Логарифм матрицы

В математике логарифм матрицы — это другая матрица , у которой матричная экспонента последней матрицы равна исходной матрице. Таким образом, это обобщение скалярного логарифма и в некотором смысле обратная функция матричной экспоненты . Не все матрицы имеют логарифм, а те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к теории Ли, поскольку, когда матрица имеет логарифм, то она находится в элементе группы Ли , а логарифм является соответствующим элементом векторного пространства алгебры Ли .

Определение

Экспонента матрицы A определяется формулой

$e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}$.

Учитывая матрицу B , другая матрица A называется матрицей-логарифмом B , если e ^А = Б. ​

Поскольку показательная функция не является биективной для комплексных чисел (например, $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$), числа могут иметь несколько комплексных логарифмов, и как следствие этого некоторые матрицы могут иметь более одного логарифма, как описано ниже. Если матричный логарифм $B$ существует и уникален, то он записывается как $\log B,$ в этом случае $e^{\log B}=B.$

Выражение степенного ряда

Если B достаточно близко к единичной матрице, то логарифм B можно вычислить с помощью степенного ряда

$\log(B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-{\frac {(B-I)^{4}}{4}}+\cdots$.

В частности, если $\left\|B-I\right\|<1$, то предыдущий ряд сходится и $e^{\log(B)}=B$.

Пример: логарифм поворотов на плоскости.

Вращения на плоскости дают простой пример. Поворот угла α вокруг начала координат представлен матрицей 2 × 2

$A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.$

Для любого целого числа n матрица

$B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},$

логарифмом А. является

показывать Доказательство

$\log(A)=B_{n}~$⇔$~~e^{B_{n}}=A$ $e^{B_{n}}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}~$ where $(B_{n})^{0}=1~I_{2},$ $(B_{n})^{1}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\+1&0\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{2}=(\alpha +2\pi n)^{2}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{3}=(\alpha +2\pi n)^{3}{\begin{pmatrix}0&+1\\-1&0\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{4}=(\alpha +2\pi n)^{4}~I_{2}$ ... $\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}=A~.$ qed.

Таким образом, матрица A имеет бесконечное число логарифмов. Это соответствует тому, что угол поворота определяется только до значений, кратных 2 π .

На языке теории Ли матрицы вращения A являются элементами группы Ли SO(2) . Соответствующие логарифмы B являются элементами алгебры Ли so(2), которая состоит из всех кососимметричных матриц . Матрица

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}$

является генератором алгебры Ли so(2).

Существование

На вопрос о том, имеет ли матрица логарифм, проще всего ответить, если рассматривать его в сложной ситуации. Комплексная матрица имеет логарифм тогда и только тогда, когда она обратима . Логарифм не уникален, но если матрица не имеет отрицательных действительных собственных значений , то существует уникальный логарифм, все собственные значения которого лежат в полосе. $\{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}$. Этот логарифм известен как главный логарифм .

Ответ больше связан с реальной обстановкой. Действительная матрица имеет действительный логарифм тогда и только тогда, когда она обратима и каждый жордановый блок, принадлежащий отрицательному собственному значению, встречается четное число раз. Если обратимая вещественная матрица не удовлетворяет условию с жордановыми блоками, то она имеет только невещественные логарифмы. Это можно увидеть уже в скалярном случае: ни одна ветвь логарифма не может быть вещественной при -1. Существование действительных матричных логарифмов действительных матриц 2 × 2 рассматривается в следующем разделе.

Характеристики

Если A и B — положительно определенные матрицы , то

$\operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.$

Предположим, что A и B коммутируют, то есть AB = BA . Затем

$\log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}$

тогда и только тогда, когда $\operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]$, где $\mu _{j}$ является собственным значением $A$ и $\nu _{j}$ соответствующее собственное значение $B$. В частности, $\log(AB)=\log(A)+\log(B)$ когда A и B коммутируют и оба положительно определены . Настройка Б = А ⁻¹ в этом уравнении дает

$\log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.$

Аналогично, для некоммутирующих $A$ и $B$, можно показать, что

$\log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).$

В более общем смысле, последовательное расширение $\log {(A+tB)}$ в полномочиях $t$ можно получить, используя интегральное определение логарифма

$\log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},$

применяется к обоим $X=A$ и $X=A+tB$ в пределе $\lambda \rightarrow \infty$.

Дальнейший пример: логарифм вращений в трехмерном пространстве.

Вращение R ∈ SO(3) в $\mathbb {R}$³ задается ортогональной матрицей 3×3 .

Логарифм такой матрицы вращения R можно легко вычислить из антисимметричной части формулы вращения Родригеса , явно в угле оси . Он дает логарифм минимальной нормы Фробениуса , но терпит неудачу, когда R имеет собственные значения, равные −1, где это не уникально.

Далее обратите внимание, что, учитывая матрицы вращения A и B ,

$d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\text{T}}B)\|_{F}$

- геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения.

Вычисление логарифма диагонализуемой матрицы

Метод нахождения log A для диагонализуемой матрицы A заключается в следующем:

матрицу V собственных векторов A V (каждый столбец Найдите является собственным вектором A ).

Найдите обратную V ⁻¹ В. ​ ​

Позволять

$A'=V^{-1}AV.$

Тогда A ′ будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями A .

Замените каждый диагональный элемент A ′ его (натуральным) логарифмом, чтобы получить $\log A'$.

Затем

$\log A=V(\log A')V^{-1}.$

Тот факт, что логарифм A может быть комплексной матрицей, даже если A действителен, следует из того факта, что матрица с действительными и положительными элементами, тем не менее, может иметь отрицательные или даже комплексные собственные значения (это верно, например, для матриц вращения ). Неединственность логарифма матрицы следует из неединственности логарифма комплексного числа.

