Производная экспоненциальной карты

В 1899 году исследования Анри Пуанкаре по групповому умножению в алгебраических терминах Ли привели его к формулировке универсальной обертывающей алгебры .

В теории групп Ли экспоненциальное отображение — это отображение алгебры Ли g группы G в G. Ли В случае, если G является матричной группой Ли , экспоненциальное отображение сводится к матричной экспоненте . Экспоненциальное отображение, обозначаемое exp: g → G , является аналитическим и имеет производную ⁠ d / dt ⁠ exp( X ( t )):T g → TG , где X ( t ) — C ¹ путь в алгебре Ли и тесно связанный с ним дифференциал d exp:T g → TG .

Формула для d exp была впервые доказана Фридрихом Шуром (1891). Позже он был разработан Анри Пуанкаре (1899) в контексте проблемы выражения умножения групп Ли с использованием алгебраических терминов Ли. Ее также иногда называют формулой Дюамеля .

Формула важна как в чистой, так и в прикладной математике. Он используется в доказательствах таких теорем, как формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа , и часто используется в физике. например, в квантовой теории поля , как в разложении Магнуса в теории возмущений , и в калибровочной теории решетки .

Везде обозначения exp( X ) и e ^Х будут использоваться взаимозаменяемо для обозначения экспоненты с учетом аргумента, за исключением случаев, когда, как отмечалось, обозначения имеют разные значения. Здесь предпочтительнее использовать обозначения в стиле исчисления для лучшей читаемости уравнений. С другой стороны, стиль exp иногда более удобен для встроенных уравнений и необходим в тех редких случаях, когда необходимо провести реальное различие.

Заявление

Производная экспоненциального отображения определяется выражением

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=e^{X(t)}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX(t)}{dt}}.$               (1)

Объяснение

• X знак равно X ( t ) является C ¹ (непрерывно дифференцируемый) путь в алгебре Ли с производной X ′( t ) = ⁠ dX ( т ) / dt ⁠ . Аргумент t опускается там, где он не нужен.
• ad _X — линейное преобразование алгебры Ли, заданное формулой ad _X ( Y ) = [ X , Y ] . Это присоединенное действие алгебры Ли на себя.
• Фракция ⁠ 1 − exp(−ad _X ) / ad _X ⁠ задается степенным рядом
  ${\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}.$ ( 2 )
  полученный из степенного ряда экспоненциального отображения линейного эндоморфизма, как при возведении матрицы в степень.
• Когда G является матричной группой Ли, все вхождения экспоненты задаются разложением в степенной ряд.
• Когда G является не матричной группой Ли, ⁠ 1 − exp(−ad _X ) / ad _X ⁠ по-прежнему задается своим степенным рядом ( 2 ), в то время как два других вхождения exp в формулу, которые теперь являются экспоненциальным отображением в теории Ли , относятся к времени- один поток левоинвариантного рассматриваемой векторного поля X , т.е. элемент алгебры Ли, определенный в общем случае, на группе Ли G, как аналитическое многообразие . Это по-прежнему соответствует той же формуле, что и в матричном случае. Умножение слева элемента алгебры g на элемент exp( X ( t )) группы Ли интерпретируется как применение дифференциала левого перевода dL _{exp( X ( t ))} .
• Формула применима к случаю, когда exp рассматривается как отображение матричного пространства над ℝ или C , см. матричную экспоненту . Когда G = GL( n , C ) или GL( n , R ) , понятия точно совпадают.

Чтобы вычислить дифференциал d exp от exp в X , d exp _X : T g _X → TG exp _{( X )} , стандартный рецепт

$d\exp _{X}Y=\left.{\frac {d}{dt}}e^{Z(t)}\right|_{t=0},Z(0)=X,Z'(0)=Y$

трудоустроен. При Z ( t ) = X + tY результат

$d\exp _{X}Y=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}Y$ ( 3 )

следует непосредственно из (1) . частности, d exp ₀ :T g ₀ → TG _exp(0) = TG e _— тождество, поскольку T g _X ≃ g (поскольку g — векторное пространство) и TG e _≃ В g .

