Преобразование Ханкеля

Не путать с матричным преобразованием Ханкеля .

В математике выражает преобразование Ханкеля любую заданную функцию f ( r ) как взвешенную сумму бесконечного числа функций Бесселя первого рода J _ν ( kr ) . Все функции Бесселя в сумме имеют один и тот же порядок ν, но различаются масштабным коэффициентом k вдоль оси r . Необходимый коэффициент F _ν каждой функции Бесселя в сумме как функция масштабного коэффициента k составляет преобразованную функцию. Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием и было впервые разработано математиком Германом Ханкелем . Оно также известно как преобразование Фурье-Бесселя. Подобно тому, как преобразование Фурье для бесконечного интервала связано с рядом Фурье на конечном интервале, преобразование Ханкеля на бесконечном интервале связано с рядом Фурье–Бесселя на конечном интервале.

Определение

Ханкеля Преобразование порядка $\nu$ функции f ( r ) определяется выражением

$F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,$

где $J_{\nu }$ — функция Бесселя первого рода порядка $\nu$ с $\nu \geq -1/2$. Обратное преобразование Ханкеля F _ν ( k ) определяется как

$f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,$

что можно легко проверить с помощью соотношения ортогональности, описанного ниже.

Область определения

Обращение преобразования Ганкеля функции f ( r ) допустимо в каждой точке, в которой f ( r ) непрерывна, при условии, что функция определена в (0, ∞), кусочно непрерывна и имеет ограниченную вариацию на каждом конечном подинтервале в (0, ∞) и

$\int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .$

Однако, как и преобразование Фурье, область определения можно расширить с помощью аргумента плотности, включив в нее некоторые функции, чей приведенный выше интеграл не конечен, например $f(r)=(1+r)^{-3/2}$.

Альтернативное определение

Альтернативное определение гласит, что преобразование Ганкеля g ( r ) есть

$h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.$

Эти два определения связаны:

Если $g(r)=f(r){\sqrt {r}}$, затем $h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.$

Это означает, что, как и в предыдущем определении, преобразование Ханкеля, определенное таким образом, также является обратным самому себе:

$g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.$

Очевидная область теперь имеет условие

$\int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,$

но это можно продлить. Согласно приведенной выше ссылке, мы можем принять интеграл в качестве предела, поскольку верхний предел стремится к бесконечности ( несобственный интеграл, а не интеграл Лебега ), и таким образом преобразование Ханкеля и его обратная работа для всех функций из L ² (0, ∞).

Преобразование уравнения Лапласа

Преобразование Ханкеля можно использовать для преобразования и решения уравнения Лапласа, выраженного в цилиндрических координатах. При преобразовании Ханкеля оператор Бесселя превращается в умножение на $-k^{2}$. В осесимметричном случае уравнение в частных производных преобразуется как

${\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-k^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,$

где $U={\mathcal {H}}_{0}u$. Таким образом, лапласиан в цилиндрических координатах становится обыкновенным дифференциальным уравнением в преобразованной функции $U$.

Ортогональность

Функции Бесселя образуют ортогональный базис относительно весового коэффициента r :

$\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.$

Теорема Планшереля и теорема Парсеваля.

Если f ( r ) и g ( r ) таковы, что их преобразования Ганкеля F _ν ( k ) и G _ν ( k ) корректно определены, то теорема Планшереля утверждает:

$\int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.$

Теорема Парсеваля , которая утверждает

$\int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,$

является частным случаем теоремы Планшереля. Эти теоремы можно доказать, используя свойство ортогональности.

Связь с многомерным преобразованием Фурье

Преобразование Ханкеля появляется, когда записывают многомерное преобразование Фурье в гиперсферических координатах , что является причиной того, что преобразование Ханкеля часто появляется в физических задачах с цилиндрической или сферической симметрией.

Рассмотрим функцию $f(\mathbf {r} )$ из ${\textstyle d}$-мерный вектор r . Его ${\textstyle d}$-мерное преобразование Фурье определяется как $$F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .$$Чтобы переписать ее в гиперсферических координатах, можно воспользоваться разложением плоской волны на ${\textstyle d}$-мерные гиперсферические гармоники $Y_{l,m}$: $$e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),$$где ${\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }}$ и ${\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }}$ представляют собой множества всех гиперсферических углов в $\mathbf {r}$-пространство и $\mathbf {k}$-космос. Это дает следующее выражение для ${\textstyle d}$-мерное преобразование Фурье в гиперсферических координатах: $$F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.$$Если мы расширим $f(\mathbf {r} )$ и $F(\mathbf {k} )$ в гиперсферических гармониках: $$f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),$$преобразование Фурье в гиперсферических координатах упрощается до $$k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.$$Это означает, что функции с угловой зависимостью в виде гиперсферической гармоники сохраняют ее при многомерном преобразовании Фурье, а радиальная часть претерпевает преобразование Ханкеля (с учетом некоторых дополнительных множителей типа ${\textstyle r^{d/2-1}}$).

