Полиномы Цернике

Первые 21 полином Цернике, упорядоченные по вертикали по радиальной степени и по горизонтали по азимутальной степени.

В математике представляют полиномы Цернике собой последовательность полиномов , ортогональных на единичном круге . Названные в честь физика-оптика Фрица Цернике , лауреата Нобелевской премии по физике 1953 года и изобретателя фазово-контрастной микроскопии , они играют важную роль в различных областях оптики, таких как лучевая оптика и визуализация.

Определения

бывают четные и нечетные Полиномы Цернике . Четные полиномы Цернике определяются как

$Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!$

(даже функция по азимутальному углу $\varphi$), а нечетные полиномы Цернике определяются как

$Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!$

(нечетная функция по азимутальному углу $\varphi$) где m и n — целые неотрицательные числа с n ≥ m ≥ 0 ( m = 0 для сферических полиномов Цернике), $\varphi$ – азимутальный угол , ρ – радиальное расстояние $0\leq \rho \leq 1$, и $R_{n}^{m}$ — радиальные полиномы, определенные ниже. Полиномы Цернике имеют свойство ограничиваться диапазоном от -1 до +1, т.е. $|Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1$. Радиальные полиномы $R_{n}^{m}$ определяются как

$R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}$

для четного числа n - m , а для нечетного числа n - m оно равно 0 . Особую ценность представляет

$R_{n}^{m}(1)=1.$

Другие представления

Переписывание отношений факториалов в радиальной части как произведений биномов показывает, что коэффициенты представляют собой целые числа:

$R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}$.

Обозначение завершающих гауссовских гипергеометрических функций полезно для выявления рекуррентов, для демонстрации того, что они являются частными случаями полиномов Якоби , для записи дифференциальных уравнений и т. д.:

${\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})\\&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}$

для n − m четного.

Обратная зависимость расширяет $\rho ^{j}$ для фиксированного $m\leq j$ в $R_{n}^{m}(\rho )$

$\rho ^{j}=\sum _{n\equiv m{\pmod {2}}}^{j}h_{j,n,m}R_{n}^{m}(\rho )$

с рациональными коэффициентами $h_{j,n,m}$

$h_{j,n,m}={\frac {n+1}{1+{\frac {j+n}{2}}}}{\frac {\binom {(j-m)/2}{(n-m)/2}}{\binom {(j+n)/2}{(n-m)/2}}}$

даже для $j-m=0,2,4,\ldots$.

Фактор $\rho ^{n-2k}$ в радиальном многочлене $R_{n}^{m}(\rho )$ может быть расширено в Бернштейна базисе $b_{s,n/2}(\rho ^{2})$ даже для $n$ или $\rho$ раз является функцией $b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})$ для странных $n$ в диапазоне $\lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor$. Таким образом, радиальный полином может быть выражен конечным числом полиномов Бернштейна с рациональными коэффициентами:

$R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).$

Последовательные индексы Нолла

Приложения часто включают линейную алгебру, где интеграл по произведению полиномов Цернике и некоторых других факторов строит элементы матрицы. традиционное отображение двух индексов n и l в один индекс j . Чтобы нумеровать строки и столбцы этих матриц по одному индексу, Ноллом было введено Таблица этой ассоциации $Z_{n}^{l}\rightarrow Z_{j}$ начинается следующим образом (последовательность A176988 в OEIS ). $j={\frac {n(n+1)}{2}}+|l|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&l>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&l<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.$

н, л	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,−2	2,2	3,−1	3,1	3,−3	3,3
дж	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
н, л	4,0	4,2	4,−2	4,4	4,−4	5,1	5,−1	5,3	5,−3	5,5
дж	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Правило следующее.

• Четные полиномы Цернике Z (с четными азимутальными частями $\cos(m\varphi )$, где $m=l$ как $l$ – положительное число) получают четные индексы j.
• Нечетный Z получает (с нечетными азимутальными частями $\sin(m\varphi )$, где $m=\left\vert l\right\vert$ как $l$ – отрицательное число) нечетные индексы j .
• В пределах данного n более низкое $\left\vert l\right\vert$ приводит к снижению j .