Доказательство

Приведенное ниже доказательство предполагает матричную группу Ли. Это означает, что экспоненциальное отображение алгебры Ли в матричную группу Ли задается обычным степенным рядом, т.е. возведением матрицы в степень. Вывод доказательства остается справедливым и в общем случае, при условии, что каждое появление exp правильно интерпретируется. См. комментарии к общему случаю ниже.

В схеме доказательства используется техника дифференцирования по s параметризованного выражения

$\Gamma (s,t)=e^{-sX(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}$

чтобы получить дифференциальное уравнение первого порядка для Γ , которое затем можно решить прямым интегрированием по s . Тогда решение будет e ^Х С(1, т) .

Лемма

Обозначим через Ad группы присоединенное действие на ее алгебре Ли. Действие задается Ad _A X = AXA. ⁻¹ для А € G , Икс € г. ​Часто полезная связь между объявлением и объявлением определяется выражением

$\mathrm {Ad} _{e^{X}}=e^{\mathrm {ad} _{X}},~~X\in {\mathfrak {g}}~.$               (4)

Доказательство

Используя правило произведения дважды, можно найти:

${\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}+e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[X(t)e^{sX(t)}\right]=e^{-sX}{\frac {dX}{dt}}e^{sX}.$

Тогда можно заметить, что

${\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'=e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X',$

согласно (4) выше. Интеграция дает

$\Gamma (1,t)=e^{-X(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}{\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}ds=\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X'ds.$

Используя формальный степенной ряд для расширения экспоненты, интегрируя почленно и, наконец, признавая ( 2 ),

$\Gamma (1,t)=\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}s^{k}}{k!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}ds=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}},$

и результат следующий. Доказательство, представленное здесь, по существу соответствует тому, которое приведено в Rossmann (2002) . Более алгебраическое доказательство можно найти в Hall (2015) .

Комментарии к общему случаю

Формула в общем случае имеет вид

${\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C)\phi (-\mathrm {ad} (C))C~',$

где

$\phi (z)={\frac {e^{z}-1}{z}}=1+{\frac {1}{2!}}z+{\frac {1}{3!}}z^{2}+\cdots ,$

что формально сводится к

${\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C){\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{C}}}{\mathrm {ad} _{C}}}{\frac {dC(t)}{dt}}.$

Здесь обозначение exp используется для экспоненциального отображения алгебры Ли, а обозначение дроби в стиле исчисления указывает на обычное формальное разложение в ряд. Дополнительную информацию и два полных доказательства в общем случае см. в свободно доступной ссылке Sternberg (2004) .

Прямой формальный аргумент

быть ответ Непосредственный способ увидеть, каким должен , если он существует, заключается в следующем. Существование необходимо доказывать отдельно в каждом случае. Путем прямого дифференцирования стандартного предельного определения экспоненты и замены порядка дифференцирования и предела,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\lim _{N\to \infty }{\frac {d}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{k=1}^{N}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N-k}{\frac {1}{N}}{\frac {dX(t)}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{k-1}~,\end{aligned}}$

где каждый множитель обязан своим местом некоммутативности X ( t ) и X ´( t ) .

Разделив единичный интервал на N участков Δ s = ⁠ ⁠ Δ k / N ⁠ ( Δ k = 1 , поскольку индексы сумм являются целыми числами) и полагая N → ∞, Δ k → dk , ⁠ k / N ⁠ → s , Σ → ∫ дает

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\int _{0}^{1}e^{(1-s)X}X'e^{sX}ds=e^{X}\int _{0}^{1}\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'ds\\&=e^{X}\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}dsX'=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}}~.\end{aligned}}$

Приложения

Локальное поведение экспоненциальной карты

Теорема об обратной функции вместе с производной экспоненциального отображения предоставляет информацию о локальном поведении exp . Любой С ^к , 0 ≤ k ≤ ∞, ω- отображение f между векторными пространствами (здесь сначала рассматриваются матричные группы Ли) имеет C ^к обратный такой, что f является C ^к биекция в открытом множестве вокруг точки x в области, при условии, что df _x обратима. Из ( 3 ) следует, что это произойдет именно тогда, когда

