Рожденный сериал

Серия «Рожденный» ^[1] - это разложение различных рассеивающих величин в квантовой теории рассеяния по степеням потенциала взаимодействия $V$ (точнее, в степенях $G_{0}V,$ где $G_{0}$ свободной частицы — оператор Грина ). Оно тесно связано с приближением Борна , которое является членом первого порядка ряда Борна. Формально этот ряд можно понимать как степенной ряд, вводящий константу связи путем замены $V\to \lambda V$ . Скорость сходимости и радиус сходимости ряда Борна связаны с собственными значениями оператора $G_{0}V$ . В общем, первые несколько членов ряда Борна являются хорошим приближением расширенной величины для «слабого» взаимодействия. $V$ и большая энергия столкновения.

Ряд Борна для состояний рассеяния

Ряд Борна для состояний рассеяния имеет вид

|\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{2}|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{3}|\phi \rangle +\dots

Его можно получить путем итерации уравнения Липпмана – Швингера.

|\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\psi \rangle .

Заметим, что оператор Грина $G_{0}$ для свободной частицы можно запаздывать/опережать или оператор стоячей волны для запаздывающей $|\psi ^{(+)}\rangle$ передовой $|\psi ^{(-)}\rangle$ или состояния рассеяния стоячей волны $|\psi ^{(P)}\rangle$ .Первая итерация получается заменой решения полного рассеяния $|\psi \rangle$ с волновой функцией свободных частиц $|\phi \rangle$ в правой части уравнения Липпмана-Швингера и дает первое борновское приближение .Вторая итерация заменяет первое борновское приближение в правой части, и результат называется вторым борновским приближением. В общем случае n-е борновское приближение учитывает n-членов ряда. Иногда используется второе борновское приближение, когда первое борновское приближение исчезает, но высшие члены используются редко. Ряд Борна формально можно суммировать как геометрический ряд с общим отношением, равным оператору $G_{0}V$ , дающий формальное решение уравнения Липпмана-Швингера в виде

|\psi \rangle =[I-G_{0}(E)V]^{-1}|\phi \rangle =[V-VG_{0}(E)V]^{-1}V|\phi \rangle .

Серия Born для Т-матрицы

Ряд Борна также можно записать для других величин рассеяния, таких как Т-матрица , которая тесно связана с амплитудой рассеяния . Итерируя уравнение Липпмана-Швингера для Т-матрицы, получаем

T(E)=V+VG_{0}(E)V+V[G_{0}(E)V]^{2}+V[G_{0}(E)V]^{3}+\dots

Для Т-матрицы $G_{0}$ обозначает только отсталый оператор Грина $G_{0}^{(+)}(E)$ . Вместо этого оператор стоячей волны Грина даст K-матрицу .

Серия Born для полного оператора Грина

Уравнение Липпмана-Швингера для оператора Грина называется резольвентным тождеством ,

G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG(E).

Ее решение путем итерации приводит к ряду Борна для полного оператора Грина $G(E)=(E-H+i\epsilon )^{-1}$

G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{2}G_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{3}G_{0}(E)+\dots

Библиография

Хоахейн, Чарльз Дж. (1983). Квантовая теория столкновений . Северная Голландия. ISBN 978-0-7204-0294-0 .
Тейлор, Джон Р. (1972). Теория рассеяния: квантовая теория нерелятивистских столкновений . Джон Уайли. ISBN 978-0-471-84900-1 .
Ньютон, Роджер Г. (2002). Теория рассеяния волн и частиц . Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-42535-1 .

Ссылки

^ Родился Макс (1926). «Квантовая механика столкновительных процессов». Журнал физики . 38 (11–12): 803–827. Бибкод : 1926ZPhy...38..803B . дои : 10.1007/bf01397184 . S2CID 126244962 .

[1] Родился Макс (1926). «Квантовая механика столкновительных процессов». Журнал физики . 38 (11–12): 803–827. Бибкод : 1926ZPhy...38..803B . дои : 10.1007/bf01397184 . S2CID 126244962 .

[1]