Стандартные индексы OSA/ANSI

ЧАСТЬ и ANSI одноиндексные полиномы Цернике с использованием:

$j={\frac {n(n+2)+l}{2}}$

н, л	0,0	1,−1	1,1	2,−2	2,0	2,2	3,−3	3,−1	3,1	3,3
дж	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
н, л	4,−4	4,−2	4,0	4,2	4,4	5,−5	5,−3	5,−1	5,1	5,3
дж	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

Индексы Fringe/Университета Аризоны

Схема индексации Fringe используется в коммерческом программном обеспечении для оптического проектирования и оптических испытаниях, например, в фотолитографии .

$j=\left(1+{\frac {n+|l|}{2}}\right)^{2}-2|l|+\left\lfloor {\frac {1-\operatorname {sgn} l}{2}}\right\rfloor$

где $\operatorname {sgn} l$ это функция знака или знака . Первые 20 дополнительных номеров перечислены ниже.

н, л	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,2	2,−2	3,1	3,−1	4,0	3,3
дж	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
н, л	3,−3	4,2	4,−2	5,1	5,−1	6,0	4,4	4,−4	5,3	5,−3
дж	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Индексы Вайанта

Джеймс К. Вайант использует схему индексации «Fringe», за исключением того, что она начинается с 0 вместо 1 (вычтите 1). Этот метод обычно используется, включая программное обеспечение для анализа интерферограмм в интерферометрах Zygo и программное обеспечение с открытым исходным кодом DFTFringe.

Формула Родригеса

Они удовлетворяют формуле Родригеса

$Z_{n}^{m}(x)={\frac {x^{-m}}{\left({\frac {n-m}{2}}\right)!}}\left({\frac {d}{d\left(x^{2}\right)}}\right)^{\frac {n-m}{2}}\left[x^{n+m}\left(x^{2}-1\right)^{\frac {n-m}{2}}\right]$

и может быть связан с полиномами Якоби как

$Z_{n}^{m}(x)=x^{m}{\frac {P_{\frac {n-m}{2}}^{(0,m)}\left(2x^{2}-1\right)}{P_{\frac {n-m}{2}}^{(0,m)}(1)}}$.

Характеристики

Ортогональность

Ортогональность в радиальной части равна

$\int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho d\rho =\delta _{n,n'}$

или

${\underset {0}{\overset {1}{\mathop {\int } }}}\,R_{n}^{m}(\rho )R_{{n}'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.$

Ортогональность в угловой части представлена ​​элементарной

$\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{m,m'},$

$\int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =\pi \delta _{m,m'};\quad m\neq 0,$

$\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,$

где $\epsilon _{m}$ (иногда называемый фактором Неймана , поскольку он часто появляется вместе с функциями Бесселя) определяется как 2 , если $m=0$ и 1, если $m\neq 0$. Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обоим индексам при интегрировании по единичному кругу:

$\int Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{l'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{l}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{l,l'},$

где $d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi$ – якобиан круговой системы координат, и где $n-l$ и $n'-l'$ оба четные.

Преобразование Цернике

Любое достаточно гладкое вещественное фазовое поле на единичном круге $G(\rho ,\varphi )$ может быть представлена ​​через коэффициенты Цернике (нечетные и четные), точно так же, как периодические функции находят ортогональное представление с помощью ряда Фурье . У нас есть

$G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],$

где коэффициенты могут быть рассчитаны с использованием внутренних произведений . На пространстве г. $L^{2}$ функций на единичном диске, существует внутренний продукт, определяемый формулой

$\langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .$

Тогда коэффициенты Цернике можно выразить следующим образом:

${\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}$

В качестве альтернативы можно использовать известные значения фазовой функции G на круговой сетке для формирования системы уравнений. Фазовая функция получается с помощью взвешенного произведения с неизвестным коэффициентом и (известными значениями) полинома Цернике по единичной сетке. Следовательно, коэффициенты также можно найти путем решения линейной системы, например, путем обращения матрицы. Быстрые алгоритмы расчета прямого и обратного преобразования Цернике используют свойства симметрии тригонометрических функций, разделимость радиальных и азимутальных частей полиномов Цернике, а также их вращательную симметрию.

