Псевдо-полиномы Цернике

В математике хорошо псевдополиномы Цернике известны и широко используются при анализе оптических систем. Они также широко используются при анализе изображений в качестве дескрипторов формы .

Определение

Они представляют собой ортогональный набор комплексных многочленов . определяется как

$V_{nm}(x,y)=R_{nm}(x,y)e^{jm\arctan({\frac {y}{x}})},$

где $x^{2}+y^{2}\leq 1,n\geq 0,|m|\leq n$ а ортогональность на единичном круге задается как

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}r[V_{nl}(r\cos \theta ,r\sin \theta )]^{*}\times V_{mk}(r\cos \theta ,r\sin \theta )\,dr\,d\theta ={\frac {\pi }{n+1}}\delta _{mn}\delta _{kl},$

где звездочка означает комплексное сопряжение, а $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$— стандартные преобразования между полярными и декартовыми координатами.

Радиальные полиномы $R_{nm}$ определяются как

$R_{nm}(r)=\sum _{s=0}^{n-|m|}D_{n,|m|,s}\ r^{n-s}$

с целыми коэффициентами

$D_{n,|m|,s}=(-1)^{s}{\frac {(2n+1-s)!}{s!(n-|m|-s)!(n+|m|-s+1)!}}.$

Примеры

Примеры:

$R_{0,0}=1$

$R_{1,0}=-2+3r$

$R_{1,1}=r$

$R_{2,0}=3+10r^{2}-12r$

$R_{2,1}=5r^{2}-4r$

$R_{2,2}=r^{2}$

$R_{3,0}=-4+35r^{3}-60r^{2}+30r$

$R_{3,1}=21r^{3}-30r^{2}+10r$

$R_{3,2}=7r^{3}-6r^{2}$

$R_{3,3}=r^{3}$

$R_{4,0}=5+126r^{4}-280r^{3}+210r^{2}-60r$

$R_{4,1}=84r^{4}-168r^{3}+105r^{2}-20r$

$R_{4,2}=36r^{4}-56r^{3}+21r^{2}$

$R_{4,3}=9r^{4}-8r^{3}$

$R_{4,4}=r^{4}$

$R_{5,0}=-6+462r^{5}-1260r^{4}+1260r^{3}-560r^{2}+105r$

$R_{5,1}=330r^{5}-840r^{4}+756r^{3}-280r^{2}+35r$

$R_{5,2}=165r^{5}-360r^{4}+252r^{3}-56r^{2}$

$R_{5,3}=55r^{5}-90r^{4}+36r^{3}$

$R_{5,4}=11r^{5}-10r^{4}$

$R_{5,5}=r^{5}$

Моменты

Псевдомоменты Цернике (ПЗМ) порядка. $n$ и повторение $l$ определяются как

$A_{nl}={\frac {n+1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}[V_{nl}(r\cos \theta ,r\sin \theta )]^{*}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\,dr\,d\theta ,$

где $n=0,\ldots \infty$, и $l$ принимает положительные и отрицательные целые числа ценности, подверженные $|l|\leq n$.

Функцию изображения можно восстановить путем разложения коэффициентов псевдо-Цернике на единичный круг как

$f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{l=-n}^{+n}A_{nl}V_{nl}(x,y).$

Псевдо-моменты Цернике получены из обычных моментов Цернике и показаныбыть более надежным и менее чувствительным к шуму изображения , чем моменты Цернике.

См. также

• Полиномы Цернике
• Момент изображения

Ссылки

• Белкасим, С.; Ахмади, М.; Шридхар, М. (1996). «Эффективный алгоритм быстрого расчета моментов Цернике». Журнал Института Франклина . 333 (4): 577–581. дои : 10.1016/0016-0032(96)00017-8 .
• Хаддадния, Дж.; Ахмади, М.; Фаез, К. (2003). «Эффективный метод выделения признаков с использованием псевдо-момента Зернике в системе распознавания лиц человека на основе нейронной сети rbf» . Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2003 (9): 890–901. Бибкод : 2003EJASP2003..146H . дои : 10.1155/S1110865703305128 .
• Т.-В. Лин; Ю.-Ф. Чоу (2003). Сравнительное исследование моментов Цернике . Материалы Международной конференции IEEE/WIC по веб-аналитике. стр. 516–519. дои : 10.1109/WI.2003.1241255 . ISBN  0-7695-1932-6 .
• Чонг, Ч.-В.; Равендран, П.; Мукундан, Р. (2003). «Масштабные инварианты псевдомоментов Цернике» (PDF) . Паттерн Анал. Приложение . 6 (3): 176–184. дои : 10.1007/s10044-002-0183-5 .
• Чонг, Чи-Уэй; Мукундан, Р.; Равендран, П. (2003). «Эффективный алгоритм быстрого вычисления псевдо-моментов Цернике» (PDF) . Межд. J. Распознавание образов. Артиф. Межд . 17 (6): 1011–1023. дои : 10.1142/S0218001403002769 . hdl : 10092/448 .
• Шатлер, Джейми (1992). «Сложные моменты Цернике» .