Расширение Магнуса

В математике и физике , расширение Магнуса названное в честь Вильгельма Магнуса (1907–1990), обеспечивает экспоненциальное представление интегрального произведения решения однородного линейного дифференциального уравнения первого порядка для линейного оператора . В частности, он дает фундаментальную матрицу системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка $n$ с варьирующимися коэффициентами. Экспонента агрегируется как бесконечный ряд, члены которого включают в себя несколько интегралов и вложенные коммутаторы.

Детерминированный случай

Подход Магнуса и его интерпретация

Учитывая $размера n \times n$ матрицу коэффициентов $A (t)$ , необходимо решить задачу начального значения, связанную с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением

Y'(t)=A(t)Y(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0}

для неизвестной $n$ -мерной вектор-функции $Y (t)$ .

Когда n = 1, решение задается как интеграл произведения

Y(t)=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)\,ds\right)Y_{0}.

Это все еще справедливо для n > 1, если матрица $A (t)$ удовлетворяет условию $A (t 1) A (t 2) = A (t 2) A (t 1)$ для любой пары значений t , t ₁ и t ₂ . В частности, это тот случай, если матрица $A$ не зависит от $t$ . Однако в общем случае приведенное выше выражение уже не является решением проблемы.

Подход, предложенный Магнусом для решения матричной начальной задачи, заключается в выражении решения через экспоненту некоторой $n \times n.$ матричной функции размера $Ом(т, т 0)$ :

Y(t)=\exp {\big (}\Omega (t,t_{0}){\big )}\,Y_{0},

который впоследствии строится как разложение в ряд :

\Omega (t)=\sum _{k=1}^{\infty }\Omega _{k}(t),

где для простоты принято $(t)$ вместо $Ω (t, t0 писать Ω)$ и брать t0 _{= 0} .

Магнус это оценил, поскольку $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ д / дт ⁠ ( и Ой ) и - Ой = A ( t )$ , используя матричное тождество Пуанкаре-Хаусдорфа , он мог связать производную по времени $Ω$ с производящей функцией чисел Бернулли и присоединенный эндоморфизм Ω $$ ,

\Omega '={\frac {\operatorname {ad} _{\Omega }}{\exp(\operatorname {ad} _{\Omega })-1}}A,

рекурсивно найти $Ω$ в терминах $A$ «в непрерывном аналоге расширения BCH », как описано в следующем разделе.

Приведенное выше уравнение представляет собой расширение Магнуса или ряд Магнуса для решения матричной линейной задачи с начальным значением. Первые четыре термина этой серии гласят:

{\begin{aligned}\Omega _{1}(t)&=\int _{0}^{t}A(t_{1})\,dt_{1},\\\Omega _{2}(t)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\,[A(t_{1}),A(t_{2})],\\\Omega _{3}(t)&={\frac {1}{6}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\,{\Bigl (}{\big [}A(t_{1}),[A(t_{2}),A(t_{3})]{\big ]}+{\big [}A(t_{3}),[A(t_{2}),A(t_{1})]{\big ]}{\Bigr )},\\\Omega _{4}(t)&={\frac {1}{12}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\int _{0}^{t_{3}}dt_{4}\,\left({\Big [}{\big [}[A_{1},A_{2}],A_{3}{\big ]},A_{4}{\Big ]}\right.\\&\qquad +{\Big [}A_{1},{\big [}[A_{2},A_{3}],A_{4}{\big ]}{\Big ]}+{\Big [}A_{1},{\big [}A_{2},[A_{3},A_{4}]{\big ]}{\Big ]}+\left.{\Big [}A_{2},{\big [}A_{3},[A_{4},A_{1}]{\big ]}{\Big ]}\right),\end{aligned}}

где $[A, B] A B - B A$ матричный коммутатор A B и ≡ .

Эти уравнения можно интерпретировать следующим образом: $Ω 1 (t)$ точно совпадает с показателем степени в скалярном ( $n$ = 1) случае, но это уравнение не может дать полного решения. Если кто-то настаивает на экспоненциальном представлении ( группе Ли ), показатель степени необходимо исправить. Остальная часть серии Магнуса систематически обеспечивает эту коррекцию: $Ω$ или ее части находятся в алгебре Ли группы Ли решения.

