Преобразование Абеля

О преобразовании суммирования см. суммирование по частям .

В математике преобразование Абеля ​ названное в честь Нильса Хенрика Абеля , представляет собой интегральное преобразование, часто используемое при анализе сферически- или аксиально-симметричных функций. Преобразование Абеля функции f ( r ) определяется выражением

$F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.$

Предполагая, что f ( r ) падает до нуля быстрее, чем 1/ r , обратное преобразование Абеля определяется выражением

$f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.$

При анализе изображений прямое преобразование Абеля используется для проецирования оптически тонкой, аксиально-симметричной функции излучения на плоскость, а обратное преобразование Абеля используется для расчета функции излучения с учетом проекции (т. е. сканирования или фотографии) этого излучения. функция.

В абсорбционной спектроскопии цилиндрического пламени или шлейфов прямое преобразование Абеля представляет собой интегральное поглощение вдоль луча с ближайшим расстоянием y от центра пламени, тогда как обратное преобразование Абеля дает локальный коэффициент поглощения на расстоянии r от центра. Преобразование Абеля ограничено приложениями с осесимметричной геометрией. Для более общих асимметричных случаев следует использовать более общие алгоритмы реконструкции, такие как метод алгебраической реконструкции (ART), алгоритмы максимизации ожидания максимального правдоподобия (MLEM), алгоритмы обратного проецирования с фильтрацией (FBP).

В последние годы обратное преобразование Абеля (и его варианты) стало краеугольным камнем анализа данных в фотофрагментно-ионной визуализации и фотоэлектронной визуализации . Среди последних наиболее заметных расширений обратного преобразования Абеля - методы фотоэлектронного и фотоионного анализа изображений «луковой очистки» и «расширения базисного набора» (BASEX).

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация преобразования Абеля в двух измерениях. Наблюдатель (I) смотрит вдоль линии, параллельной оси x , на расстоянии y над началом координат. То, что видит наблюдатель, — это проекция (т.е. интеграл) круговой симметричной функции f ( r ) вдоль луча зрения. Функция f ( r ) представлена ​​на этом рисунке серым цветом. Предполагается, что наблюдатель находится бесконечно далеко от начала координат, так что пределы интегрирования составляют ±∞.

В двух измерениях преобразование Абеля F ( y ) можно интерпретировать как проекцию кругово-симметричной функции f ( r ) вдоль множества параллельных лучей зрения на расстоянии y от начала координат. Обращаясь к рисунку справа, наблюдатель (I) увидит

$F(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx,$

где f ( r ) — кругово-симметричная функция, обозначенная на рисунке серым цветом. Предполагается, что наблюдатель на самом деле находится в точке x = ∞, так что пределы интегрирования составляют ±∞, а все лучи зрения параллельны оси x .Понимая, что радиус r связан с x и y как r ² = х ² + и ² , отсюда следует, что

$dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$

для x > 0. Поскольку f ( r ) — четная функция от x , мы можем написать

$F(y)=2\int _{0}^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx=2\int _{|y|}^{\infty }f(r)\,{\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}},$

что дает преобразование Абеля f ( r ).

Преобразование Абеля может быть распространено на более высокие измерения. Особый интерес представляет расширение до трех измерений. Если у нас есть осесимметричная функция f ( ρ , z ), где ρ ² = х ² + и ² — цилиндрический радиус, то нам может понадобиться узнать проекцию этой функции на плоскость, параллельную оси z . Без ограничения общности мы можем принять эту плоскость за плоскость yz , так что

$F(y,z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},$

что является просто преобразованием Абеля f ( ρ , z ) в ρ и y .

Особым типом осевой симметрии является сферическая симметрия. В данном случае мы имеем функцию f ( r ), где r ² = х ² + и ² + я ² . Тогда проекция, скажем, на плоскость yz будет кругово-симметричной и выражается как F ( s ), где s ² = и ² + я ² . Проведя интеграцию, мы имеем

$F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2}}}},$

что опять же является преобразованием Абеля f ( r ) в r и s .