Симметрии

Отражения тригонометрических функций приводят к тому, что четность относительно отражения вдоль оси x равна

$Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )$ для l ≥ 0,

$Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )$ для l < 0.

Пи - сдвиги тригонометрических функций приводят к тому, что четность относительно отражения точки в центре координат равна

$Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=(-1)^{l}Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ),$

где $(-1)^{l}$ с таким же успехом можно было бы написать $(-1)^{n}$ потому что $n-l$ поскольку четные числа - это всего лишь случаи получения ненулевых полиномов Цернике. (Если n четное, то l тоже четное. Если n нечетное, то l тоже нечетное.) Это свойство иногда используется для разделения полиномов Цернике на четные и нечетные с точки зрения их угловой зависимости. (также можно добавить еще одну категорию с l = 0, поскольку она обладает особым свойством отсутствия угловой зависимости.)

• Угловые четные полиномы Цернике: полиномы Цернике с четным l так, что $Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).$
• Угловые нечетные полиномы Цернике: полиномы Цернике с нечетным l так, что $Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).$

Радиальные полиномы также бывают четными или нечетными, в зависимости от порядка n или m :

$R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).$

Эти равенства легко увидеть, поскольку $R_{n}^{m}(\rho )$ с нечетным (четным) m содержит только нечетные (четные) степени ρ (см. примеры $R_{n}^{m}(\rho )$ ниже).

Периодичность тригонометрических функций приводит к инвариантности при вращении на кратные числа. $2\pi /l$ радиан вокруг центра:

$Z_{n}^{l}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{l}}\right)=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .$

Рекуррентные отношения

Полиномы Цернике удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое не зависит ни от степени, ни от азимутального порядка радиальных полиномов:

${\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}$

Из определения $R_{n}^{m}$ видно, что $R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}$ и $R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}$. Следующее трехчленное рекуррентное соотношение затем позволяет вычислить все остальные $R_{n}^{m}(\rho )$:

$R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}$

Вышеупомянутое соотношение особенно полезно, поскольку производная $R_{n}^{m}$ можно вычислить из двух радиальных полиномов Цернике смежной степени:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}$

Дифференциальное уравнение гипергеометрической функции Гаусса эквивалентно

$\rho ^{2}(\rho ^{2}-1){\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}R_{n}^{m}(\rho )=[n(n+2)\rho ^{2}-m^{2}]R_{n}^{m}(\rho )+\rho (1-3\rho ^{2}){\frac {d}{d\rho }}R_{n}^{m}(\rho ).$

Примеры

Радиальные полиномы

Первые несколько радиальных полиномов:

$R_{0}^{0}(\rho )=1\,$

$R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,$

$R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,$

$R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,$

$R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,$

$R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,$

$R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,$

$R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,$

$R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,$

$R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,$

$R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,$

$R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,$

$R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,$

$R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,$

$R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,$

$R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,$

Полиномы Цернике

Ниже показаны первые несколько мод Цернике с различными индексами. Они нормированы так, что: $\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z^{2}\cdot \rho \,d\rho \,d\phi =\pi$, что эквивалентно $\operatorname {Var} (Z)_{\text{unit circle}}=1$.

