Серия Неймана

Ряд Неймана — это математический ряд вида

\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}

где $T$ является оператором и $T^{k}:={}T^{k-1}\circ {T}$ его $k$ многократное применение. Это обобщает геометрический ряд .

Ряд назван в честь математика Карла Неймана , который использовал его в 1877 году в контексте теории потенциала . Ряд Неймана используется в функциональном анализе . Он составляет основу ряда Лиувилля-Неймана , который используется для решения интегральных уравнений Фредгольма . Это важно и при изучении спектра ограниченных операторов.

Характеристики

Предположим, что $T$ — ограниченный линейный оператор в нормированном векторном пространстве $X$ . Если ряд Неймана сходится по операторной норме , то ${\text{Id}}-T$ является обратимым , а его обратным является ряд:

(\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}

,

где $\mathrm {Id}$ является оператором идентификации в $X$ . Чтобы понять почему, рассмотрим частичные суммы

S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}T^{k}

.

Тогда у нас есть

\lim _{n\rightarrow \infty }(\mathrm {Id} -T)S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=0}^{n}T^{k+1}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\mathrm {Id} -T^{n+1}\right)=\mathrm {Id} .

Этот результат об операторах аналогичен геометрическим рядам в $\mathbb {R}$ , в котором мы находим, что:

(1-x)\cdot (1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}+x^{n})=1-x^{n+1},

1+x+x^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}.

Одним из случаев, когда сходимость гарантирована, является случай, когда $X$ является банаховым пространством и $|T|<1$ в операторной норме или $\sum |T^{n}|$ является конвергентным. Однако имеются и результаты, дающие более слабые условия сходимости ряда.

Пример

Позволять $C\in \mathbb {R} ^{3\times 3}$ быть предоставлено:

{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {5}{7}}&0&{\frac {1}{7}}\\{\frac {3}{10}}&{\frac {3}{5}}&0\end{pmatrix}}.

Нам нужно показать, что C меньше единицы в некоторой норме . Поэтому рассчитываем:

{\begin{aligned}||C||_{\infty }&=\max _{i}\sum _{j}|c_{ij}|=\max \left\lbrace {\frac {3}{4}},{\frac {6}{7}},{\frac {9}{10}}\right\rbrace ={\frac {9}{10}}<1.\end{aligned}}

Таким образом, из приведенного выше утверждения мы знаем, что $(I-C)^{-1}$ существует.

Приблизительное обращение матрицы

Усеченный ряд Неймана можно использовать для приближенного обращения матрицы . Чтобы аппроксимировать обратную обратимую матрицу $\mathbf {A}$ , мы можем назначить линейный оператор как:

T(\mathbf {x} )=(\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {x}

где $\mathbf {I}$ является единичной матрицей. Если нормальное состояние на $T$ удовлетворен, а затем усекает ряд на $n$ , мы получаем:

\mathbf {A} ^{-1}\approx \sum _{i=0}^{n}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{i}

Множество обратимых операторов открыто.

Следствием является то, что множество обратимых операторов между двумя банаховыми пространствами $B$ и $B'$ открыта в топологии, индуцированной операторной нормой. Действительно, пусть $S:B\to B'$ обратимый оператор и пусть $T:B\to B'$ быть другим оператором. Если $|S-T|<|S^{-1}|^{-1}$ , затем $T$ также является обратимым. С $|\mathrm {Id} -S^{-1}T|<1$ , ряд Неймана $\sum (\mathrm {Id} -S^{-1}T)^{k}$ является конвергентным. Поэтому у нас есть

T^{-1}S=(\mathrm {Id} -(\mathrm {Id} -S^{-1}T))^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(\mathrm {Id} -S^{-1}T)^{k}

Принимая нормы, получаем

|T^{-1}S|\leq {\frac {1}{1-|\mathrm {Id} -(S^{-1}T)|}}

Норма $T^{-1}$ может быть ограничено

|T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{where}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|.

Приложения

Серия Neumann использовалась для линейного обнаружения данных в массивных многопользовательских беспроводных системах с несколькими входами и множеством выходов (MIMO). Использование усеченного ряда Неймана позволяет избежать вычисления явной обратной матрицы, что снижает сложность обнаружения линейных данных из кубических в квадратные. ^[1]

Другое приложение - теория графов распространения , которая использует ряды Неймана для получения выражения в замкнутой форме для передаточной функции.

Ссылки

^ Ву, М.; Инь, Б.; Восуги, А.; Студер, К.; Кавалларо-младший; Дик, К. (май 2013 г.). «Приблизительная инверсия матрицы для обнаружения данных с высокой пропускной способностью в крупномасштабной восходящей линии связи MIMO» . Международный симпозиум IEEE по схемам и системам, 2013 г. (ISCAS2013) . стр. 2155–2158. дои : 10.1109/ISCAS.2013.6572301 . hdl : 1911/75011 . ISBN 978-1-4673-5762-3 . S2CID 389966 .

Вернер, Дирк (2005). Функциональный анализ (на немецком языке). Издательство Спрингер. ISBN 3-540-43586-7 .

[1] Ву, М.; Инь, Б.; Восуги, А.; Студер, К.; Кавалларо-младший; Дик, К. (май 2013 г.). «Приблизительная инверсия матрицы для обнаружения данных с высокой пропускной способностью в крупномасштабной восходящей линии связи MIMO» . Международный симпозиум IEEE по схемам и системам, 2013 г. (ISCAS2013) . стр. 2155–2158. дои : 10.1109/ISCAS.2013.6572301 . hdl : 1911/75011 . ISBN 978-1-4673-5762-3 . S2CID 389966 .

[1]