${\frac {1-e^{\mathrm {ad_{X}} }}{\mathrm {ad} _{X}}}$

является обратимым. Это, в свою очередь, происходит, когда все собственные значения этого оператора не равны нулю. Собственные значения ⁠ 1 − exp(−ad _X ) / ad _X ⁠ связаны с объявлениями X _{следующим} образом. Если g — аналитическая функция комплексной переменной, выраженная в степенном ряде, такая, что g ( U ) для матрицы U сходится, то собственными значениями g ( U ) будут g ( λ _ij ) , где λ _ij — собственные значения матрицы U. U двойной индекс поясняется ниже. В данном случае при g ( U ) = ⁠ 1 − exp(− U ) / U ⁠ и U = ad _X , собственные значения ⁠ 1 − exp(−ad _X ) / ad _X ⁠ являются

${\frac {1-e^{-\lambda _{ij}}}{\lambda _{ij}}},$

где λij _— собственные объявления _X. значения положить ⁠ 1 − exp(− λ _ij ) / λ _ij ⁠ = 0, то видно, что d exp обратим именно тогда, когда

$\lambda _{ij}\neq k2\pi i,k=\pm 1,\pm 2,\ldots .$

Собственные значения объявления _X , в свою очередь, связаны с собственными значениями X . Пусть собственные значения X равны λ _i . Зафиксируйте упорядоченный базис e _i базового векторного пространства V такой, что X является нижнетреугольным. Затем

$Xe_{i}=\lambda _{i}e_{i}+\cdots ,$

с остальными членами, en _{кратными} с n > i . Пусть E _ij будет соответствующим базисом матричного пространства, т.е. ( E _ij ) _kl = δ _ik δ _jl . Упорядочите этот базис так, чтобы E _ij < E _nm, если i − j < n − m . Проверяют, что действие объявления _X определяется формулой

$\mathrm {ad} _{X}E_{ij}=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{ij}+\cdots \equiv \lambda _{ij}E_{ij}+\cdots ,$

а остальные члены кратны E _mn > E _ij . Это означает, что объявление _X является нижнетреугольным с собственными значениями λ _ij = λ _i − λ _j на диагонали. Вывод состоит в том, что d exp _X обратим, следовательно, exp является локальной бианалитической биекцией вокруг X , когда собственные значения X удовлетворяют условиям

$\lambda _{i}-\lambda _{j}\neq k2\pi i,\quad k=\pm 1,\pm 2,\ldots ,\quad 1\leq i,j\leq n=\dim V.$

В частности, в случае матричных групп Ли, поскольку d exp ₀ обратим, по теореме об обратной функции следует , что exp является бианалитической биекцией в окрестности 0 ∈ g в матричном пространстве. Более того, exp , является бианалитической биекцией из окрестности 0 ∈ g в g в окрестность e ∈ G . Тот же вывод справедлив и для общих групп Ли, если использовать многообразную версию теоремы об обратной функции.

также следует Из теоремы о неявной функции , что сама d exp _ξ обратима при достаточно малом ξ .

Вывод формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

Основная статья: формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Если Z ( t ) определено так, что

$e^{Z(t)}=e^{X}e^{tY},$

выражение для Z (1) = log( exp X exp Y ) , формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа , ​​может быть получено из приведенной выше формулы,

$\exp(-Z(t)){\frac {d}{dt}}\exp(Z(t))={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t).$

Его левая часть, как легко видеть, равна Y . Таким образом,

$Y={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t),$

и, следовательно, формально

$Z'(t)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}Y\equiv \psi \left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}\right)Y,\quad \psi (w)={\frac {w\log w}{w-1}}=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m(m+1)}}(w-1)^{m},\|w\|<1.$