$Z_{n}^{l}$	ЧАСТЬ/ANSI индекс ( $j$)	Нолл индекс ( $j$)	Они хотят индекс ( $j$)	Фриндж/UA индекс ( $j$)	Радиальный степень ( $n$)	Азимутальный степень ( $l$)	$Z_{j}$	Классическое название
$Z_{0}^{0}$	0 0	0 1	0 0	0 1	0	0 0	$1$	Поршень (см., Распределение полукруга Вигнера )
$Z_{1}^{-1}$	0 1	0 3	0 2	0 3	1	−1	$2\rho \sin \phi$	Наклон (Y-наклон, вертикальный наклон)
$Z_{1}^{1}$	0 2	0 2	0 1	0 2	1	+1	$2\rho \cos \phi$	Наклон (X-Tilt, горизонтальный наклон)
$Z_{2}^{-2}$	0 3	0 5	0 5	0 6	2	−2	${\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\phi$	Косой астигматизм
$Z_{2}^{0}$	0 4	0 4	0 3	0 4	2	0 0	${\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)$	Дефокусировка (продольное положение)
$Z_{2}^{2}$	0 5	0 6	0 4	0 5	2	+2	${\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\phi$	Вертикальный астигматизм
$Z_{3}^{-3}$	0 6	0 9	10	11	3	−3	${\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\phi$	Вертикальный трилистник
$Z_{3}^{-1}$	0 7	0 7	0 7	0 8	3	−1	${\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi$	Вертикальная кома
$Z_{3}^{1}$	0 8	0 8	0 6	0 7	3	+1	${\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi$	Горизонтальная кома
$Z_{3}^{3}$	0 9	10	0 9	10	3	+3	${\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\phi$	Косой трилистник
$Z_{4}^{-4}$	10	15	17	18	4	−4	${\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\phi$	Косой квадрофойл
$Z_{4}^{-2}$	11	13	12	13	4	−2	${\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\phi$	Косой вторичный астигматизм
$Z_{4}^{0}$	12	11	0 8	0 9	4	0 0	${\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)$	Первичная сферическая
$Z_{4}^{2}$	13	12	11	12	4	+2	${\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\phi$	Вертикальный вторичный астигматизм
$Z_{4}^{4}$	14	14	16	17	4	+4	${\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\phi$	Вертикальный квадроцикл

Приложения

Дополнительная информация: Оптическая_аберрация § Цернике_модель_аберраций.

Результат первых 21 полинома Цернике (как указано выше), представленных как аберрации на балке с плоской вершиной. Луч отображается линзой, производящей преобразование Фурье, интенсивность которого представлена ​​на этом рисунке.

Функции представляют собой основу, определенную по круговой опорной области, обычно это плоскости зрачков при классической оптической визуализации в видимом и инфракрасном диапазонах волн через системы линз и зеркал конечного диаметра. Их преимуществами являются простые аналитические свойства, унаследованные от простоты радиальных функций и факторизации по радиальным и азимутальным функциям; это приводит, например, к выражениям двумерного преобразования Фурье в замкнутой форме через функции Бесселя. Их недостатком, особенно при высоких n , является неравномерное распределение узловых линий по единичному диску, что приводит к появлению эффектов звона вблизи периметра. $\rho \approx 1$, что часто приводит к попыткам определить другие ортогональные функции над круговым диском.

В прецизионном оптическом производстве полиномы Цернике используются для характеристики ошибок высшего порядка, наблюдаемых при интерферометрическом анализе. В датчиках наклона волнового фронта, таких как Шак-Хартманн , коэффициенты Цернике волнового фронта могут быть получены путем сопоставления измеренных наклонов с производными полинома Цернике, усредненными по субапертурам отбора проб. В оптометрии и офтальмологии полиномы Цернике используются для описания отклонений волнового фронта роговицы или ошибкам хрусталика от идеальной сферической формы, которые приводят к рефракции . Они также широко используются в адаптивной оптике , где их можно использовать для характеристики атмосферных искажений . Очевидными приложениями для этого являются ИК или визуальная астрономия и спутниковые изображения .

Другое применение полиномов Цернике можно найти в расширенной теории дифракции и аберраций Нейбура – ​​Цернике.

Полиномы Цернике широко используются в качестве базисных функций моментов изображения . Поскольку полиномы Цернике ортогональны друг другу, моменты Цернике могут представлять свойства изображения без избыточности или перекрытия информации между моментами. Хотя моменты Цернике существенно зависят от масштабирования и перемещения объекта в интересующей области (ROI), их величины не зависят от угла поворота объекта. Таким образом, их можно использовать для извлечения особенностей из изображений, которые описывают характеристики формы объекта. Например, моменты Цернике используются в качестве дескрипторов формы для классификации доброкачественных и злокачественных образований молочной железы. или поверхность вибрирующих дисков. Моменты Цернике также использовались для количественной оценки формы клеточных линий рака остеосаркомы на уровне отдельных клеток. Более того, «Моменты Цернике» использовались для раннего выявления болезни Альцгеймера путем извлечения различительной информации из МР-изображений болезни Альцгеймера, легких когнитивных нарушений и здоровых групп.

