Интегральное преобразование

В математике интегральное преобразование — это тип преобразования, которое отображает функцию из исходного функционального пространства в другое функциональное пространство посредством интегрирования , где некоторые свойства исходной функции могут быть легче охарактеризованы и манипулировать ими, чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованную функцию обычно можно отобразить обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратного преобразования .

Общая форма

Интегральное преобразование – это любое преобразование $T$ следующей формы:

(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt

Входными данными этого преобразования является функция $f$ , и вывод представляет собой другую функцию $Tf$ . Интегральное преобразование — это особый вид математического оператора .

Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждый из них определяется выбором функции $K$ двух переменных , что называется ядром или ядром преобразования.

Некоторые ядра имеют связанное обратное ядро. $K^{-1}(u,t)$ что (грубо говоря) дает обратное преобразование:

f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du

Симметричное ядро — это ядро, которое не меняется при перестановке двух переменных; это функция ядра $K$ такой, что $K(t,u)=K(u,t)$ . В теории интегральных уравнений симметричные ядра соответствуют самосопряженным операторам . ^[1]

Мотивация

Существует множество классов задач, которые трудно решить (или, по крайней мере, весьма громоздко алгебраически) в их исходных представлениях. Интегральное преобразование «сопоставляет» уравнение из исходной «области» в другую область, в которой манипулировать уравнением и решать его может быть намного проще, чем в исходной области. Затем решение можно отобразить обратно в исходную область с помощью обратного интегрального преобразования.

Существует множество приложений вероятности, которые полагаются на интегральные преобразования, такие как «ядро ценообразования» или стохастический коэффициент дисконтирования , или сглаживание данных, восстановленных на основе надежной статистики; см. ядро (статистику) .

История

Предшественником преобразований были ряды Фурье для выражения функций в конечных интервалах. Позже преобразование Фурье было разработано, чтобы убрать требование конечных интервалов.

Используя ряд Фурье, практически любую практическую функцию времени ( например, напряжение на клеммах электронного устройства ) можно представить как сумму синусов и косинусов , каждый из которых соответствующим образом масштабируется (умножается на постоянный коэффициент), смещается (расширяется). или отставшие во времени) и «сжатые» или «растянутые» (увеличение или уменьшение частоты). Синусы и косинусы в ряду Фурье являются примером ортонормированного базиса .

Пример использования

В качестве примера применения интегральных преобразований рассмотрим преобразование Лапласа . Это метод, который отображает дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения во «временной» области в полиномиальные уравнения в так называемой «комплексной частотной» области . (Комплексная частота аналогична фактической физической частоте, но имеет более общий характер. В частности, мнимая составляющая ω комплексной частоты s = − σ + iω соответствует обычному понятию частоты, а именно скорости, с которой циклически повторяется синусоида, тогда как действительная составляющая σ комплексной частоты соответствует степени «затухания», т.е. экспоненциальному уменьшению амплитуды.) Уравнение, составленное через комплексную частоту, легко решается в области комплексных частот (корни полиномиальных уравнений в комплексная частотная область соответствует собственным значениям во временной области), что приводит к «решению», сформулированному в частотной области. Используя обратное преобразование , т.е. процедуру, обратную исходному преобразованию Лапласа, можно получить решение во временной области. В этом примере полиномы в комплексной частотной области (обычно встречающиеся в знаменателе) соответствуют степенной ряд во временной области, а осевые сдвиги в комплексной частотной области соответствуют затуханию затухающей экспонентой во временной области.

Преобразование Лапласа находит широкое применение в физике и особенно в электротехнике, где характеристические уравнения , описывающие поведение электрической цепи в комплексной частотной области, соответствуют линейным комбинациям экспоненциально масштабированных и сдвинутых по времени затухающих синусоидов во временной области. Другие интегральные преобразования находят особое применение в других научных и математических дисциплинах.

Другой пример использования — ядро в интеграле пути :

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.