Однако, используя связь между Ad и ad, заданную формулой (4) , легко увидеть, что

$e^{\mathrm {ad} _{Z}}=e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}$

и, следовательно,

$Z'(t)=\psi \left(e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}\right)Y.$

Если представить это в виде интеграла по t от 0 до 1, получим:

$Z(1)=\log(\exp X\exp Y)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\,{\text{ad}}_{Y}}\right)\,dt\right)\,Y,$

интегральная формула для Z (1), которая более удобна на практике, чем явная формула ряда Дынкина, из-за простоты разложения ψ в ряд . Обратите внимание, что это выражение состоит из X+Y и их вложенных коммутаторов с X или Y . Хрестоматийное доказательство в этом направлении можно найти в работах Холла (2015) и Миллера (1972) .

Вывод формулы ряда Дынкина

Евгений Дынкин дома в 2003 году. В 1947 году Дынкин доказал явную формулу ряда БЧХ. Пуанкаре , Бейкер , Кэмпбелл и Хаусдорф были в основном озабочены существованием скобочного ряда, которого достаточно во многих приложениях, например, для доказательства центральных результатов в соответствии Лия . Фото предоставлено Коллекцией Дынкина.

Упомянутую формулу Дынкина можно вывести аналогично, исходя из параметрического расширения

$e^{Z(t)}=e^{tX}e^{tY},$

откуда

$e^{-Z(t)}{\frac {de^{Z(t)}}{dt}}=e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y~,$

так что, используя приведенную выше общую формулу,

$Z'={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}~\left(e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y\right)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1}}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).$

Поскольку, однако,

${\begin{aligned}\mathrm {ad_{Z}} &=\log \left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)\right)=\log \left(1+\left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)-1\right)\right)\\&=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(\exp(\mathrm {ad} _{Z})-1)^{n}~,\quad \|\mathrm {ad} _{Z}\|<\log 2~~,\end{aligned}}$

последний шаг в силу разложения в ряд Меркатора , отсюда следует, что

$Z'=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right)~,$ ( 5 )

и, таким образом, интегрируя,

$Z(1)=\int _{0}^{1}dt~{\frac {dZ(t)}{dt}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\int _{0}^{1}dt~\left(e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).$

На этом этапе очевидно, что качественное утверждение формулы БЧ имеет место, а именно, что Z лежит в алгебре Ли, порожденной X , Y , и выражается в виде ряда в повторяющихся скобках (A) . Для каждого k слагаемые каждого его разбиения организованы внутри интеграла ∫ dt t ^{к -1} . Тогда полученная формула Дынкина будет иметь вид

$Z=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k.$

Аналогичное доказательство с подробным разложением в ряд см. в Rossmann (2002) .

Комбинаторные детали

Измените индекс суммирования в ( 5 ) на k = n − 1 и разложите

${\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\left\{\left(e^{\mathrm {ad} _{tX}}e^{\mathrm {ad} _{tY}}-1\right)^{k}X+\left(e^{\mathrm {ad} _{tX}}e^{\mathrm {ad} _{tY}}-1\right)^{k}e^{\mathrm {ad} _{tX}}Y\right\}$ ( 97 )

в степенном ряду. Чтобы упростить разложение в ряд, сначала рассмотрим Z = log( e ^Х и ^И ) . Лог - серия и экс -серия определяются выражением

$\log(A)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{(A-I)}^{k},\quad {\text{and}}\quad e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}$

соответственно. Объединив их, можно получить

$\log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{\left(e^{X}e^{Y}-I\right)}^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\left({\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {Y^{j}}{j!}}-I}\right)^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\left(\sum _{i,j\geq 0,i+j>1}^{\infty }{\frac {X^{i}Y^{j}}{i!j!}}\right)^{k}.$ ( 98 )

Это становится

$Z=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,$        (99)

где S _k — множество всех последовательностей s = ( i ₁ , j ₁ , ..., i _k , j _k ) длины 2 k, подчиняющихся условиям (99) .