Высшие измерения

Эта концепция переводится в более высокие размерности D, если многочлены $x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}$ в декартовых координатах преобразуются в гиперсферические координаты , $\rho ^{s},s\leq D$, умноженный на произведение полиномов Якоби угловых переменных. В $D=3$ размеры, угловые переменные представляют собой сферические гармоники , например, . Линейные комбинации полномочий $\rho ^{s}$ определить ортогональный базис $R_{n}^{(l)}(\rho )$ удовлетворяющий

$\int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}$.

(Обратите внимание, что фактор ${\sqrt {2n+D}}$ здесь поглощено определением R , тогда как в $D=2$ нормализация выбирается несколько иначе. Во многом это дело вкуса, в зависимости от того, желает ли кто-то сохранить целочисленный набор коэффициентов или предпочитает более точные формулы, если задействована ортогонализация.) Явное представление имеет вид

${\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}$

даже для $n-l\geq 0$, в противном случае идентично нулю.

См. также

• Полиномы Якоби
• Теория Нейбура – ​​Цернике
• Псевдо-полиномы Цернике

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Цернике» . Математический мир .
• Андерсен, Торбен Б. (2018). «Эффективные и надежные рекуррентные соотношения для полиномов окружности Цернике и их производных в декартовых координатах» . Опция Выражать . 26 (15): 18878–18896. Бибкод : 2018OExpr..2618878A . дои : 10.1364/OE.26.018878 . ПМИД   30114148 .
• Бхатия, AB; Вольф, Э. (1952). «Полиномы окружности Цернике, встречающиеся в теории дифракции». Учеб. Физ. Соц. Б. ​ 65 (11): 909–910. Бибкод : 1952PPSB...65..909B . дои : 10.1088/0370-1301/65/11/112 .
• Каллахан, PG; Де Граф, М. (2012). «Подбор и реконструкция формы осадка с помощью 3D-функций Цернике». Моделирование и симуляция в материаловедении и инженерии . 20 (1): 015003. Бибкод : 2012MSMSE..20a5003C . дои : 10.1088/0965-0393/20/1/015003 . S2CID   121700658 .
• Кэмпбелл, CE (2003). «Матричный метод поиска нового набора коэффициентов Цернике, образующего исходный набор при изменении радиуса апертуры». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 20 (2): 209–217. Бибкод : 2003JOSAA..20..209C . дои : 10.1364/JOSAA.20.000209 . ПМИД   12570287 .
• Сержан, К. (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его применение к преобразованиям Ганкеля» . J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 24 (6): 1609–16. Бибкод : 2007JOSAA..24.1609C . дои : 10.1364/JOSAA.24.001609 . ПМИД   17491628 .
• Комастри, ЮАР; Перес, Л.И.; Перес, Джорджия; Мартин, Г.; Бастида Сержан, К. (2007). «Коэффициенты расширения Цернике: масштабирование и децентрирование для разных учеников и оценка аберраций роговицы». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 9 (3): 209–221. Бибкод : 2007JOptA...9..209C . дои : 10.1088/1464-4258/9/3/001 .
• Конфорти, Г. (1983). «Коэффициенты аберрации Цернике от Зейделя и коэффициенты степенного ряда более высокого порядка». Опция Летт . 8 (7): 407–408. Бибкод : 1983OptL....8..407C . дои : 10.1364/OL.8.000407 . ПМИД   19718130 .
• Дай, Гм.; Махаджан, В.Н. (2007). «Кольцевые полиномы Цернике и атмосферная турбулентность». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 24 (1): 139–155. Бибкод : 2007JOSAA..24..139D . дои : 10.1364/JOSAA.24.000139 . ПМИД   17164852 .
