Энергия (обработка сигналов)

При обработке энергия сигналов $E_{s}$ сигнала непрерывного времени x ( t ) определяется как площадь под квадратом величины рассматриваемого сигнала, т. е. математически

$E_{s}\ \ =\ \ \langle x(t),x(t)\rangle \ \ =\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|^{2}}dt$

Единица $E_{s}$будет (единица сигнала) ² .

И энергия $E_{s}$ сигнала дискретного времени x ( n ) определяется математически как

$E_{s}\ \ =\ \ \langle x(n),x(n)\rangle \ \ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|x(n)|^{2}}$

Связь с энергией в физике

Энергия в этом контексте, строго говоря, не то же самое, что общепринятое понятие энергии в физике и других науках. Однако эти две концепции тесно связаны, и можно преобразовать одну в другую:

$E={E_{s} \over Z}={1 \over Z}\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|^{2}}dt$

где Z представляет собой величину нагрузки, вызываемой сигналом, в соответствующих единицах измерения.

Например, если x ( t ) представляет собой потенциал (в вольтах ) электрического сигнала, распространяющегося по линии передачи, то Z будет представлять характеристическое сопротивление (в Омах ) линии передачи. Единицы измерения энергии сигнала $E_{s}$ будет выглядеть как вольт ² ·секунды, что неверно по размерности для энергии в смысле физических наук. После разделения $E_{s}$ однако по Z размеры E станут вольтами. ² ·секунды на ом,

${\frac {\rm {{V}^{2}}}{\rm {\Omega }}}{\rm {{s}={\rm {{W}{\rm {{s}={\rm {J}}}}}}}}$

что эквивалентно джоулям , единице энергии в системе СИ , определенной в физических науках.

Спектральная плотность энергии

Основная статья: Спектральная плотность энергии

Аналогично, спектральная плотность энергии сигнала x(t) равна

$\ E_{s}(f)=|X(f)|^{2}$

где X ( f ) — преобразование Фурье x t ( ) .

Например, если x ( t ) представляет собой величину компонента электрического поля (в вольтах на метр) оптического сигнала, распространяющегося через свободное пространство , то размеры X ( f ) будут равны вольт·секундам на метр и $E_{s}(f)$ будет представлять спектральную плотность энергии сигнала (в вольтах ² ·второй ² за метр ² ) как функция частоты f (в ​​герцах ). Опять же, эти единицы измерения не являются правильными по размерам в истинном смысле плотности энергии, определенной в физике. Разделение $E_{s}(f)$ через Z _o характеристическое сопротивление свободного пространства (в Омах), размеры становятся джоулями-секундами на метр. ² или, что то же самое, джоули на метр ² на герц, что соответствует размерности единиц СИ для спектральной плотности энергии.

Теорема Парсеваля

Как следствие теоремы Парсеваля , можно доказать, что энергия сигнала всегда равна сумме всех частотных составляющих спектральной плотности энергии сигнала.

См. также

• Обработка сигналов
• Теорема Парсеваля
• Спектральная плотность
• Внутренний продукт