Борновское приближение

Не путать с приближением Борна-Оппенгеймера .

Обычно в теории рассеяния и, в частности, в квантовой механике , приближение Борна состоит в том, что вместо полного поля в качестве движущего поля в каждой точке рассеивателя принимается падающее поле. Приближение Борна названо в честь Макса Борна , который предложил это приближение на заре развития квантовой теории.

Это метод возмущений, применяемый к рассеянию протяженным телом. Это точно, если рассеянное поле мало по сравнению с падающим на рассеиватель полем.

Например, рассеяние радиоволн столбиком из легкого пенополистирола можно аппроксимировать, предположив, что каждая часть пластика поляризована тем же электрическим полем , которое присутствовало бы в этой точке без столбика, а затем рассчитав рассеяние как излучение. интеграл по этому распределению поляризации.

Липпмана –

Уравнение Липпмана –Швингера для состояния рассеяния $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle$ с импульсом p и исходящими (+) или входящими (−) граничными условиями

$\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle ,$

где $G^{\circ }$ — свободной частицы функция Грина , $\epsilon$ является положительной бесконечно малой величиной, а $V$ потенциал взаимодействия. $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle$ – соответствующее решение свободного рассеяния, которое иногда называют падающим полем. Фактор $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle$ с правой стороны иногда называют полем для вождения .

В рамках борновского приближения приведенное выше уравнение выражается как

$\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle ,$

что гораздо проще решить, поскольку правая часть больше не зависит от неизвестного состояния $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle$.

Полученное решение является отправной точкой ряда Борна .

к амплитуде

Использование исходящей свободной функции Грина для частицы с массой $m$ в координатном пространстве,

$G^{(+)}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {e^{+ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$

можно извлечь борновское приближение к амплитуде рассеяния из борновского приближения к приведенному выше уравнению Липпмана – Швингера:

$f_{B}(\theta )=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}re^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }V(\mathbf {r} )\;,$

где $\theta$ - угол между падающим волновым вектором $\mathbf {k}$ и рассеянный волновой вектор $\mathbf {k} '$, $\mathbf {q} =\mathbf {k} '-\mathbf {k}$ – переданный импульс. В центрально-симметричном потенциале $V=V(r)$, амплитуда рассеяния становится

$f_{B}(\theta )=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\infty }rV(r){\frac {\sin qr}{q}}dr$

где $q=|\mathbf {q} |=2k\sin(\theta /2).$ В борновском приближении для центрально-симметричного поля амплитуда рассеяния и, следовательно, сечение $\sigma$ зависит от импульса $p=k/\hbar$ и амплитуда рассеяния $\theta$ только через комбинацию $p\sin(\theta /2)$.

Приложения

Приближение Борна используется в нескольких различных физических контекстах.

При рассеянии нейтронов борновское приближение первого порядка почти всегда адекватно, за исключением нейтронно-оптических явлений, таких как внутреннее полное отражение в нейтроноводе или малоугловое рассеяние скользящего падения . Приближение Борна также использовалось для расчета проводимости в двухслойном графене. и аппроксимировать распространение длинноволновых волн в упругих средах .

Те же идеи были применены и к изучению движения сейсмических волн через Землю.

искаженных

Приближение Борна является наиболее простым, когда падающие волны $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle$ представляют собой плоские волны. То есть рассеиватель рассматривается как возмущение свободного пространства или однородной среды.

В борновском приближении искаженных волн ( DWBA ) падающие волны являются решениями $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle$ на часть $V^{1}$ проблемы $V=V^{1}+V^{2}$ это лечится каким-то другим методом, аналитическим или численным. Взаимодействие по интересам $V$ рассматривается как возмущение $V^{2}$ в какую-то систему $V^{1}$ это можно решить каким-то другим методом. Для ядерных реакций используются численные оптические модели волн. Для рассеяния заряженных частиц заряженными частицами используются аналитические решения кулоновского рассеяния. Это дает предварительное уравнение не Борна

$\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i0)V^{1}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle$

и борновское приближение

$\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle +G^{1}(E_{p}\pm i0)V^{2}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle .$

Другие применения включают тормозное излучение и фотоэлектрический эффект . Для прямой ядерной реакции, индуцированной заряженными частицами, процедура используется дважды. Существуют аналогичные методы, не использующие борновские приближения. В исследованиях конденсированного состояния DWBA используется для анализа малоуглового рассеяния скользящего падения .

См. также

• Рожденный сериал
• Уравнение Липпмана – Швингера
• серия Дайсон
• Электромагнитное моделирование
• Приближение Рэлея – Ганса

Ссылки

• Сакураи, Джей-Джей (1994). Современная квантовая механика . Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-53929-2 .
• Ньютон, Роджер Г. (2002). Теория рассеяния волн и частиц . Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-42535-5 .
• Ву и Омура, Квантовая теория рассеяния , Прентис Холл, 1962 г.