• Дай, Гм. (2006). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике до меньших размеров зрачков: более простая формула». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 23 (3): 539–543. Бибкод : 2006JOSAA..23..539D . дои : 10.1364/JOSAA.23.000539 . ПМИД   16539048 .
• Диас, Дж.А.; Фернандес-Дорадо, Дж.; Писарро, К.; Араса, Дж. (2009). «Коэффициенты Цернике для концентрических, круглых, чешуйчатых учеников: эквивалентное выражение». Журнал современной оптики . 56 (1): 149–155. Бибкод : 2009JMOp...56..131D . дои : 10.1080/09500340802531224 . S2CID   122620015 .
• Диас, Дж.А.; Фернандес-Дорадо, Дж. «Коэффициенты Зенике для концентрических, круглых и чешуйчатых учеников» . из Демонстрационного проекта Wolfram.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Флюссер, Ян; Шейх, У.У.; Хансари, Мохаммед; Джафари-Хузани, Курош (2013). «Инвариантное к вращению и шуму распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне с помощью моментов Цернике и дискриминантного анализа спектральной регрессии». Журнал электронных изображений . 22 (1): 013030. Бибкод : 2013JEI....22a3030F . дои : 10.1117/1.JEI.22.1.013030 . S2CID   16758261 .
• Гу, Дж.; Шу, ХЗ; Тумулен, К.; Луо, LM (2002). «Новый алгоритм для быстрого вычисления моментов Цернике». Распознавание образов . 35 (12): 2905–2911. Бибкод : 2002PatRe..35.2905G . дои : 10.1016/S0031-3203(01)00194-7 .
• Херрманн, Дж. (1981). «Перекрестная связь и наложение спектров при оценке модального волнового фронта». J. Опт. Соц. Являюсь . 71 (8): 989. Бибкод : 1981JOSA...71..989H . дои : 10.1364/JOSA.71.000989 .
• Ху, PH; Стоун, Дж.; Стэнли, Т. (1989). «Применение полиномов Цернике к задачам распространения в атмосфере». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 6 (10): 1595. Бибкод : 1989JOSAA...6.1595H . дои : 10.1364/JOSAA.6.001595 .
• Кинтнер, ЕС (1976). «О математических свойствах полиномов Цернике». Опция Акта . 23 (8): 679–680. Бибкод : 1976AcOpt..23..679K . дои : 10.1080/713819334 .
• Лоуренс, штат Нью-Йорк; Чоу, WW (1984). «Томография волнового фронта с помощью полиномиального разложения Цернике». Опция Летт . 9 (7): 267–269. Бибкод : 1984OptL....9..267L . дои : 10.1364/OL.9.000267 . ПМИД   19721566 .
• Лю, Хайгуан; Моррис, Ричард Дж.; Хексемер, А.; Грандисон, Скотт; Цварт, Питер Х. (2012). «Расчет профилей малоуглового рассеяния с помощью трехмерных полиномов Цернике». Акта Кристаллогр. А. ​ 68 (2): 278–285. дои : 10.1107/S010876731104788X . ПМИД   22338662 .
• Лундстрем, Л.; Унсбо, П. (2007). «Преобразование коэффициентов Цернике: масштабированные, переведенные и повернутые волновые фронты с круглыми и эллиптическими зрачками». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 24 (3): 569–77. Бибкод : 2007JOSAA..24..569L . дои : 10.1364/JOSAA.24.000569 . ПМИД   17301846 .
• Махаджан, В.Н. (1981). «Кольцевые полиномы Цернике для систем визуализации с кольцевыми зрачками». J. Опт. Соц. Являюсь . 71 : 75. Бибкод : 1981JOSA...71...75M . дои : 10.1364/JOSA.71.000075 .
• Прата-младший, А.; Раш, WVT (1989). «Алгоритм вычисления коэффициентов разложения полиномов Цернике». Прил. Опц . 28 (4): 749–54. Бибкод : 1989ApOpt..28..749P . дои : 10.1364/AO.28.000749 . ПМИД   20548554 .
• Швигерлинг, Дж. (2002). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике для разных размеров зрачков». J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 19 (10): 1937–45. Бибкод : 2002JOSAA..19.1937S . дои : 10.1364/JOSAA.19.001937 . ПМИД   12365613 .