В приложениях редко удается точно просуммировать ряд Магнуса, и для получения приближенных решений его приходится усекать. Основное преимущество предложения Магнуса состоит в том, что усеченный ряд очень часто разделяет важные качественные свойства с точным решением, в отличие от других традиционных теорий возмущений . Например, в классической механике симплектический характер временной эволюции сохраняется при любом порядке приближения. Аналогичным образом унитарный характер оператора временной эволюции в квантовой механике сохраняется и (в отличие, например, от ряда Дайсона, решающего ту же задачу).

Сходимость расширения

С математической точки зрения, проблема сходимости состоит в следующем: при заданной матрице $A (t)$ можно получить показатель $Ω(t)$ как сумму ряда Магнуса?

Достаточным условием сходимости этого ряда при $t \in [0, T)$ является

\int _{0}^{T}\|A(s)\|_{2}\,ds<\pi ,

где $\|\cdot \|_{2}$ обозначает матричную норму . Этот результат является общим в том смысле, что можно построить конкретные матрицы $A (t),$ для которых ряд расходится при любом $t > T$ .

Отличный генератор

Рекурсивная процедура генерации всех членов разложения Магнуса использует матрицы $S n (к)$ определяется рекурсивно через

S_{n}^{(j)}=\sum _{m=1}^{n-j}\left[\Omega _{m},S_{n-m}^{(j-1)}\right],\quad 2\leq j\leq n-1,

S_{n}^{(1)}=\left[\Omega _{n-1},A\right],\quad S_{n}^{(n-1)}=\operatorname {ad} _{\Omega _{1}}^{n-1}(A),

которые затем предоставляют

\Omega _{1}=\int _{0}^{t}A(\tau )\,d\tau ,

\Omega _{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\int _{0}^{t}S_{n}^{(j)}(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2.

Здесь реклама ^к_Ω — сокращение для итерированного коммутатора (см. присоединенный эндоморфизм ):

\operatorname {ad} _{\Omega }^{0}A=A,\quad \operatorname {ad} _{\Omega }^{k+1}A=[\Omega ,\operatorname {ad} _{\Omega }^{k}A],

а $B j$ — числа Бернулли с $B 1 = -1/2$ .

Наконец, когда эта рекурсия проработана явно, можно выразить $Ω n (t)$ как линейную комбинацию n -кратных интегралов от n - 1 вложенных коммутаторов, включающих $n$ матриц $A$ :

\Omega _{n}(t)=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\sum _{k_{1}+\cdots +k_{j}=n-1 \atop k_{1}\geq 1,\ldots ,k_{j}\geq 1}\int _{0}^{t}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{1}}(\tau )}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{2}}(\tau )}\cdots \operatorname {ad} _{\Omega _{k_{j}}(\tau )}A(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2,

что становится все более сложным с $n$ .

Стохастический случай

Распространение на стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения

Для распространения на стохастический случай пусть ${\textstyle \left(W_{t}\right)_{t\in [0,T]}}$ быть ${\textstyle \mathbb {R} ^{q}}$ -мерное броуновское движение , ${\textstyle q\in \mathbb {N} _{>0}}$ , в вероятностном пространстве ${\textstyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ с конечным временным горизонтом ${\textstyle T>0}$ и естественная фильтрация. Теперь рассмотрим линейное матричное стохастическое дифференциальное уравнение Ито (с соглашением Эйнштейна о суммировании по индексу $j$ )

dX_{t}=B_{t}X_{t}dt+A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},\quad X_{0}=I_{d},\qquad d\in \mathbb {N} _{>0},

где ${\textstyle B_{\cdot },A_{\cdot }^{(1)},\dots ,A_{\cdot }^{(j)}}$ постепенно измеримы ${\textstyle d\times d}$ -значные ограниченные случайные процессы и ${\textstyle I_{d}}$ является единичной матрицей . Следуя тому же подходу, что и в детерминированном случае, с изменениями из-за стохастической ситуации. ^[1] соответствующий матричный логарифм окажется как Ито-процесс, первые два порядка разложения которого определяются выражением ${\textstyle Y_{t}^{(1)}=Y_{t}^{(1,0)}+Y_{t}^{(0,1)}}$ и ${\textstyle Y_{t}^{(2)}=Y_{t}^{(2,0)}+Y_{t}^{(1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$ , гдес соглашением Эйнштейна о суммировании по $i$ и $j$

