Теорема Парсеваля

В математике теорема Парсеваля обычно относится к результату, согласно которому преобразование Фурье является унитарным ; В общих чертах, сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. Оно берет свое начало из теоремы Марка-Антуана Парсеваля о рядах 1799 года позже , которая была применена к рядам Фурье . Она также известна как энергетическая теорема Рэлея или тождество Рэлея , в честь Джона Уильяма Стрэтта , лорда Рэлея.

Хотя термин «теорема Парсеваля» часто используется для описания унитарности любого преобразования Фурье, особенно в физике , наиболее общую форму этого свойства правильнее называть теоремой Планшереля .

Формулировка теоремы Парсеваля

Предположим, что $A(x)$ и $B(x)$ две комплекснозначные функции на $\mathbb {R}$ периода ​ $2\pi$ интегрируемые с квадратом (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода, с рядами Фурье

$A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}$

и

$B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}$

соответственно. Затем

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,\mathrm {d} x,$ ( Уравнение 1 )

где $i$ — мнимая единица , а горизонтальные полосы обозначают комплексное сопряжение . Замена $A(x)$ и ${\overline {B(x)}}$:

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}\right)\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {b_{n}}}e^{-inx}\right)\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots \right)\left({\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Как и в случае со средними терминами в этом примере, многие термины будут интегрироваться в $0$ всего периода на протяжении $2\pi$ (см. гармоники ):

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]\end{aligned}}$

В более общем смысле, если $A(x)$ и $B(x)$ вместо этого представляют собой две комплексные функции на $\mathbb {R}$ периода $P$ интегрируемые с квадратом (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода, с рядами Фурье

$A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}$

и

$B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}$

соответственно. Затем

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}A(x){\overline {B(x)}}\,\mathrm {d} x,$ ( Уравнение 2 )

В более общем смысле, для абелевой локально компактной группы G с двойственной по Понтрягину G^ теорема Парсеваля гласит, что преобразование Понтрягина – Фурье является унитарным оператором между гильбертовыми пространствами L. ² ( Г ) и Л ² ( G^ ) (при этом интегрирование проводится по соответствующим масштабированным мерам Хаара в двух группах.) Когда G — единичный круг T , G^ — целые числа, и это случай, описанный выше. Когда G — реальная линия $\mathbb {R}$, G^ также $\mathbb {R}$ а унитарное преобразование — это преобразование Фурье на действительной прямой. Когда G является циклической группой Zn _{дискретным} , она снова самодвойственна, и преобразование Понтрягина-Фурье представляет собой то, что в прикладном контексте называется Фурье преобразованием .

Теорему Парсеваля можно также выразить следующим образом: Предполагать $f(x)$ является интегрируемой с квадратом функцией по $[-\pi ,\pi ]$ (т.е. $f(x)$ и $f^{2}(x)$ интегрируемы на этом интервале) с рядом Фурье

$f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).$

Затем

${\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).$

Обозначения, используемые в технике

В электротехнике теорему Парсеваля часто записывают так:

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f$

где $X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}$ представляет собой непрерывное преобразование Фурье (в неунитарной форме) $x(t)$, и $\omega =2\pi f$ частота в радианах в секунду.

Интерпретация этой формы теоремы заключается в том, что полную энергию сигнала можно рассчитать путем суммирования мощности на выборку по времени или спектральной мощности по частоте.

Для дискретного времени сигналов теорема принимает вид:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi$

где $X_{2\pi }$ — преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) $x$ и $\phi$ представляет угловую частоту (в радианах на выборку) $x$.

В качестве альтернативы для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) соотношение становится следующим:

$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}$

где $X[k]$ это ДПФ $x[n]$, обе длины $N$.

Ниже мы покажем случай ДПФ. Для остальных случаев доказательство аналогично. Используя определение обратного ДПФ $X[k]$, мы можем вывести

${\begin{aligned}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]\,X^{*}[k]\\[5mu]&={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\left[\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n](N\cdot x^{*}[n])\\[5mu]&=\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2},\end{aligned}}$

где $*$ представляет собой комплексно-сопряженный.

См. также

Теорема Парсеваля тесно связана с другими математическими результатами, включающими унитарные преобразования:

• Личность Парсеваля
• Теорема Планшереля
• Теорема Винера – Хинчина
• Неравенство Бесселя

Внешние ссылки

• Теорема Парсеваля о математическом мире