмана справа.

Правила Фейнмана для каждой вершины связывают коэффициент $g$с амплитудой; поскольку эта диаграмма имеет две вершины, общая амплитуда будет иметь коэффициент $g^{2}$. Линия посередине, соединяющая две фермионные линии, представляет собой обмен мезона. Правило Фейнмана для обмена частицами заключается в использовании пропагатора; пропагатор массивного мезона ${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$. Таким образом, мы видим, что амплитуда Фейнмана для этого графика есть не что иное, как

$V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.$

Из предыдущего раздела видно, что это преобразование Фурье потенциала Юкавы.

уравнения

Радиальное уравнение Шрёдингера с потенциалом Юкавы можно решить пертурбативно. Используя радиальное уравнение Шрёдингера в виде

$\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,$

и потенциал Юкавы в степенной форме

$V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1}\,(-r)^{j},$

и настройка $K=jk$, получаем для углового момента $\ell$ выражение

$\ell +n+1=-{\frac {\,\Delta _{n}(K)\,}{2K}}$

для $|K|\to \infty$, где

${\begin{aligned}&\Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{\,2K^{2}\,}}{\Bigl [}\,n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}}}\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,}{\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_{3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\operatorname {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7}\,}}\,{\Bigr )}~.\end{aligned}}$

Установка всех коэффициентов $M_{j}$ кроме $M_{0}$ равный нулю, получаем известное выражение для собственного значения Шредингера для кулоновского потенциала и радиального квантового числа $\,n\,$является целым положительным числом или нулем вследствие граничных условий, которым должны удовлетворять волновые функции кулоновского потенциала. В случае потенциала Юкавы наложение граничных условий сложнее. Таким образом, в деле Юкавы $\nu =n$ является лишь приближением, а параметр $\nu$которое заменяет целое число n, на самом деле является асимптотическим разложением, подобным приведенному выше, с первым приближением целочисленного значения соответствующего кулоновского случая. Приведенное выше разложение для орбитального углового момента или траектории Редже $\ell (K)$ можно обратить вспять, чтобы получить собственные значения энергии или, что то же самое, ${\bigl |}K{\bigr |}^{2}$. Получается:

${\begin{aligned}&{\bigl |}K{\bigr |}^{2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{\,4(\ell +n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}}~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2+3)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1)(\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n-11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_{2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}$

Приведенное выше асимптотическое разложение углового момента $\ell (K)$ в нисходящей степени $K$также может быть получено методом WKB . Однако в этом случае, как и в случае с кулоновским потенциалом , выражение $\ell (\ell +1)$ в центробежном члене уравнения Шредингера необходимо заменить на $\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}$как первоначально утверждал Лангер, причина в том, что сингулярность слишком сильна для неизменного применения метода ВКБ . Правильность этого рассуждения следует из вывода ВКБ правильного результата в кулоновском случае (с поправкой Лангера ), и даже приведенного выше разложения в случае Юкавы с ВКБ-приближениями более высокого порядка.

Поперечное сечение

Мы можем рассчитать дифференциальное сечение между протоном или нейтроном и пионом, используя потенциал Юкавы. Мы используем приближение Борна , которое говорит нам, что в сферически симметричном потенциале мы можем аппроксимировать исходящую рассеянную волновую функцию как сумму входящей плоской волновой функции и небольшого возмущения:

$\psi ({\vec {r}})\approx A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta )\right]$

где ${\vec {p}}=p{\hat {z}}$– это приходящий импульс частицы. Функция $f(\theta )$ дан кем-то:

$f(\theta )={\frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\right)~\mathrm {d} r$

где ${\vec {p}}'=p{\hat {r}}$ - исходящий рассеянный импульс частицы и $\mu$ — масса входящих частиц (не путать с $m,$масса пиона). Мы рассчитываем $f(\theta )$ подключив $V_{\text{Yukawa}}$:

$f(\theta )={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)\,\mathrm {d} r$

Вычисление интеграла дает

$f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}$

Энергосбережение подразумевает

${\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~$

так что

$\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~$

Подключая, мы получаем:

$f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}$

Таким образом, мы получаем дифференциальное сечение:

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}$

Интегрируя, полное сечение составит:

$\sigma =\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega ={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}$

См. также

• Юкава взаимодействие
• Экранированное уравнение Пуассона
• Бессель потенциал

Источники

• Браун, GE ; Джексон, AD (1976). Нуклон-нуклонное взаимодействие . Амстердам: Издательство Северной Голландии. ISBN  0-7204-0335-9 .