Ряд Фурье – Бесселя

В математике — ряд Фурье–Бесселя это особый вид обобщенного ряда Фурье ( разложение в бесконечный ряд на конечном интервале), основанного на функциях Бесселя .

Ряды Фурье-Бесселя используются при решении уравнений в частных производных , особенно в цилиндрических системах координат.

Определение

Ряд Фурье–Бесселя функции $f (x)$ с областью определения $[0, b],$ удовлетворяющей $f (b) = 0$

Функция Бесселя для (i) $\alpha =0$ и (ii) $\alpha =1$ .

$f:[0,b]\to \mathbb {R}$ представляет собой представление этой функции как линейную комбинацию многих ортогональных версий одной и той же функции Бесселя первого рода J _α , где аргумент каждой версии n масштабируется по-разному в соответствии с ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} $(J_{\alpha })_{n}(x):=J_{\alpha }\left({\frac {u_{\alpha ,n}}{b}}x\right)$ где u _{α , n} — корень с номером n , связанный с функцией Бесселя J _α , а c _n — присвоенные коэффициенты: ^{[ 3 ]} $f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}J_{\alpha }\left({\frac {u_{\alpha ,n}}{b}}x\right).$

Интерпретация

Ряд Фурье-Бесселя можно рассматривать как разложение Фурье по координате ρ цилиндрических координат . Подобно тому, как ряд Фурье определен для конечного интервала и имеет аналог, непрерывное преобразование Фурье на бесконечном интервале, так и ряд Фурье-Бесселя имеет аналог на бесконечном интервале, а именно преобразование Ханкеля .

Расчет коэффициентов

Как уже говорилось, функции Бесселя с разным масштабом ортогональны относительно внутреннего продукта.

(i) Речевой сигнал (mtlb.mat из набора инструментов Matlab), (ii) коэффициенты FBSE речевого сигнала и (iii) величина коэффициентов FBSE речевого сигнала.

$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{b}xf(x)g(x)\,dx$

в соответствии с

$\int _{0}^{b}xJ_{\alpha }\left({\frac {xu_{\alpha ,n}}{b}}\right)\,J_{\alpha }\left({\frac {xu_{\alpha ,m}}{b}}\right)\,dx={\frac {b^{2}}{2}}\delta _{mn}[J_{\alpha +1}(u_{\alpha ,n})]^{2},$

(где: $\delta _{mn}$ – дельта Кронекера). Коэффициенты можно получить путем проектирования функции $f (x)$ на соответствующие функции Бесселя:

$c_{n}={\frac {\langle f,(J_{\alpha })_{n}\rangle }{\langle (J_{\alpha })_{n},(J_{\alpha })_{n}\rangle }}={\frac {\int _{0}^{b}xf(x)(J_{\alpha })_{n}(x)\,dx}{{\frac {1}{2}}(bJ_{\alpha \pm 1}(u_{\alpha ,n}))^{2}}}$

где знак плюс или минус одинаково верен.

Для обратного преобразования используется следующее представление дельта-функции Дирака: ^{[ 4 ]}

${\frac {2x^{\alpha }y^{1-\alpha }}{b^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {J_{\alpha }\left({\frac {xu_{\alpha ,k}}{b}}\right)\,J_{\alpha }\left({\frac {yu_{\alpha ,k}}{b}}\right)}{J_{\alpha +1}^{2}(u_{\alpha ,k})}}=\delta (x-y).$

Взаимное соотношение между индексом порядка ( n ) и непрерывной частотой ( $F_{n}$ )

(i) График произвольной базисной функции Бесселя (ii) График БПФ рассматриваемой базисной функции Бесселя (iii) График коэффициентов FBSE рассматриваемой базисной функции Бесселя.

Коэффициенты ряда Фурье – Бесселя уникальны для данного сигнала, и существует взаимно однозначное отображение между непрерывной частотой ( $F_{n}$ ) и индекс порядка $(n)$ что можно выразить следующим образом:

$u_{n}={\frac {2\pi F_{n}L}{F_{s}}}$

С, $u_{n}=u_{n-1}+\pi \approx n\pi$ . Таким образом, приведенное выше уравнение можно переписать следующим образом:

$F_{n}={\frac {F_{s}n}{2L}}$

где $L$ длина сигнала и $F_{s}$ — частота дискретизации сигнала.