Теперь замените ( e ^Х и ^И − 1) для ( e ^{реклама _TX} и ^{ОБЪЯВЛЕНИЕ _​} − 1) в левой части ( 98 ). Тогда уравнение (99) дает

${\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}X\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}X^{i_{k+1}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}}Y,\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,\end{aligned}}$

или, сменив обозначения, см. Явную формулу Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа ,

${\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.$

Обратите внимание, что индекс суммирования для крайнего правого e ^{реклама _TX} во втором слагаемом в ( 97 ) обозначается i _{k + 1} , но не является элементом последовательности s ∈ S _k . Теперь проинтегрируем Z = Z (1) = ∫ ⁠ dZ / dt ⁠ dt , используя Z (0) = 0 ,

${\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.$

Напишите это как

${\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k+1}=1)+(j_{k+1}=0)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}=1)}Y^{(j_{k+1}=0)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+(j_{k+1}=1)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1}=1)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)!}},\\\\&(i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k).\end{aligned}}$

Это составляет

$Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k+1}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+j_{k+1}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1})}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!j_{k+1}!}},$ ( 100 )

где $i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k+1,$ используя простое наблюдение, что [ T , T ] = 0 для всех T . То есть в ( 100 ) главный член исчезает, если только j _{k + 1} не равно 0 или 1 , что соответствует первому и второму членам уравнения перед ним. В случае j _{k + 1} = 0 , i _{k + 1} должно равняться 1 , иначе член исчезает по той же причине ( i _{k + 1} = 0 не допускается). Наконец, сдвиньте индекс k → k − 1 ,

$Z=\log e^{X}e^{Y}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},~i_{r},j_{r}\geq 0,~i_{r}+j_{r}>0,~1\leq r\leq k.$

Это формула Дынкина. Поразительное сходство с (99) не случайно: оно отражает отображение Дынкина–Шпехта–Вевера , лежащее в основе оригинального, иного вывода формулы. А именно, если

$X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}$

выражается в виде скобочного ряда, то обязательно

$X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}={\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\right]}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}.$ ( Б )

Объединение наблюдения (A) и теоремы ( B ) вместе дает краткое доказательство явной формулы БЧХ.

См. также

• Матрица логарифма

Ссылки

• Dynkin, Eugene Borisovich (1947), "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff" [Calculation of the coefficients in the Campbell–Hausdorff formula], Doklady Akademii Nauk SSSR (in Russian), 57 : 323–326  ; translation from Google books .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Миллер, Уллард (1972), Группы симметрии и их приложения , Academic Press, ISBN  0-12-497460-0
• Пуанкаре, Х. (1899), «О непрерывных группах», Cambridge Philos. Пер. , 18 :220–55
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• Шур, Ф. (1891), «К теории конечных групп преобразований», кафедра математики Univ. Гамбург , 4 : 15–32.
• Сузуки, Масуо (1985). «Формулы разложения экспоненциальных операторов и экспонент Лия с некоторыми приложениями к квантовой механике и статистической физике». Журнал математической физики . 26 (4): 601–612. Бибкод : 1985JMP....26..601S . дои : 10.1063/1.526596 .
• Тюйнман (1995), «Вывод экспоненциального отображения матриц», амер. Математика. Ежемесячно , 102 (9): 818–819, номер номера : 10.2307/2974511 , JSTOR   2974511.
• Вельтман М. , Т Хоофт Г. и де Вит Б. (2007). «Группы Ли в физике», онлайн-лекции .
• Уилкокс, Р.М. (1967). «Экспоненциальные операторы и дифференцирование параметров в квантовой физике». Журнал математической физики . 8 (4): 962–982. Бибкод : 1967JMP.....8..962W . дои : 10.1063/1.1705306 .

Внешние ссылки

• Штернберг, Шломо (2004), Алгебры Ли (PDF)
• Шмид, Вильфрид (1982), «Группы Пуанкаре и Ли» (PDF) , Bull. амер. Математика. Соц. , 6 (2): 175–186, doi : 10.1090/s0273-0979-1982-14972-2