Особые случаи

Преобразование Фурье в двух измерениях

Если двумерную функцию f ( r ) разложить в мультипольный ряд ,

$f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta _{\mathbf {r} }},$

то его двумерное преобразование Фурье имеет вид $$F(\mathbf {k} )=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{\mathbf {k} }}F_{m}(k),$$где $$F_{m}(k)=\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r$$это ${\textstyle m}$Преобразование Ганкеля -го порядка $f_{m}(r)$ (в этом случае ${\textstyle m}$ играет роль момента импульса, который обозначили через ${\textstyle l}$ в предыдущем разделе).

Преобразование Фурье в трех измерениях

Если трехмерную функцию f ( r ) разложить в мультипольный ряд по сферическим гармоникам ,

$f(r,\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} })=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} }),$

то его трехмерное преобразование Фурье имеет вид $$F(k,\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} })=(2\pi )^{3/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m=-l}^{+l}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} }),$$где $${\sqrt {k}}F_{l,m}(k)=\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {r}}f_{l,m}(r)J_{l+1/2}(kr)r\mathrm {d} r.$$представляет собой преобразование Ханкеля ${\sqrt {r}}f_{l,m}(r)$ порядка ${\textstyle (l+1/2)}$.

Этот вид преобразования Ханкеля полуцелого порядка также известен как сферическое преобразование Бесселя.

Преобразование Фурье в измерениях d (радиально-симметричный случай)

Если d -мерная функция f ( r ) не зависит от угловых координат, то ее d -мерное преобразование Фурье F ( k ) также не зависит от угловых координат и определяется выражением $$k^{d/2-1}F(k)=(2\pi )^{d/2}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm {d} r.$$что является преобразованием Ханкеля $r^{d/2-1}f(r)$ порядка ${\textstyle (d/2-1)}$ до фактора $(2\pi )^{d/2}$.

2D-функции внутри ограниченного радиуса

Если двумерная функция f ( r ) разложена в мультипольный ряд и коэффициенты разложения f _m достаточно гладкие вблизи начала координат и равны нулю вне радиуса R , то радиальная часть f ( r )/ r ^м можно разложить в степенной ряд 1 − ( r / R )^2 :

$f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{m,t}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R,$

такой, что двумерное преобразование Фурье f ( r ) становится

${\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}$

где последнее равенство следует из §6.567.1 гл. Коэффициенты разложения f _m,t доступны с помощью дискретного преобразования Фурье : методов если радиальное расстояние масштабируется с помощью

$r/R\equiv \sin \theta ,\quad 1-(r/R)^{2}=\cos ^{2}\theta ,$

коэффициенты ряда Фурье-Чебышева g выглядят как

$f(r)\equiv r^{m}\sum _{j}g_{m,j}\cos(j\theta )=r^{m}\sum _{j}g_{m,j}T_{j}(\cos \theta ).$

Использование повторного расширения

$\cos(j\theta )=2^{j-1}\cos ^{j}\theta -{\frac {j}{1}}2^{j-3}\cos ^{j-2}\theta +{\frac {j}{2}}{\binom {j-3}{1}}2^{j-5}\cos ^{j-4}\theta -{\frac {j}{3}}{\binom {j-4}{2}}2^{j-7}\cos ^{j-6}\theta +\cdots$

дает f _m,t выраженное как суммы g _m,j .

Это одна из разновидностей техник быстрого преобразования Ханкеля.

Связь с преобразованиями Фурье и Абеля

Преобразование Ханкеля является одним из членов FHA цикла интегральных операторов . В двух измерениях, если мы определим A как оператор преобразования Абеля , F как оператор преобразования Фурье и H как оператор преобразования Ганкеля нулевого порядка, то частный случай теоремы о проекционном срезе для кругово-симметричных функций утверждает, что

$FA=H.$

Другими словами, применение преобразования Абеля к одномерной функции, а затем применение преобразования Фурье к этому результату — это то же самое, что применение преобразования Ханкеля к этой функции. Эту концепцию можно распространить на более высокие измерения.