2D-разложение в ряд Фурье-Бесселя

Для изображения $f(x,y)$ размера M×N, уравнения синтеза для разложения 2D-ряда Фурье – Бесселя нулевого порядка имеют следующий вид:

$f(x,y)=\sum _{m=1}^{M}\sum _{n=1}^{N}F(m,n)J_{0}{\bigg (}{\frac {u_{0,n}y}{N}}{\bigg )}J_{0}{\bigg (}{\frac {u_{0,m}x}{M}}{\bigg )}$

Где $F(m,n)$ – коэффициенты разложения в двумерный ряд Фурье – Бесселя, математические выражения которых следующие:

$F(m,n)={\frac {4}{\alpha _{1}}}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}xyf(x,y)J_{0}{\bigg (}{\frac {u_{0,n}y}{N}}{\bigg )}J_{0}{\bigg (}{\frac {u_{0,m}x}{M}}{\bigg )}$

где, $\alpha _{1}=(NM)^{2}(J_{1}(u_{0,m})J_{1}(u_{0,n}))^{2}$

Энтропия, основанная на разложении в ряд Фурье-Бесселя

Для сигнала длины $b$ , спектральная энтропия на основе Фурье-Бесселя, такая как спектральная энтропия Шеннона ( $H_{\text{SSE}}$ ), логарифм энтропии энергии ( $H_{\text{LLE}}$ ) и винеровская энтропия ( $H_{\text{WE}}$ ) определяются следующим образом:

$H_{\text{SSE}}=-\sum _{n=1}^{b}P(n)~{\text{log}}_{2}\left(P(n)\right)$

$H_{\text{WE}}=b{\frac {\sqrt {\displaystyle \prod _{n=1}^{b}E_{n}}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{b}E_{n}}}$

$H_{\text{LE}}=-\sum _{n=1}^{b}~{\text{log}}_{2}\left(P(n)\right)$

где $P_{n}$ — это нормализованное распределение энергии, которое математически определяется следующим образом:

$P(n)={\frac {E_{n}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{b}E_{n}}}$

$E_{n}$ — энергетический спектр, который математически определяется следующим образом:

$E_{n}={\frac {c_{n}^{2}b^{2}[J_{1}(u_{1,n})]^{2}}{2}}$

Эмпирическое вейвлет-преобразование на основе расширения ряда Фурье-Бесселя

Эмпирическое вейвлет-преобразование (EWT) — это многомасштабный подход к обработке сигналов для разложения многокомпонентного сигнала на функции внутреннего режима (IMF). ^{[ 5 ]} EWT основан на разработке банка эмпирических вейвлет-фильтров, основанного на разделении спектра Фурье многокомпонентных сигналов. Разделение спектра Фурье многокомпонентного сигнала осуществляется с помощью обнаружения пиков и последующей оценки граничных точек. ^{[ 5 ]} Для нестационарных сигналов разложение в ряд Фурье-Бесселя (FBSE) является естественным выбором, поскольку оно использует функцию Бесселя в качестве основы для анализа и синтеза сигнала. Спектр FBSE создал количество элементов разрешения по частоте, такое же, как длина сигнала в частотном диапазоне [0, ${\frac {F_{s}}{2}}$ ]. Следовательно, в FBSE-EWT граничные точки обнаруживаются с использованием спектра нестационарного сигнала на основе FBSE. После того, как граничные точки получены, эмпирический банк фильтров на основе вейвлетов разрабатывается в области Фурье многокомпонентного сигнала для оценки IMF. Метод на основе FBSE, используемый в FBSE-EWT, позволил получить большее количество граничных точек по сравнению с частью FFT в методе на основе EWT. Характеристики, извлеченные из IMF сигналов ЭЭГ и ЭКГ, полученных с использованием подхода на основе FBSE-EWT, показали лучшую эффективность для автоматического обнаружения неврологических и сердечных заболеваний.

Дискретное преобразование Стоквелла, область разложения в ряд Фурье-Бесселя

Для сигнала дискретного времени x(n) дискретное преобразование Стоквелла в области FBSE (FBSE-DST) оценивается следующим образом: $T(n,l)=\sum _{m=1}^{L}Y{\Big (}m+l{\Big )}g(m,l)J_{0}{\Big (}{\frac {\lambda _{l}}{N}}n{\Big )}$ где Y(l) — коэффициенты FBSE, и эти коэффициенты рассчитываются с использованием следующего выражения:

$Y(l)={\frac {2}{N^{2}[J_{1}(\lambda _{l})]^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}nx(n)J_{0}{\Big (}{\frac {\lambda _{l}}{N}}n{\Big )}$