Логарифм недиагонализируемой матрицы

Алгоритм, показанный выше, не работает для недиагонализуемых матриц, таких как

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

Для таких матриц необходимо найти ее жордановое разложение , и вместо вычисления логарифма диагональных элементов, как указано выше, можно вычислить логарифм жордановых блоков .

Последнее достигается, если заметить, что жордановый блок можно записать как

$B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)$

где K — матрица с нулями на главной диагонали и под ней. (Число λ отлично от нуля в предположении, что матрица, логарифм которой пытаются взять, обратима.)

Затем по ряду Меркатора

$\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

каждый получает

$\log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots$

Этот ряд имеет конечное число членов ( K ^м равно нулю, если m равно или больше размерности K ), и поэтому его сумма четко определена.

Пример. Используя этот подход, можно найти

$\log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},$

в чем можно убедиться, подставив правую часть в матричную экспоненту: $$\exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$$

Перспектива функционального анализа

Квадратная матрица представляет собой линейный оператор в евклидовом пространстве R ^н где n — размерность матрицы. Поскольку такое пространство конечномерно, этот оператор фактически ограничен .

Используя инструменты голоморфного функционального исчисления , зная голоморфную функцию f, на открытом множестве в комплексной плоскости , и ограниченный линейный оператор T , можно вычислить f ( T пока f определена в спектре T. определенную ) до тех пор ,

Функция f ( z ) = log z может быть определена на любом односвязном открытом множестве в комплексной плоскости, не содержащем начала координат, и она голоморфна в такой области. Это означает, что можно определить ln T до тех пор, пока спектр T не содержит начала координат и существует путь, идущий от начала координат до бесконечности, не пересекающий спектр T (например, если спектр T представляет собой круг с начала координат внутри него невозможно определить ln T ).

Спектр линейного оператора на R ^н является набором собственных значений ее матрицы и поэтому является конечным множеством. Пока начало координат не находится в спектре (матрица обратима), условие пути из предыдущего абзаца удовлетворяется и ln T четко определен. Неединственность матричного логарифма следует из того, что можно выбрать более одной ветви логарифма, определенной на множестве собственных значений матрицы.

Взгляд на теорию групп Ли

В теории групп Ли существует экспоненциальное отображение алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ соответствующей группе Ли G

$\exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.$

Для матричных групп Ли элементы ${\mathfrak {g}}$ и G являются квадратными матрицами, а экспоненциальное отображение задается матричной экспонентой . Обратная карта $\log =\exp ^{-1}$ многозначен и совпадает с обсуждаемым здесь матричным логарифмом. Логарифм отображает группу Ли G в алгебру Ли. ${\mathfrak {g}}$. Заметим, что экспоненциальное отображение представляет собой локальный диффеоморфизм между окрестностью U нулевой матрицы ${\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}$ и окрестность V единичной матрицы ${\underline {1}}\in G$. Таким образом, (матричный) логарифм корректно определен как отображение:

$\log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.$

Тогда важным следствием формулы Якоби является

$\log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.$

Ограничения в случае 2 × 2

Если действительная матрица 2 × 2 имеет отрицательный определитель , она не имеет вещественного логарифма. трех типов комплексного числа z = x + yε ε , где ' Прежде всего заметим, что любую действительную матрицу размера 2 × 2 можно рассматривать как один из ² ∈ {−1, 0, +1 }. Этот z является точкой комплексной подплоскости кольца матриц .

Случай, когда определитель отрицателен, возникает только в плоскости с ε ² =+1, то есть плоскость расщепленных комплексных чисел . Только одна четверть этой плоскости является изображением экспоненциальной карты, поэтому логарифм определяется только в этой четверти (квадранте). Остальные три квадранта представляют собой образы этого квадранта при четырехгруппе Клейна, порожденной ε и −1.

Например, пусть a = log 2; тогда cosh a = 5/4 и sinh a = 3/4.Для матриц это означает, что

$A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&0.75\\0.75&1.25\end{pmatrix}}$.

Итак, эта последняя матрица имеет логарифм

$\log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}$.

Однако эти матрицы не имеют логарифма:

${\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}$.

Они представляют три других сопряжения с помощью четырехгруппы приведенной выше матрицы, которая имеет логарифм.

Несингулярная матрица размера 2 × 2 не обязательно имеет логарифм, но она сопряжена четырехгруппой с матрицей, которая имеет логарифм.

Отсюда также следует, что, например, квадратный корень из этой матрицы A можно получить непосредственно из возведения в степень (log A )/2,

${\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&0.35\\0.35&1.06\end{pmatrix}}~.$

Для более богатого примера начните с тройки Пифагора ( p,q,r ).и пусть a = log( p + r ) − log q . Затем

$e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a$.

Сейчас

$\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}$.

Таким образом

${\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}$

имеет матрицу логарифмов

${\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}$ ,

где а знак равно журнал ( п + р ) - журнал q .

См. также

• Матричная функция
• Квадратный корень матрицы
• Матричная экспонента
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Производная экспоненциальной карты

Ссылки

• Гантмахер, Феликс Р. (1959), Теория матриц , том. 1, Нью-Йорк: Челси, стр. 239–241 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Калвер, Уолтер Дж. (1966), «О существовании и единственности действительного логарифма матрицы», Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (5): 1146–1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN   0002-9939 .
• Хайэм, Николас (2008), Функции матриц. Теория и вычисления , SIAM , ISBN  978-0-89871-646-7 .
• Энгё, Кент (июнь 2001 г.), «О формуле BCH в так (3)» , BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023/A:1021979515229 , ISSN   0006-3835 , S2CID   126053191