{\begin{aligned}Y_{t}^{(0,0)}&=0,\\Y_{t}^{(1,0)}&=\int _{0}^{t}A_{s}^{(j)}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,1)}&=\int _{0}^{t}B_{s}\,ds,\\Y_{t}^{(2,0)}&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\big (}A_{s}^{(j)}{\big )}^{2}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}A_{r}^{(i)}\,dW_{r}^{i}{\Big ]}dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(1,1)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}A_{r}^{(j)}\,dW_{r}{\Big ]}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,2)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,ds.\end{aligned}}

Сходимость расширения

В стохастической ситуации сходимость теперь будет зависеть от времени остановки. ${\textstyle \tau }$ и первый результат сходимости определяется следующим образом: ^[2]

При предыдущем предположении о коэффициентах существует сильное решение ${\textstyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$ , а также строго положительныйвремя остановки ${\textstyle \tau \leq T}$ такой, что:

${\textstyle X_{t}}$ имеет действительный логарифм ${\textstyle Y_{t}}$ вовремя ${\textstyle \tau }$ , то есть
$X_{t}=e^{Y_{t}},\qquad 0\leq t<\tau ;$
имеет место следующее представление ${\textstyle \mathbb {P} }$ - почти наверняка:
$Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)},\qquad 0\leq t<\tau ,$
где ${\textstyle Y^{(n)}}$ — $n$ -й член стохастического разложения Магнуса, как определено ниже в подразделе «Формула расширения Магнуса»;
существует положительная константа $C$ , зависящая только от ${\textstyle \|A^{(1)}\|_{T},\dots ,\|A^{(q)}\|_{T},\|B\|_{T},T,d}$ , с ${\textstyle \|A_{\cdot }\|_{T}=\|\|A_{t}\|_{F}\|_{L^{\infty }(\Omega \times [0,T])}}$ , такой, что
$\mathbb {P} (\tau \leq t)\leq Ct,\qquad t\in [0,T].$

Формула расширения Магнуса

Общая формула стохастического расширения Магнуса имеет вид:

Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)}\quad {\text{with}}\quad Y_{t}^{(n)}:=\sum _{r=0}^{n}Y_{t}^{(r,n-r)},

где общий термин ${\textstyle Y^{(r,n-r)}}$ представляет собой Ито-процесс вида:

Y_{t}^{(r,n-r)}=\int _{0}^{t}\mu _{s}^{r,n-r}ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{r,n-r,j}dW_{s}^{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\ r=0,\dots ,n,

Условия ${\textstyle \sigma ^{r,n-r,j},\mu ^{r,n-r}}$ определяются рекурсивно как

{\begin{aligned}\sigma _{s}^{r,n-r,j}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,n-r,i}{\big (}A^{(j)}{\big )},\\\mu _{s}^{r,n-r}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r,n-r-1,i}(B)-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{q}\sum _{i=0}^{n-2}{\frac {\beta _{i}}{i!}}\sum _{q_{1}=2}^{r}\sum _{q_{2}=0}^{n-r}S^{r-q_{1},n-r-q_{2},i}{\big (}Q^{q_{1},q_{2},j}{\big )},\end{aligned}}

с

{\begin{aligned}Q_{s}^{q_{1},q_{2},j}:=\sum _{i_{1}=2}^{q_{1}}\sum _{i_{2}=0}^{q_{2}}\sum _{h_{1}=1}^{i_{1}-1}\sum _{h_{2}=0}^{i_{2}}&\sum _{p_{1}=0}^{q_{1}-i_{1}}\sum _{{p_{2}}=0}^{q_{2}-i_{2}}\ \sum _{m_{1}=0}^{p_{1}+p_{2}}\ \sum _{{m_{2}}=0}^{q_{1}-i_{1}-p_{1}+q_{2}-i_{2}-p_{2}}\\&{\Bigg (}{{\frac {S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}}{({m_{1}}+1)!}}{\frac {S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )}}{({m_{2}}+1)!}}}\\&\qquad \qquad +{\frac {{\big [}S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )},S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}{\big ]}}{({m_{1}}+{m_{2}}+2)({m_{1}}+1)!{m_{2}}!}}{\Bigg )},\end{aligned}}

и с операторами $S,$ определяемыми как

{\begin{aligned}S_{s}^{r-1,n-r,0}(A)&:={\begin{cases}A&{\text{if }}r=n=1,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\S_{s}^{r-1,n-r,i}(A)&:=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots +k_{i}=n-r\end{array}}{\big [}Y_{s}^{(j_{1},k_{1})},{\big [}\dots ,{\big [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{\big ]}\dots {\big ]}{\big ]}\\&=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots k_{i}=n-r\end{array}}\operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}\circ \cdots \circ \operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{i},k_{i})}}(A_{s}),\qquad i\in \mathbb {N} .\end{aligned}}