The $\lambda _{l}$ называется как $l^{th}$ корень функции Бесселя и вычисляется итерационным способом на основе решения $J_{0}(\lambda _{l})=0$ с помощью метода Ньютона-Рапсона. Аналогично, g(m,l) — это гауссово окно домена FBSE, и оно задается следующим образом:

$g(m,l)={\text{e}}^{-{\frac {2\pi ^{2}\lambda _{m}^{2}}{\lambda _{l}^{2}}}},~{\{l,m=1,2,...L}\}$

Алгоритм разделения дискретной энергии на основе разложения Фурье – Бесселя

Для многокомпонентных амплитудно-частотно-модулированных (AM-FM) сигналов алгоритм дискретного энергетического разделения (DESA) вместе с фильтрацией Габора представляет собой традиционный подход к оценке функций огибающей амплитуды (AE) и мгновенной частоты (IF). ^{[ 6 ]} Было замечено, что операция фильтрации искажает амплитудную и фазовую модуляцию в разделенных однокомпонентных сигналах.

Преимущества

Разложение в ряд Фурье – Бесселя не требует использования оконной функции для получения спектра сигнала. Он представляет реальный сигнал в терминах реальных базисных функций Бесселя. Он обеспечивает представление реальных сигналов в терминах положительных частот. Используемые базисные функции имеют апериодический характер и сходятся. Базисные функции включают в представление амплитудную модуляцию. Спектр разложения в ряд Фурье – Бесселя обеспечивает частотные точки, равные длине сигнала.

Приложения

В основе разложения в ряд Фурье – Бесселя лежат апериодические и затухающие функции Бесселя. Расширение ряда Фурье-Бесселя успешно применяется в различных областях, таких как диагностика неисправностей зубчатых передач, ^{[ 7 ]} распознавание запахов в турбулентной среде, ^{[ 8 ]} анализ постуральной устойчивости, определение времени начала голоса, определение моментов (эпох) закрытия голосовой щели, разделение формант речи, улучшение речи, ^{[ 9 ]} и идентификация говорящего. ^{[ 10 ]} Разложение ряда Фурье-Бесселя также использовалось для уменьшения перекрестных членов в распределении Вигнера-Вилля.

серия Дини

Второй ряд Фурье-Бесселя, также известный как ряд Дини , связан с граничным условием Робина. $bf'(b)+cf(b)=0,$ где $c$ — произвольная константа. Серию Дини можно определить по $f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}J_{\alpha }(\gamma _{n}x/b),$

где $\gamma _{n}$ является n -м нулем числа $xJ'_{\alpha }(x)+cJ_{\alpha }(x)$ .

Коэффициенты $b_{n}$ даны $b_{n}={\frac {2\gamma _{n}^{2}}{b^{2}(c^{2}+\gamma _{n}^{2}-\alpha ^{2})J_{\alpha }^{2}(\gamma _{n})}}\int _{0}^{b}J_{\alpha }(\gamma _{n}x/b)\,f(x)\,x\,dx.$

См. также

Ссылки

^ Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Сони, Радж Пал (1966). Формулы и теоремы для специальных функций математической физики . дои : 10.1007/978-3-662-11761-3 . ISBN 978-3-662-11763-7 .
^ Р., Смайт, Уильям (1968). Статическое и динамическое электричество. - 3-е изд . МакГроу-Хилл. OCLC 878854927 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Шредер, Джим (апрель 1993 г.). «Обработка сигналов посредством разложения в ряд Фурье-Бесселя» . Цифровая обработка сигналов . 3 (2): 112–124. дои : 10.1006/dspr.1993.1016 . ISSN 1051-2004 .
^ Кэхилл, Кевин (2019). Физическая математика . Издательство Кембриджского университета. п. 385. ИСБН 9781108470032 . Проверено 9 марта 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б Жиль, Жером (август 2013 г.). «Эмпирическое вейвлет-преобразование» . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 61 (16): 3999–4010. Бибкод : 2013ИТСП...61.3999Г . дои : 10.1109/TSP.2013.2265222 . ISSN 1053-587X . S2CID 6341052 .
^ Марагос, Петрос; Кайзер, Джеймс Ф. (октябрь 1993 г.). «Энергетическое разделение в модуляциях сигналов с применением к анализу речи» . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 41 (10): 3024–3051. Бибкод : 1993ITSP...41.3024M . дои : 10.1109/78.277799 .
^ Д'Элия, Джанлука; Дельвеккио, Симона; Дальпиаз, Джорджио (2012), «Об использовании разложения в ряд Фурье-Бесселя для диагностики зубчатых передач» , Мониторинг состояния оборудования в нестационарных операциях , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 267–275, doi : 10.1007/ 978-3-642-28768-8_28 , ISBN 978-3-642-28767-1 , получено 22 октября 2022 г.
^ Вергараа, А.; Мартинелли, Э.; Уэрта, Р.; Д'Амико, А.; Ди Натале, К. (2011). «Ортогональное разложение хемосенсорных сигналов: распознавание запахов в турбулентной среде» . Процедия Инжиниринг . 25 : 491–494. дои : 10.1016/j.proeng.2011.12.122 . ISSN 1877-7058 .
^ Гурген, Ф.С.; Чен, CS (1990). «Улучшение речи с помощью коэффициентов Фурье – Бесселя речи и шума» . IEE Proceedings I - Коммуникации, речь и видение . 137 (5): 290. doi : 10.1049/ip-i-2.1990.0040 . ISSN 0956-3776 .
^ Гопалан, К.; Андерсон, ТР; Капплс, EJ (май 1999 г.). «Сравнение результатов идентификации говорящего с использованием функций, основанных на кепстре и расширении Фурье-Бесселя» . Транзакции IEEE по обработке речи и аудио . 7 (3): 289–294. дои : 10.1109/89.759036 . ISSN 1063-6676 .