Это означает, что общая амплитуда $\psi (x,t)$ прибыть в $(x,t)$ представляет собой сумму (интеграл) по всем возможным значениям $x'$ от общей амплитуды $\psi (x',t')$ добраться до точки $(x',t')$ умножается на амплитуду, чтобы перейти от $x'$ к $x$ [ т.е. $K(x,t;x',t')$ ] . ^[2] Его часто называют распространителем для данной системы. Это (физическое) ядро является ядром интегрального преобразования. Однако для каждой квантовой системы существует свое ядро. ^[3]

Таблица преобразований

Таблица интегральных преобразований
Трансформировать	Символ	К	ж ( т )	т ₁	т ₂	К ⁻¹	ты ₁	ты ₂
Преобразование Абеля	Ф, ф	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$ ^[4]	т	$\infty$
Связанное преобразование Лежандра	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Преобразование Фурье	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
Синусоидальное преобразование Фурье	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	на $[0,\infty )$ , реальная стоимость	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
Косинусное преобразование Фурье	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	на $[0,\infty )$ , реальная стоимость	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	$0$	$\infty$
Преобразование Ханкеля		$t\,J_{\nu }(ut)$		$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$
Преобразование Хартли	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Преобразование Эрмита	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
Преобразование Гильберта	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Преобразование Якоби	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Лагер преобразился	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
Преобразование Лапласа	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}$		$0$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Преобразование Лежандра	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Средняя трансформация	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$		$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$ ^[5]	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Двусторонний Лаплас трансформировать	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Ядро Пуассона		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		$0$	$2\pi$
Преобразование радона	Rƒ			$-\infty$	$\infty$
Преобразование Вейерштрасса	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Рентгеновское преобразование	Xƒ			$-\infty$	$\infty$

В пределах интегрирования обратного преобразования c является константой, которая зависит от характера функции преобразования. Например, для одно- и двустороннего преобразования Лапласа c должно быть больше наибольшей действительной части нулей функции преобразования.

Обратите внимание, что существуют альтернативные обозначения и соглашения для преобразования Фурье.

Разные домены

Здесь интегральные преобразования определены для функций действительных чисел, но в более общем смысле они могут быть определены для функций группы.

Если вместо этого использовать функции на окружности (периодические функции), ядра интегрирования тогда будут бипериодическими функциями; свертка с помощью функций на окружности дает круговую свертку .
Если использовать функции на циклической группе порядка n ( $C n$ или $Z / n Z$ ), можно получить матрицы размера n × n в качестве ядер интегрирования; свертка соответствует циркулянтным матрицам .

Общая теория

Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, у них есть некоторые общие свойства. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором , поскольку интеграл является линейным оператором, и фактически, если ядро может быть обобщенной функцией, тогда все линейные операторы являются интегральными преобразованиями (правильно сформулированным вариантом этого утверждения является уравнение Шварца теорема о ядре ).

Общая теория таких интегральных уравнений известна как теория Фредгольма . В этой теории под ядром понимается компактный оператор, действующий в банаховом пространстве функций. В зависимости от ситуации ядро затем по-разному называют оператором Фредгольма , ядерным оператором или ядром Фредгольма .

См. также

Ссылки

^ Глава 8.2, Методы теоретической физики Том. Я (Морс и Фешбах)
^ Уравнение 3.42 в книге Фейнмана и Хиббса, Квантовая механика и интегралы по траекториям, исправленное издание:
^ Что такое ядро интеграла по путям с математической точки зрения?
^ Предполагая, что преобразование Абеля не является разрывным в точке $u$ .
^ Применяются некоторые условия, см. в теореме об обращении Меллина . подробности

Дальнейшее чтение

А.Д. Полянин и А.В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
РКМ Тамбинаягам, Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров , McGraw-Hill, Нью-Йорк, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
«Интегральное преобразование» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.

[1] Глава 8.2, Методы теоретической физики Том. Я (Морс и Фешбах)

[2] Уравнение 3.42 в книге Фейнмана и Хиббса, Квантовая механика и интегралы по траекториям, исправленное издание:

[3] Что такое ядро интеграла по путям с математической точки зрения?

[4] Предполагая, что преобразование Абеля не является разрывным в точке $u$ .

[5] Применяются некоторые условия, см. в теореме об обращении Меллина . подробности

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]