• Шеппард, CJR ; Кэмпбелл, С.; Хиршхорн, доктор медицины (2004). «Разложение Цернике сепарабельных функций в декартовых координатах». Прил. Опц . 43 (20): 3963–6. Бибкод : 2004ApOpt..43.3963S . дои : 10.1364/AO.43.003963 . ПМИД   15285082 .
• Шу, Х.; Луо, Л.; Вешать.; Котрие, Ж.-Л. (2006). «Общий метод определения взаимосвязи между двумя наборами коэффициентов Цернике, соответствующими разным размерам апертуры» . J. Опт. Соц. Являюсь. А. ​ 23 (8): 1960–1966. Бибкод : 2006JOSAA..23.1960S . дои : 10.1364/JOSAA.23.001960 . ЧВК   1961626 . ПМИД   16835654 .
• Свантнер, В.; Чоу, WW (1994). «Ортогонализация по Граму-Шмидту полиномов Цернике для общей формы апертуры». Прил. Опц . 33 (10): 1832–7. Бибкод : 1994ApOpt..33.1832S . дои : 10.1364/AO.33.001832 . ПМИД   20885515 .
• Танго, WJ (1977). «Круговые полиномы Цернике и их применение в оптике». Прил. Физ. А. ​ 13 (4): 327–332. Бибкод : 1977ApPhy..13..327T . дои : 10.1007/BF00882606 . S2CID   120469275 .
• Тайсон, РК (1982). «Преобразование коэффициентов аберрации Цернике в коэффициенты аберрации Зейделя и степенных рядов более высокого порядка». Опция Летт . 7 (6): 262–264. Бибкод : 1982OptL....7..262T . дои : 10.1364/OL.7.000262 . ПМИД   19710893 .
• Ван, JY; Сильва, Делавэр (1980). «Интерпретация волнового фронта с помощью полиномов Цернике». Прил. Опц . 19 (9): 1510–8. Бибкод : 1980ApOpt..19.1510W . дои : 10.1364/AO.19.001510 . ПМИД   20221066 .
• Баракат, Р. (1980). «Оптимальные сбалансированные аберрации волнового фронта для радиально-симметричных распределений амплитуд: обобщения полиномов Цернике». J. Опт. Соц. Являюсь . 70 (6): 739. Бибкод : 1980JOSA...70..739B . дои : 10.1364/JOSA.70.000739 .
• тен Бруммелаар, Т.А. (1996). «Моделирование аберраций атмосферных волн и астрономических приборов с использованием полиномов Цернике». Опция Коммун . 132 (3–4): 329–342. Бибкод : 1996OptCo.132..329T . дои : 10.1016/0030-4018(96)00407-5 .
• Новотни, М.; Кляйн, Р. (2003). «3D-дескрипторы Зернике для поиска формы на основе контента». Материалы восьмого симпозиума ACM по твердотельному моделированию и приложениям (PDF) . стр. 216–225. CiteSeerX   10.1.1.14.4970 . дои : 10.1145/781606.781639 . ISBN  978-1581137064 . S2CID   10514681 .
• Новотни, М.; Кляйн, Р. (2004). «Поиск формы с использованием 3D-дескрипторов Цернике» (PDF) . Компьютерное проектирование . 36 (11): 1047–1062. CiteSeerX   10.1.1.71.8238 . дои : 10.1016/j.cad.2004.01.005 .
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Шейх, У.У.; Флюссер, Январь (2014). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне: сравнение моментальных подходов» . 8-я Международная конференция по робототехнике, зрению, обработке сигналов и энергетическим приложениям . Конспект лекций по электротехнике. Том. 291. стр. 129–135. дои : 10.1007/978-981-4585-42-2_15 . ISBN  978-981-4585-41-5 .
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Флюссер, Ян; Шейх, У.У.; Хансари, Мохаммед; Джафари-Хузани, Курош (2014). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне путем объединения моментов Цернике и непрореженного дискретного вейвлет-преобразования». Цифровая обработка сигналов . 31 (1): 13–27. дои : 10.1016/j.dsp.2014.04.008 .

Внешние ссылки

• Расширенный веб-сайт Нийбоера-Зернике
• Код MATLAB для быстрого расчета моментов Цернике
• Библиотека Python/NumPy для расчета полиномов Цернике
• Аберрации Цернике в Telescope Optics
• Пример: использование WolframAlpha для построения полиномов Цернике
• orthy — пакет Python, вычисляющий ортогональные полиномы (включая полиномы Цернике)