Уравнение Кеплера

Для конкретных применений уравнения Кеплера см. Законы движения планет Кеплера .

Решения уравнения Кеплера для пяти различных эксцентриситетов от 0 до 1

В орбитальной механике уравнение Кеплера связывает различные геометрические свойства орбиты тела, на которое действует центральная сила .

Его вывел Иоганн Кеплер в 1609 году в главе 60 своей «Новой астрономии» . а в книге V своего «Краткого изложения коперниканской астрономии» (1621 г.) Кеплер предложил итерационное решение уравнения. Однако это уравнение и его решение впервые появились в работе Хабаша аль-Хасиба аль-Марвази 9-го века , в которой рассматривались проблемы параллакса. Это уравнение сыграло важную роль в истории как физики, так и математики, особенно классической небесной механики .

Уравнение

Кеплера Уравнение

$M=E-e\sin E$

где $M$ это средняя аномалия , $E$ – эксцентрическая аномалия , и $e$ это эксцентриситет .

«Эксцентрическая аномалия» $E$ полезен для вычисления положения точки, движущейся по кеплеровской орбите. Например, если тело проходит периастр в координатах $x=a(1-e)$, $y=0$, во время $t=t_{0}$, то чтобы узнать положение тела в любой момент времени, сначала вычисляют среднюю аномалию $M$ от времени и среднего движения $n$ по формуле $M=n(t-t_{0})$, затем решите приведенное выше уравнение Кеплера, чтобы получить $E$, затем получите координаты из:

${\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}$

где $a$ — большая полуось , $b$ полуось малая .

Уравнение Кеплера — трансцендентное уравнение , поскольку синус — трансцендентная функция и его нельзя решить относительно $E$ алгебраически . численный анализ и расширение ряда . Для оценки обычно требуется $E$.

Альтернативные формы

Существует несколько форм уравнения Кеплера. Каждая форма связана с определенным типом орбиты. Стандартное уравнение Кеплера используется для эллиптических орбит ( $0\leq e<1$). Гиперболическое уравнение Кеплера используется для гиперболических траекторий ( $e>1$). Радиальное уравнение Кеплера используется для линейных (радиальных) траекторий ( $e=1$). Уравнение Баркера используется для параболических траекторий ( $e=1$).

Когда $e=0$, орбита круговая. Увеличение $e$ приводит к тому, что круг становится эллиптическим. Когда $e=1$, есть четыре возможности:

• параболическая траектория,
• траектория, идущая вперед и назад по отрезку прямой от центра притяжения к точке на некотором расстоянии,
• траектория, входящая или выходящая по бесконечному лучу, исходящему из центра притяжения, скорость которой с увеличением расстояния обращается в ноль
• или траектория вдоль луча, но со скоростью, не обращающейся в ноль с расстоянием.

Значение $e$ значение чуть выше 1 приводит к гиперболической орбите с углом поворота чуть менее 180 градусов. Дальнейшее увеличение уменьшает угол поворота, и по мере $e$ уходит в бесконечность, орбита становится прямой бесконечной длины.

Гиперболическое уравнение Кеплера

Гиперболическое уравнение Кеплера:

$M=e\sinh H-H$

где $H$ – гиперболическая эксцентрическая аномалия. Это уравнение получено путем переопределения M как квадратного корня из -1 умноженного на правую часть эллиптического уравнения:

$M=i\left(E-e\sin E\right)$

(в котором $E$ теперь воображаемый), а затем заменив $E$ к $iH$.

Радиальные уравнения Кеплера

Радиальное уравнение Кеплера для случая, когда у объекта недостаточно энергии для побега:

$t(x)=\pm {\biggr [}\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}{\biggr ]}$

где $t$ пропорциональна времени и $x$ пропорциональна расстоянию от центра притяжения вдоль луча и достигает значения 1 на максимальном расстоянии. Это уравнение получается путем умножения уравнения Кеплера на 1/2 и установления $e$ до 1:

$t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].$

а затем сделать замену

$E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).$

Радиальное уравнение, определяющее, когда у объекта достаточно энергии для побега:

$t(x)=\pm {\biggr [}\sinh ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1+x)}}{\biggr ]}$

Когда энергия равна точно минимальному количеству, необходимому для побега, тогда время просто пропорционально расстоянию в степени 3/2.

Обратная задача

Расчет $M$ за заданное значение $E$ это просто. Однако решение для $E$ когда $M$ данная задача может быть значительно более сложной. не существует Закрытого решения . Решение для $E$ более или менее эквивалентно решению истинной аномалии или разности между истинной аномалией и средней аномалией, которая называется « Уравнением центра ».

Можно написать выражение бесконечного ряда для решения уравнения Кеплера, используя обращение Лагранжа , но этот ряд не сходится для всех комбинаций $e$ и $M$ (см. ниже).

Путаница по поводу разрешимости уравнения Кеплера сохранялась в литературе на протяжении четырех столетий. Сам Кеплер выразил сомнение в возможности найти общее решение:

Я вполне убежден, что оно [уравнение Кеплера] не может быть решено априори из-за различной природы дуги и синуса. Но если я ошибусь и кто-нибудь укажет мне путь, то он будет в моих глазах великим Аполлонием .

— Иоганн Кеплер

Разложение в ряд Фурье (по $M$) использование функций Бесселя

$E=M+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {2}{m}}J_{m}(me)\sin(mM),\quad e\leq 1,\quad M\in [-\pi ,\pi ].$

Что касается $e$, это серия Капитан .