Приложения

С 1960-х годов расширение Магнуса успешно применяется в качестве пертурбативного инструмента во многих областях физики и химии, от атомной и молекулярной физики до ядерного магнитного резонанса. ^[3] и квантовая электродинамика . ^[4] Он также используется с 1998 года как инструмент для построения практических алгоритмов численного интегрирования матричных линейных дифференциальных уравнений. Поскольку они наследуют от расширения Магнусас сохранением качественных особенностей задачи, соответствующие схемы являются прототипными примерами геометрических числовых интеграторов .

См. также

Примечания

^ Камм, Пальярани и Паскуччи, 2021 г.
^ Камм, Пальярани и Паскуччи, 2021 , Теорема 1.1.
^ Хэберлен, У.; Во, Дж.С. (1968). «Эффекты когерентного усреднения в магнитном резонансе». Физ. Преподобный . 175 (2): 453–467. Бибкод : 1968PhRv..175..453H . дои : 10.1103/PhysRev.175.453 .
^ Ангарони, Фабрицио; Бененти, Джулиано; Стрини, Джулиано (2018). «Применение расширений Пикара и Магнуса к модели Раби». Европейский физический журнал Д. 72 (10): 188. arXiv : 1802.08897 . Бибкод : 2018EPJD...72..188A . doi : 10.1140/epjd/e2018-90190-y . (См. модель Раби .)

Ссылки

Магнус, В. (1954). «О показательном решении дифференциальных уравнений для линейного оператора». Комм. Чистое приложение. Математика . VII (4): 649–673. дои : 10.1002/cpa.3160070404 .
Бланес, С.; Касас, Ф.; Отео, Дж.А.; Рос, Дж. (1998). «Разложения Магнуса и Фера для матричных дифференциальных уравнений: проблема сходимости». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 31 (1): 259–268. Бибкод : 1998JPhA...31..259B . дои : 10.1088/0305-4470/31/1/023 .
Изерлес, А.; Норсетт, СП (1999). «О решении линейных дифференциальных уравнений в группах Ли». Фил. Пер. Р. Сок. Лонд. А. 357 (1754): 983–1019. Бибкод : 1999RSPTA.357..983I . CiteSeerX 10.1.1.15.4614 . дои : 10.1098/rsta.1999.0362 . S2CID 90949835 .
Бланес, С.; Касас, Ф.; Отео, Дж.А.; Рос, Дж. (2009). «Расширение Магнуса и некоторые его приложения». Физ. Представитель . 470 (5–6): 151–238. arXiv : 0810.5488 . Бибкод : 2009PhR...470..151B . дои : 10.1016/j.physrep.2008.11.001 . S2CID 115177329 .
Камм, К.; Пальярани, С.; Паскуччи, А. (2021). «О стохастическом расширении Магнуса и его применении к SPDE». Журнал научных вычислений . 89 (3): 56. arXiv : 2001.01098 . дои : 10.1007/s10915-021-01633-6 . S2CID 211259118 .

Внешние ссылки

«Расширения Магнуса» . Ютуб . 25 декабря 2020 г. «Мелвин Леок | Кафедра математики» . UCSD
«Фер расширения» . Ютуб . 25 декабря 2020 г.
«Мотивация расширения Магнуса и Фера» . Ютуб . 25 декабря 2020 г.

[1] Камм, Пальярани и Паскуччи, 2021 г.

[2] Камм, Пальярани и Паскуччи, 2021 , Теорема 1.1.

[3] Хэберлен, У.; Во, Дж.С. (1968). «Эффекты когерентного усреднения в магнитном резонансе». Физ. Преподобный . 175 (2): 453–467. Бибкод : 1968PhRv..175..453H . дои : 10.1103/PhysRev.175.453 .

[4] Ангарони, Фабрицио; Бененти, Джулиано; Стрини, Джулиано (2018). «Применение расширений Пикара и Магнуса к модели Раби». Европейский физический журнал Д. 72 (10): 188. arXiv : 1802.08897 . Бибкод : 2018EPJD...72..188A . doi : 10.1140/epjd/e2018-90190-y . (См. модель Раби .)

[1]

[2]

[3]

[4]