Численная оценка

Простой и эффективный подход к численной оценке преобразования Ханкеля основан на наблюдении, что его можно представить в форме свертки путем логарифмической замены переменных. $$r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}\,e^{\kappa }.$$В этих новых переменных преобразование Ханкеля имеет вид $${\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\,\mathrm {d} \rho ,$$где $${\tilde {f}}(\rho )=\left(r_{0}\,e^{-\rho }\right)^{1-n}\,f(r_{0}e^{-\rho }),$$$${\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\left(k_{0}\,e^{\kappa }\right)^{1+n}\,F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),$$$${\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=\left(k_{0}\,r_{0}\,e^{\kappa -\rho }\right)^{1+n}\,J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).$$

Теперь интеграл можно вычислить численно с помощью ${\textstyle O(N\log N)}$ сложность с использованием быстрого преобразования Фурье . Алгоритм можно дополнительно упростить, используя известное аналитическое выражение для преобразования Фурье ${\tilde {J}}_{\nu }$: $$\int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\,\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}\,2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.$$Оптимальный выбор параметров $r_{0},k_{0},n$ зависит от свойств $f(r),$ в частности, его асимптотическое поведение при $r\to 0$ и $r\to \infty .$

Этот алгоритм известен как «квазибыстрое преобразование Ханкеля» или просто «быстрое преобразование Ханкеля».

Поскольку он основан на быстром преобразовании Фурье в логарифмических переменных, $f(r)$ должна быть определена в логарифмической сетке. Для функций, определенных на равномерной сетке, существует ряд других алгоритмов, включая прямую квадратуру , методы, основанные на теореме о проекционном срезе , и методы, использующие асимптотическое разложение функций Бесселя.

Некоторые пары преобразований Ханкеля

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$1$	${\frac {\delta (k)}{k}}$
${\frac {1}{r}}$	${\frac {1}{k}}$
$r$	$-{\frac {1}{k^{3}}}$
$r^{3}$	${\frac {9}{k^{5}}}$
$r^{m}$	${\frac {\,2^{m+1}\,\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)\,}{k^{m+2}\,\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<{\mathcal {R_{e}}}\{m\}<-{\tfrac {1}{2}}$
${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}\,}}}$	${\frac {\,e^{-k|z|}\,}{k}}$
${\frac {1}{\,z^{2}+r^{2}\,}}$	$K_{0}(kz),\quad z\in \mathbb {C}$
${\frac {e^{iar}}{r}}$	${\frac {i}{\,{\sqrt {a^{2}-k^{2}\,}}\,}},\quad a>0,\;k<a$
	${\frac {1}{\,{\sqrt {k^{2}-a^{2}\,}}\,}},\quad a>0,\;k>a$
$e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}$	${\frac {1}{\,a^{2}\,}}\,e^{-{\tfrac {k^{2}}{2\,a^{2}}}}$
${\frac {1}{r}}J_{0}(lr)\,e^{-sr}$	${\frac {2}{\,\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}\,}}\,}}K\left({\sqrt {{\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}\,}}\right)$
$-r^{2}f(r)$	${\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}$

$f(r)$	$F_{\nu }(k)$
$r^{s}$	${\frac {2^{s+1}}{\,k^{s+2}\,}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}$
$r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)$	${\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)$
$e^{-r^{2}}r^{\nu }\,U(a,b,r^{2})$	${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{\,2\,\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }\,e^{-{\frac {k^{2}}{4}}\,}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)$
$r^{n}J_{\mu }(lr)\,e^{-sr}$	Выражается через эллиптические интегралы .
$-r^{2}f(r)$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{\nu }\,}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}\,F_{\nu }$

Kn _рода ( z ) — модифицированная функция Бесселя второго . K ( z ) — полный эллиптический интеграл первого рода .

Выражение

${\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}$

совпадает с выражением для оператора Лапласа в полярных координатах ( k , θ ), примененного к сферически-симметричной функции F ₀ ( k ).

Преобразование Ханкеля полиномов Цернике по сути является функциями Бесселя (Нолл 1976):

$R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k$

для четного n - m ≥ 0 .

См. также

• Преобразование Фурье
• Интегральное преобразование
• Преобразование Абеля
• Ряд Фурье – Бесселя
• Полином Неймана
• Преобразования Y и H

