Серия Лиувилля – Неймана

В математике ряд Лиувилля -Неймана — это бесконечный ряд , соответствующий методу резольвентного формализма решения интегральных уравнений Фредгольма в теории Фредгольма .

Определение

Ряд Лиувилля – Неймана (итеративный) определяется как

$\phi \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}\phi _{n}\left(x\right)$

что при условии, что $\lambda$ достаточно мала, чтобы ряд сходился, является единственным непрерывным решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода,

$f(t)=\phi (t)-\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)\,ds.$

Если n- е итерированное ядро ​​определяется как n -1 вложенных интегралов от n операторов K ,

$K_{n}\left(x,z\right)=\int \int \cdots \int K\left(x,y_{1}\right)K\left(y_{1},y_{2}\right)\cdots K\left(y_{n-1},z\right)dy_{1}dy_{2}\cdots dy_{n-1}$

затем

$\phi _{n}\left(x\right)=\int K_{n}\left(x,z\right)f\left(z\right)dz$

с

$\phi _{0}\left(x\right)=f\left(x\right)~,$

поэтому K ₀ можно принять за δ ( x−z ) .

Резольвента (или решающее ядро ​​для интегрального оператора) тогда задается схематическим аналогом «геометрической прогрессии».

$R\left(x,z;\lambda \right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}K_{n}\left(x,z\right).$

где K ₀ было принято за δ ( x−z ) .

Таким образом, решение интегрального уравнения становится просто

$\phi \left(x\right)=\int R\left(x,z;\lambda \right)f\left(z\right)dz.$

Аналогичные методы можно использовать для решения уравнений Вольтерра .

См. также

• Серия Неймана

Ссылки

• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Benjamin, ISBN   0-8053-7002-1
• Фредхольм, Эрик И. (1903), «Об одном классе функциональных уравнений» , Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007/bf02421317