Серия Шлёмильха

Ряд Шлёмильха представляет собой Фурье разложение дважды непрерывно дифференцируемой функции в интервале типа $(0,\pi )$ в терминах функции Бесселя первого рода , названной в честь немецкого математика Оскара Шлёмильха , выведшего ряд в 1857 году. Действительная функция $f(x)$ имеет следующее расширение:

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}J_{0}(nx),$

где

${\begin{aligned}a_{0}&=f(0)+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}uf'(u\sin \theta )\ d\theta \ du,\\a_{n}&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}u\cos nu\ f'(u\sin \theta )\ d\theta \ du.\end{aligned}}$

Примеры

Вот некоторые примеры серий Шлёмильха:

• Нулевые функции в интервале $(0,\pi )$ можно выразить рядом Шлёмильха, $0={\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{0}(nx)$, который невозможно получить с помощью ряда Фурье . Это особенно интересно, поскольку нулевая функция представлена ​​разложением в ряд, в котором не все коэффициенты равны нулю. Ряд сходится только тогда, когда $0<x<\pi$; ряд колеблется в $x=0$ и расходится в $x=\pi$. Эта теорема обобщается так, что $0={\frac {1}{2\Gamma (\nu +1)}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{0}(nx)/(nx/2)^{\nu }$ когда $-1/2<\nu \leq 1/2$ и $0<x<\pi$ а также когда $\nu >1/2$ и $0<x\leq \pi$. Эти свойства были выявлены Нильсом Нильсеном .
• $x={\frac {\pi ^{2}}{4}}-2\sum _{n=1,3,...}^{\infty }{\frac {J_{0}(nx)}{n^{2}}},\quad 0<x<\pi .$
• $x^{2}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}+8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}J_{0}(nx),\quad -\pi <x<\pi .$
• ${\frac {1}{x}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {2}{\sqrt {x^{2}-4m^{2}\pi ^{2}}}}={\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }J_{0}(nx),\quad 2k\pi <x<2(k+1)\pi .$
• Если $(r,z)$ – цилиндрические полярные координаты, то ряд $1+\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nz}J_{0}(nr)$ является решением уравнения Лапласа для $z>0$.

См. также

• Капитан серии