Капитан серии

Ряд Каптейна представляет собой разложение в ряд аналитических функций на области по функции Бесселя первого рода . Ряды Каптейна названы в честь Виллема Каптейна , который впервые изучил такие ряды в 1893 году. Позволять $f$ быть функцией, аналитической в ​​области определения

$D_{a}=\left\{z\in \mathbb {C} :\Omega (z)=\left|{\frac {z\exp {\sqrt {1-z^{2}}}}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right|\leq a\right\}$

с $a<1$. Затем $f$ можно расширить в виде

$f(z)=\alpha _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}J_{n}(nz)\quad (z\in D_{a}),$

где

$\alpha _{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \Theta _{n}(z)f(z)dz.$

Путь интеграции – это граница $D_{a}$. Здесь $\Theta _{0}(z)=1/z$и для $n>0$, $\Theta _{n}(z)$ определяется

$\Theta _{n}(z)={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(n-2k)^{2}(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {nz}{2}}\right)^{2k-n}$

Ряды Каптейна имеют важное значение в физических задачах. Среди других приложений решение $E$ уравнения Кеплера $M=E-e\sin E$ можно выразить через ряд Каптейна:

$E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nM)}{n}}J_{n}(ne).$

Связь между коэффициентами Тейлора и коэффициентами α _n функции

Предположим, что Тейлора ряд $f$ читается как

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.$

Тогда $\alpha _{n}$ коэффициенты в разложении Каптейна $f$ можно определить следующим образом.

${\begin{aligned}\alpha _{0}&=a_{0},\\\alpha _{n}&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(n-2k)^{2}(n-k-1)!}{k!(n/2)^{(n-2k+1)}}}a_{n-2k}\quad (n\geq 1).\end{aligned}}$

Примеры

Каптейн ряд способностей $z$ находит сам Каптейн:

$\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}=n^{2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(n+m-1)!}{(n+2m)^{n+1}\,m!}}J_{n+2m}\{(n+2m)z\}\quad (z\in D_{1}).$

Для $n=1$ отсюда следует (см. также )

$z=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {J_{2k+1}((2k+1)z)}{(2k+1)^{2}}},$

и для $n=2$

$z^{2}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {J_{2k}(2kz)}{k^{2}}}.$

Кроме того, внутри региона $D_{1}$,

${\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{k}(kz).$

См. также

• Серия Шлёмильха