Проверка обратного преобразования Абеля

Предполагая $f$ непрерывно дифференцируема и $f$, $f'$ падать до нуля быстрее, чем $1/r$, мы можем установить $u=f(r)$ и $v={\sqrt {r^{2}-y^{2}}}$. Тогда интегрирование по частям дает

$F(y)=-2\int _{y}^{\infty }f'(r){\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,dr.$

Дифференцируя формально ,

$F'(y)=2y\int _{y}^{\infty }{\frac {f'(r)}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.$

Теперь подставьте это в формулу обратного преобразования Абеля:

$-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {F'(y)}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}\,dy=\int _{r}^{\infty }\int _{y}^{\infty }{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}f'(s)\,dsdy.$

По теореме Фубини последний интеграл равен

$\int _{r}^{\infty }\int _{r}^{s}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\,ds=f(r).$

Обобщение преобразования Абеля на разрывный F ( y )

Рассмотрим случай, когда $F(y)$ является прерывистым в $y=y_{\Delta }$, где он резко меняет свое значение на конечную величину $\Delta F$. То есть, $y_{\Delta }$ и $\Delta F$ определяются $\Delta F\equiv \lim _{\epsilon \rightarrow 0}[F(y_{\Delta }-\epsilon )-F(y_{\Delta }+\epsilon )]$. Такая ситуация встречается в связанных полимерах ( полимерная щетка ), демонстрирующих вертикальное разделение фаз, где $F(y)$ обозначает профиль плотности полимера и $f(r)$ связано с пространственным распределением концевых, несвязанных мономеров полимеров.

Преобразование Абеля функции f ( r ) при этих обстоятельствах снова задается формулой:

$F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.$

Предполагая, что f ( r ) падает до нуля быстрее, чем 1/ r , обратное преобразование Абеля, однако, определяется выражением

$f(r)=\left[{\frac {1}{2}}\delta (r-y_{\Delta }){\sqrt {1-(y_{\Delta }/r)^{2}}}-{\frac {1}{\pi }}{\frac {H(y_{\Delta }-r)}{\sqrt {y_{\Delta }^{2}-r^{2}}}}\right]\Delta F-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.$

где $\delta$ - дельта-функция Дирака и $H(x)$ ступенчатая функция Хевисайда . Расширенная версия преобразования Абеля для разрывного F доказывается применением преобразования Абеля к смещенным непрерывным $F(y)$, и оно сводится к классическому преобразованию Абеля, когда $\Delta F=0$. Если $F(y)$ имеет более одного разрыва, необходимо ввести сдвиги для любого из них, чтобы получить обобщенную версию обратного преобразования Абеля, которая содержит n дополнительных членов, каждый из которых соответствует одному из n разрывов.

Связь с другими интегральными преобразованиями

Связь с преобразованиями Фурье и Ханкеля

Преобразование Абеля является одним из членов FHA цикла интегральных операторов . Например, в двух измерениях, если мы определим A как оператор преобразования Абеля, F как оператор преобразования Фурье и H нулевого порядка как оператор преобразования Ханкеля , то частный случай теоремы о проекционном срезе для кругово-симметричных функций утверждает, что

$FA=H.$

Другими словами, применив преобразование Абеля к одномерной функции ито применение преобразования Фурье к этому результату аналогично применениюпреобразование Ханкеля к этой функции. Эту концепцию можно распространить на более высокиеразмеры.

Связь с преобразованием Радона

Преобразование Абеля можно рассматривать как преобразование Радона изотропной двумерной функции f ( r ). Поскольку f ( r ) изотропна, ее преобразование Радона одинаково при разных углах оси наблюдения. Таким образом, преобразование Абеля является функцией расстояния только вдоль оси наблюдения.

См. также

• GPS радиозатмение

Ссылки

• Брейсвелл, Р. (1965). Преобразование Фурье и его приложения . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-007016-4 .