Ссылки

• Гаскилл, Джек Д. (1978). Линейные системы, преобразования Фурье и оптика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-29288-3 .
• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998). Справочник интегральных уравнений . Бока-Ратон: CRC Press. ISBN  978-0-8493-2876-3 .
• Смайт, Уильям Р. (1968). Статическое и динамическое электричество (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 179–223.
• Оффорд, AC (1935). «О преобразованиях Ханкеля». Труды Лондонского математического общества . 39 (2): 49–67. дои : 10.1112/plms/s2-39.1.49 .
• Исон, Г.; Благородный, Б.; Снеддон, Индиана (1955). «О некоторых интегралах типа Липшица-Ханкеля, включающих произведения функций Бесселя». Философские труды Королевского общества А. 247 (935): 529–551. Бибкод : 1955RSPTA.247..529E . дои : 10.1098/rsta.1955.0005 . JSTOR   91565 .
• Килпатрик, Дж. Э.; Кацура, Сигетоши; Иноуэ, Юджи (1967). «Вычисление интегралов от произведений функций Бесселя» . Математика вычислений . 21 (99): 407–412. дои : 10.1090/S0025-5718-67-99149-1 .
• Маккиннон, Роберт Ф. (1972). «Асимптотические разложения преобразований Ганкеля и связанных с ними интегралов» . Математика вычислений . 26 (118): 515–527. дои : 10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9 . JSTOR   2003243 .
• Линц, Питер; Кропп, Т.Е. (1973). «Заметка о вычислении интегралов, включающих произведения тригонометрических функций и функций Бесселя» . Математика вычислений . 27 (124): 871–872. дои : 10.2307/2005522 . JSTOR   2005522 .
• Нолл, Роберт Дж (1976). «Полиномы Цернике и атмосферная турбулентность». Журнал Оптического общества Америки . 66 (3): 207–211. Бибкод : 1976JOSA...66..207N . дои : 10.1364/JOSA.66.000207 .
• Зигман, AE (1977). «Квази-почти преобразование Ханкеля». Опт . 1 (1): 13–15. Бибкод : 1977OptL....1...13S . дои : 10.1364/OL.1.000013 . ПМИД   19680315 .
• Магни, Витторио; Черулло, Джулио; Де Сильверстри, Сандро (1992). «Высокоточное быстрое преобразование Ханкеля для распространения оптического луча». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 9 (11): 2031–2033. Бибкод : 1992JOSAA...9.2031M . дои : 10.1364/JOSAA.9.002031 .
• Аньези, А.; Реали, Джанкарло К.; Патрини, Дж.; Томаселли, А. (1993). «Численная оценка преобразования Ханкеля: замечания». Журнал Оптического общества Америки А. 10 (9 1872 ) . : дои : 10.1364/JOSSAA.10.001872 .
• Баракат, Ричард (1996). «Численная оценка преобразования Ханкеля нулевого порядка с использованием квадратурной философии Филона» . Письма по прикладной математике . 9 (5): 21–26. дои : 10.1016/0893-9659(96)00067-5 . МР   1415467 .
• Феррари, Хосе А.; Персианте, Дэниел; Дубра, Альфредо (1999). «Быстрое преобразование Ханкеля n-го порядка». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 16 (10): 2581–2582. Бибкод : 1999JOSAA..16.2581F . дои : 10.1364/JOSAA.16.002581 .
• Видер, Томас (1999). «Алгоритм 794: Численное преобразование Ханкеля с помощью программы HANKEL на Фортране» . АКМ Транс. Математика. Программное обеспечение . 25 (2): 240–250. дои : 10.1145/317275.317284 .
• Нокарт, Люк (2000). «Быстрое преобразование Ханкеля с помощью быстрых синусоидальных и косинусных преобразований: связь Меллина» . IEEE Транс. Сигнальный процесс . 48 (6): 1695–1701. Бибкод : 2000ITSP...48.1695K . CiteSeerX   10.1.1.721.1633 . дои : 10.1109/78.845927 . hdl : 20.500.12860/4476 .
• Чжан, Д.В.; Юань, X.-C.; Нго, Северная Каролина; Шум, П. (2002). «Быстрое преобразование Ханкеля и его применение для изучения распространения цилиндрических электромагнитных полей» . Опция Выражать . 10 (12): 521–525. Бибкод : 2002OExpr..10..521Z . дои : 10.1364/oe.10.000521 . ПМИД   19436390 .
• Маркхэм, Джоан; Кончелло, Хосе-Анхель (2003). «Численная оценка преобразований Ганкеля для осциллирующих функций». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 20 (4): 621–630. Бибкод : 2003JOSAA..20..621M . дои : 10.1364/JOSAA.20.000621 . ПМИД   12683487 .
• Персианте, Сезар Д.; Феррари, Хосе А. (2004). «Быстрое преобразование Ханкеля n-го порядка с улучшенной производительностью». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 21 (9): 1811–2. Бибкод : 2004JOSAA..21.1811P . дои : 10.1364/JOSAA.21.001811 . ПМИД   15384449 .
• Гизар-Сикайрос, Мануэль; Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2004). «Расчет квазидискретного преобразования Ганкеля целого порядка для распространения оптических волновых полей». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 21 (1): 53–58. Бибкод : 2004JOSAA..21...53G . дои : 10.1364/JOSAA.21.000053 . ПМИД   14725397 .
• Сержан, Чарльз (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его применение к преобразованиям Ганкеля» . J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 24 (6): 1609–1616. Бибкод : 2007JOSAA..24.1609C . дои : 10.1364/JOSAA.24.001609 . ПМИД   17491628 .