серия Дайсон

В теории рассеяния , части математической физики , ряд Дайсона , сформулированный Фрименом Дайсоном , представляет собой пертурбативное разложение оператора эволюции во времени в картине взаимодействия . Каждый член может быть представлен суммой диаграмм Фейнмана .

Этот ряд асимптотически расходится , но в квантовой электродинамике (КЭД) во втором порядке отличие от экспериментальных данных составляет порядка 10 ⁻¹⁰ . Это близкое согласие сохраняется, поскольку константа связи (также известная как константа тонкой структуры ) КЭД намного меньше 1.

Оператор Дайсона

В картине взаимодействия гамильтониан + H можно разбить на часть H 0 _и взаимодействующую часть V _S ( t ) как H = H ₀ ( V _S t свободную ) .

Потенциал во взаимодействующей картине

$V_{\mathrm {I} }(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar }V_{\mathrm {S} }(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },$

где $H_{0}$ не зависит от времени и $V_{\mathrm {S} }(t)$ — это, возможно, зависящая от времени взаимодействующая часть картины Шрёдингера . Чтобы избежать индексов, $V(t)$ означает $V_{\mathrm {I} }(t)$ в дальнейшем.

В картине взаимодействия оператор эволюции U определяется уравнением:

$\Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})$

Иногда его называют оператором Дайсона .

Оператор эволюции образует унитарную группу по параметру времени. Имеет групповые свойства:

• Идентичность и нормализация: $U(t,t)=1,$
• Состав: $U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),$
• Обратное время: $U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),$
• Унитарность: $U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1}$

и из них можно вывести уравнение эволюции во времени пропагатора:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).$

В картине взаимодействия гамильтониан совпадает с потенциалом взаимодействия $H_{\rm {int}}=V(t)$ и, таким образом, уравнение также можно записать в картине взаимодействия как

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi (t)=H_{\rm {int}}\Psi (t)$

Внимание : на этот раз уравнение эволюции не следует путать с уравнением Томонаги-Швингера .

Формальное решение

$U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})},$

что в конечном итоге является разновидностью интеграла Вольтерра .

серии

Итерационное решение приведенного выше уравнения Вольтерра приводит к следующему ряду Неймана :

${\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}$

Здесь, $t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}$, поэтому поля упорядочены по времени . Полезно ввести оператор ${\mathcal {T}}$, называемый временного упорядочения оператором , и определить

$U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).$

Пределы интеграции можно упростить. Вообще говоря, для некоторой симметричной функции $K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}),$ можно определить интегралы

$S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).$

и

$I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).$

Область интегрирования второго интеграла можно разбить на $n!$ субрегионы, определяемые $t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}$. Благодаря симметрии $K$, интеграл в каждой из этих подобластей одинаков и равен $S_{n}$ по определению. Отсюда следует, что

$S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.$

Применительно к предыдущему тождеству это дает

$U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).$

Суммируя все слагаемые, получается ряд Дайсона. Это упрощенная версия описанной выше серии Neumann, в которую входят продукты, заказанные по времени; это экспонента, упорядоченная по пути :

${\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}$

Этот результат также называют формулой Дайсона. Из этой формулы можно вывести групповые законы.

Приложение к векторам состояния

Вектор состояния во времени $t$ может быть выражено через вектор состояния в момент времени $t_{0}$, для $t>t_{0},$ как

$|\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}t_{k}/\hbar }V(t_{k})e^{-iH_{0}t_{k}/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .$

Внутренний продукт начального состояния в $t_{i}=t_{0}$ с конечным состоянием в $t_{f}=t$ на картине Шредингера , ибо $t_{f}>t_{i}$ является:

${\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}})&\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{-iH_{0}(t_{\rm {f}}-t_{1})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}$

S картинке -матрицу можно получить, записав это на Гейзенберга , приняв входное и выходное состояния как бесконечные:

$\langle \Psi _{\rm {out}}\mid S\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle =\langle \Psi _{\rm {out}}\mid \sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2})\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .$

Обратите внимание, что порядок времени в скалярном произведении был обратным.

См. также

• Уравнение Швингера – Дайсона
• серия Магнус
• Серия Пеано – Бейкера
• Итерация Пикара

Ссылки

• Чарльз Дж. Джоахейн , Квантовая теория столкновений , издательство North-Holland Publishing, 1975, ISBN   0-444-86773-2 (Эльзевир)