Внешние ссылки

«Ряды Фурье-Бесселя» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик. В. «Ряд Фурье-Бесселя» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram .
Ряд Фурье-Бесселя, примененный к анализу акустического поля, на исследовательской странице Trinnov Audio

[1] Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Сони, Радж Пал (1966). Формулы и теоремы для специальных функций математической физики . дои : 10.1007/978-3-662-11761-3 . ISBN 978-3-662-11763-7 .

[2] Р., Смайт, Уильям (1968). Статическое и динамическое электричество. - 3-е изд . МакГроу-Хилл. OCLC 878854927 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[3] Шредер, Джим (апрель 1993 г.). «Обработка сигналов посредством разложения в ряд Фурье-Бесселя» . Цифровая обработка сигналов . 3 (2): 112–124. дои : 10.1006/dspr.1993.1016 . ISSN 1051-2004 .

[Cahill-4] Кэхилл, Кевин (2019). Физическая математика . Издательство Кембриджского университета. п. 385. ИСБН 9781108470032 . Проверено 9 марта 2023 г.

[:2-5] Jump up to: ^а ^б Жиль, Жером (август 2013 г.). «Эмпирическое вейвлет-преобразование» . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 61 (16): 3999–4010. Бибкод : 2013ИТСП...61.3999Г . дои : 10.1109/TSP.2013.2265222 . ISSN 1053-587X . S2CID 6341052 .

[6] Марагос, Петрос; Кайзер, Джеймс Ф. (октябрь 1993 г.). «Энергетическое разделение в модуляциях сигналов с применением к анализу речи» . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 41 (10): 3024–3051. Бибкод : 1993ITSP...41.3024M . дои : 10.1109/78.277799 .

[7] Д'Элия, Джанлука; Дельвеккио, Симона; Дальпиаз, Джорджио (2012), «Об использовании разложения в ряд Фурье-Бесселя для диагностики зубчатых передач» , Мониторинг состояния оборудования в нестационарных операциях , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 267–275, doi : 10.1007/ 978-3-642-28768-8_28 , ISBN 978-3-642-28767-1 , получено 22 октября 2022 г.

[8] Вергараа, А.; Мартинелли, Э.; Уэрта, Р.; Д'Амико, А.; Ди Натале, К. (2011). «Ортогональное разложение хемосенсорных сигналов: распознавание запахов в турбулентной среде» . Процедия Инжиниринг . 25 : 491–494. дои : 10.1016/j.proeng.2011.12.122 . ISSN 1877-7058 .

[9] Гурген, Ф.С.; Чен, CS (1990). «Улучшение речи с помощью коэффициентов Фурье – Бесселя речи и шума» . IEE Proceedings I - Коммуникации, речь и видение . 137 (5): 290. doi : 10.1049/ip-i-2.1990.0040 . ISSN 0956-3776 .

[10] Гопалан, К.; Андерсон, ТР; Капплс, EJ (май 1999 г.). «Сравнение результатов идентификации говорящего с использованием функций, основанных на кепстре и расширении Фурье-Бесселя» . Транзакции IEEE по обработке речи и аудио . 7 (3): 289–294. дои : 10.1109/89.759036 . ISSN 1063-6676 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]