Геометрический интегратор

В математической области численных обыкновенных дифференциальных уравнений геометрический интегратор — это численный метод, который сохраняет геометрические свойства точного потока дифференциального уравнения.

Пример маятника

Мы можем мотивировать изучение геометрических интеграторов, рассматривая движение маятника .

Предположим, что у нас есть маятник, боб которого имеет массу $m=1$ ичей стержень не имеет массы по длине $\ell =1$. Возьмитеускорение силы тяжести должно быть $g=1$. Обозначим через $q(t)$ угловое смещение стержня от вертикали,и по $p(t)$ импульс маятника. Гамильтониан ​ ​система, сумма ее кинетической и потенциальной энергий, равна

$H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac {1}{2}}p^{2}-\cos q,$

что дает уравнения Гамильтона

$({\dot {q}},{\dot {p}})=(\partial H/\partial p,-\partial H/\partial q)=(p,-\sin q).\,$

естественно взять Конфигурационное пространство $Q$ из всех $q$ быть единицейкруг $\mathbb {S} ^{1}$, так что $(q,p)$ лежит нацилиндр $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R}$. Однако мы возьмем $(q,p)\in \mathbb {R} ^{2}$, просто потому что $(q,p)$-пространствотогда легче построить график. Определять $z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }$и $f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }$. Давайте поэкспериментируем поиспользуя некоторые простые численные методы для интеграции этой системы. По-прежнему,выбираем постоянный размер шага, $h$, а для произвольного неотрицательного целого числа $k$ мы пишем $z_{k}:=z(kh)$.Мы используем следующие методы.

$z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k})\,$ ( явный Эйлер ),

$z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k+1})\,$ ( неявный Эйлер ),

$z_{k+1}=z_{k}+hf(q_{k},p_{k+1})\,$ ( симплектический Эйлер ),

$z_{k+1}=z_{k}+hf((z_{k+1}+z_{k})/2)\,$ ( неявное правило средней точки ).

(Обратите внимание, что симплектический метод Эйлера рассматривает q явным и $p$ неявным методом Эйлера.)

Наблюдение, что $H$ постоянна вдоль решениякривые уравнений Гамильтона позволяют описать точнуютраектории системы: это уровня кривые $p^{2}/2-\cos q$. Мы рисуем, в $\mathbb {R} ^{2}$, точныйтраектории и численные решения системы. Для явногои неявные методы Эйлера возьмем $h=0.2$, и z ₀ = (0,5, 0) и (1,5, 0) соответственно; для двух других методов мы принимаем $h=0.3$, и z ₀ = (0, 0,7), (0, 1,4) и (0, 2,1).

Простой маятник: траектории

Явный (соответственно неявный) метод Эйлера выходит из (соответственно в) начала координат. Два других метода показывают правильное качественное поведение: неявное правило средней точки согласуется с точным решением в большей степени, чем симплектический метод Эйлера.

Напомним, что точный поток $\phi _{t}$ гамильтоновой системы с одной степенью свободы естьсохранение территории, в том смысле, что

$\det {\frac {\partial \phi _{t}}{\partial (q_{0},p_{0})}}=1$ для всех $t$.

Эту формулу легко проверить вручную. Для нашего маятникапример мы видим, что числовой поток $\Phi _{{\mathrm {eE} },h}:z_{k}\mapsto z_{k+1}$ явный метод Эйлера не сохраняет площадь; а именно,

$\det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {eE} },h}(z_{0})={\begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.$

Аналогичный расчет можно провести и для неявного метода Эйлера:где определитель

$\det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {iE} },h}(z_{0})=(1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.$

Однако симплектический метод Эйлера сохраняет площадь:

${\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE} },h}(z_{0})={\begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},$

таким образом $\det(\partial \Phi _{{\mathrm {sE} },h}/\partial (q_{0},p_{0}))=1$. Неявное правило средней точки имеет аналогичные геометрические свойства.

Подведем итог: пример маятника показывает, что, помимо явных инеявные методы Эйлера не являются хорошим выбором метода для решения задачи.задача, симплектический метод Эйлера и неявное правило средней точки согласуютсяхорошо с точным потоком системы, с соблюдением правила средней точкиболее внимательно. Более того, эти последние два метода сохраняют площадь,точно так же, как и точный поток; это два примера геометрических (фактически симплектических ) интеграторов.

Метод движущейся рамки

Метод движущейся системы отсчета можно использовать для построения численных методов, сохраняющих лиева симметрию ОДУ. Существующие методы, такие как Рунге-Кутта, можно модифицировать с использованием метода подвижной рамки для создания инвариантных версий.

См. также

• Энергетический дрейф
• Мимесис (математика)

Дальнейшее чтение

• Хайрер, Эрнст; Любич, Кристиан; Ваннер, Герхард (2002). Геометрическое численное интегрирование: алгоритмы, сохраняющие структуру для обыкновенных дифференциальных уравнений . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-43003-2 .
• Леймкулер, Бен; Райх, Себастьян (2005). Моделирование гамильтоновой динамики . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-77290-7 .
• Бадд, CJ; Пигготт, доктор медицины (2003). «Геометрическое интегрирование и его приложения». Справочник по численному анализу. Том. 11. Эльзевир. стр. 35–139. дои : 10.1016/S1570-8659(02)11002-7 . ISBN  9780444512475 .
• Ким, Пилвон (2007). «Инвариантизация числовых схем с использованием движущихся систем отсчета». БИТ Численная математика. Том. 47, нет. 3. Спрингер. стр. 525–546. дои : 10.1007/s10543-007-0138-8 .