Характеристическое уравнение (исчисление)

В математике характеристическое уравнение (или вспомогательное уравнение ) — алгебраическое уравнение степени n , от которого зависит решение данного n- го порядка дифференциального уравнения или разностное уравнение . Характеристическое уравнение может быть составлено только в том случае, если дифференциальное или разностное уравнение линейно и однородно и имеет постоянные коэффициенты . Такое дифференциальное уравнение с y в качестве зависимой переменной , верхний индекс ( n ), обозначающий n ^й - производная , а a _n , a _{n − 1} , ..., a ₁ , a ₀ как константы,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,$

будет иметь характеристическое уравнение вида

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

решения которого r ₁ , r ₂ , ..., r _n являются корнями, из которых общее решение . может быть образовано Аналогично линейное разностное уравнение вида

$y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}$

имеет характеристическое уравнение

$r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,$

более подробно обсуждается в разделе «Линейная рекуррентность с постоянными коэффициентами» .

Характеристические корни ( корни характеристического уравнения) также дают качественную информацию о поведении переменной, эволюция которой описывается динамическим уравнением. Для дифференциального уравнения, параметризованного по времени, эволюция переменной стабильна тогда и только тогда, когда действительная часть каждого корня отрицательна. Для разностных уравнений устойчивость существует тогда и только тогда, когда модуль каждого корня меньше 1. Для обоих типов уравнений постоянные колебания возникают, если имеется хотя бы одна пара комплексных корней.

Метод интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был открыт Леонардом Эйлером , который обнаружил, что решения зависят от алгебраического «характеристического» уравнения. Позднее свойства характеристического уравнения Эйлера более подробно рассмотрели французские математики Огюстен-Луи Коши и Гаспар Монж .

Вывод

Начиная с линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами a _n , a _{n − 1} , ..., a ₁ , a ₀ ,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,$

видно, что если y ( x ) = e ^прием , каждый член будет постоянным кратным e ^прием . Это связано с тем, что производная показательной функции e ^прием является кратным самому себе. Следовательно, y ′ = re ^прием , у ″ = р ² и ^прием , и й ^{( н )} = р ^н и ^прием все кратны. Это говорит о том, что определенные значения r допускают кратные e ^прием суммировать до нуля, тем самым решая однородное дифференциальное уравнение. Чтобы найти r , можно заменить y = e ^прием и его производные в дифференциальное уравнение, чтобы получить

$a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0$

Поскольку е ^прием никогда не может равняться нулю, его можно разделить, получив характеристическое уравнение

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.$

Решая корни r в этом характеристическом уравнении, можно найти общее решение дифференциального уравнения. Например, если r имеет корни, равные 3, 11 и 40, то общим решением будет вид $y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}$, где $c_{1}$, $c_{2}$, и $c_{3}$ являются произвольными константами , которые должны определяться граничными и/или начальными условиями.

Формирование общего решения

Решение характеристического уравнения относительно его корней r ₁ , ..., r _n позволяет найти общее решение дифференциального уравнения. Корни могут быть действительными или сложными , а также отдельными или повторяющимися. Если характеристическое уравнение имеет части с различными вещественными корнями, h повторяющимися корнями или k комплексными корнями, соответствующими общим решениям y _D ( x ) , y _{R 1} ( x ), ..., y _{R h} ( x ) и y _{C 1} ( x ), ..., y _{C k} ( x ) соответственно, то общее решение дифференциального уравнения есть

$y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)$

Пример

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0$

имеет характеристическое уравнение

$r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0$

Факторируя в характеристическое уравнение

$(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0$

можно видеть, что решениями для r являются различные одиночные корни r ₁ = 3 и двойные комплексные корни r _2,3,4,5 = 1 ± i . Это соответствует вещественному общему решению

$y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)$

с константами c ₁ , ..., c ₅ .

Отличительные настоящие корни

Принцип суперпозиции для линейного однородного уравнения гласит, что если u ₁ , ..., un _c являются n линейно независимыми решениями конкретного дифференциального уравнения, то 1 _u 1 ₊ ⋯ + c _n u _n также является решением для всех значений c ₁ , ... сп _. , Следовательно, если характеристическое уравнение имеет различные вещественные корни r ₁ , ..., r _n , то общее решение будет иметь вид

$y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}$

Повторяющиеся настоящие корни

Если характеристическое уравнение имеет корень r ₁ , повторяющийся k раз, то ясно, что y _p ( x ) = c ₁ e ^{р ₁ х} есть хотя бы одно решение. Однако у этого решения отсутствуют линейно независимые решения от других корней k - 1 . Поскольку r ₁ имеет кратность k , дифференциальное уравнение можно разложить на

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.$

Тот факт, что y _p ( x ) знак равно c ₁ e ^{р ₁ х} одно решение позволяет предположить, что общее решение может иметь вид y ( x ) = u ( x ) e ^{р ₁ х} , где u ( x ) — определяемая функция. Подстановка ue ^{р ₁ х} дает

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}$

когда к = 1 . Применяя этот факт k раз, следует, что

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.$

Разделив e ^{р ₁ х} , видно, что

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.$

Следовательно, общий случай для u ( x ) представляет собой полином степени k − 1 , так что u ( x ) = c ₁ + c ₂ x + c ₃ x ² + ⋯ + c _k x ^{к -1} . Поскольку y ( x ) = ue ^{р ₁ х} , часть общего решения, соответствующая r _1, равна

$y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).$

Сложные корни

Если дифференциальное уравнение второго порядка имеет характеристическое уравнение с комплексно-сопряженными корнями вида r ₁ = a + bi и r ₂ = a − bi , то общее решение соответственно имеет вид y ( x ) = c ₁ e ^{( а + би ) х} + с ₂ е ^{( а - би ) х} . По формуле Эйлера , которая гласит, что e ^я = cos θ + i sin θ это решение можно переписать следующим образом:

${\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}$

где c ₁ и c ₂ — константы, которые могут быть недействительными и зависят от начальных условий. (Действительно, поскольку y ( x ) действительно, c ₁ − c ₂ должно быть мнимым или нулевым, а c ₁ + c ₂ должно быть действительным, чтобы оба члена после последнего знака равенства были действительными.)

Например, если c ₁ = c ₂ = ⁠ 1 / 2 ⁠ , то частное решение y ₁ ( x ) = e ^топор cos bx образуется. Аналогично, если c ₁ = ⁠ 1 / 2 я ⁠ и c ₂ = - ⁠ 1 / 2 i ⁠ , то независимое решение равно y ₂ ( x ) = e ^топор грех бх . Таким образом, согласно принципу суперпозиции для линейных однородных дифференциальных уравнений дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее комплексные корни r = a ± bi, приведет к следующему общему решению:

$y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)$

Этот анализ также применим к частям решений дифференциального уравнения более высокого порядка, характеристическое уравнение которого включает невещественные комплексно-сопряженные корни.

См. также

• Характеристический полином