Обратное уравнение Кеплера

Обратное уравнение Кеплера является решением уравнения Кеплера для всех действительных значений $e$:

$E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}$

Оценка этого дает:

$E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}$

Эти ряды можно воспроизвести в системе Mathematica с помощью операции InverseSeries.

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

Эти функции представляют собой простые ряды Маклорена . Такие представления трансцендентных функций в ряды Тейлора считаются определениями этих функций. Следовательно, это решение является формальным определением обратного уравнения Кеплера. Однако, $E$ не является полной функцией $M$ при заданном ненулевом значении $e$. Действительно, производная

$\mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E$

обращается в ноль на бесконечном наборе комплексных чисел, когда $e<1,$ ближайшее к нулю находится в $E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),$ и в этих двух точках

$M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)$

(где обратный cosh считается положительным), и $\mathrm {d} E/\mathrm {d} M$ стремится к бесконечности при этих значениях $M$. Это означает, что радиус сходимости ряда Маклорена равен $\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}$ и ряд не сходится при значениях $M$ больше, чем это. Ряд также можно использовать для гиперболического случая, и в этом случае радиус сходимости равен $\cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.$ Серия "Когда" $e=1$ сходится, когда $M<2\pi$.

Хотя это решение является самым простым в определенном математическом смысле, , для большинства приложений предпочтительнее другие решения. Альтернативно уравнение Кеплера можно решить численно.

Решение для $e\neq 1$ был найден Карлом Штумпффом в 1968 году. но его значение не было признано.

Можно также написать серию Маклорена в $e$. Этот ряд не сходится, если $e$ больше предела Лапласа (около 0,66), независимо от значения $M$ (пока не $M$ кратно 2π ), но сходится для всех $M$ если $e$ меньше предела Лапласа. Коэффициенты в ряду, кроме первого (который просто $M$), зависят от $M$ периодическим образом с периодом 2π .

Обратное радиальное уравнение Кеплера

Обратное радиальное уравнение Кеплера ( $e=1$) для случая, когда объекту не хватает энергии для побега, можно аналогично записать как:

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]$

Оценка этого дает:

$x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}$

Чтобы получить этот результат с помощью Mathematica :

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

Численная аппроксимация обратной задачи

метод Ньютона

Для большинства приложений обратную задачу можно вычислить численно, найдя корень функции:

$f(E)=E-e\sin(E)-M(t)$

Это можно сделать итеративно с помощью метода Ньютона :

$E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}$

Обратите внимание, что $E$ и $M$ в этом расчете выражены в радианах. Эта итерация повторяется до тех пор, пока не будет получена желаемая точность (например, когда $f(E)$ < желаемая точность). Для большинства эллиптических орбит начальное значение $E_{0}=M(t)$ достаточно. Для орбит с $e>0.8$, начальное значение $E_{0}=\pi$ можно использовать. В многочисленных работах были разработаны точные (но и более сложные) предположения о начале. Если $e$ тождественно 1, то производная от $f$, которое находится в знаменателе метода Ньютона, может приближаться к нулю, что делает методы, основанные на производных, такие как Ньютон-Рафсон, секанс или ложное правило, численно нестабильными. В этом случае метод деления пополам обеспечит гарантированную сходимость, тем более что решение может быть ограничено на небольшом начальном интервале. На современных компьютерах можно достичь точности 4–5 знаков за 17–18 итераций. Аналогичный подход можно использовать для гиперболической формы уравнения Кеплера. В случае параболической траектории уравнение Баркера используется .

Итерация с фиксированной точкой

Связанный метод начинается с того, что $E=M+e\sin {E}$. Многократно заменяя выражение справа на $E$ справа дает простой итерационный алгоритм с фиксированной точкой для оценки $E(e,M)$. Этот метод идентичен решению Кеплера 1621 года.

function E(e, M, n)
    E = M
    for k = 1 to n
        E = M + e*sin E
    next k
    return E

Количество итераций, $n$, зависит от значения $e$. Гиперболическая форма аналогично имеет $H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)$.

Этот метод связан с приведенным выше решением метода Ньютона тем, что

$E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}$

Для первого заказа в небольшом количестве $M-E_{n}$ и $e$,

$E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}$.

См. также

• Уравнение центра
• Законы движения планет Кеплера
• проблема Кеплера
• Проблема Кеплера в общей теории относительности
• Радиальная траектория

Внешние ссылки

• Дэнби, Джон М.; Буркардт, Томас М. (1983). «Решение уравнения Кеплера. I». Небесная механика . 31 (2): 95–107. Бибкод : 1983CeMec..31...95D . дои : 10.1007/BF01686811 . S2CID   189832421 .
• Конвей, Брюс А. (1986). «Улучшенный алгоритм Лагерра для решения уравнения Кеплера». 24-е совещание по аэрокосмическим наукам . дои : 10.2514/6.1986-84 .
• Миккола, Сеппо (1987). «Кубическое приближение уравнения Кеплера» (PDF) . Небесная механика . 40 (3): 329–334. Бибкод : 1987CeMec..40..329M . дои : 10.1007/BF01235850 . S2CID   122237945 .
• Ниженхейс, Альберт (1991). «Решение уравнения Кеплера с высокой эффективностью и точностью». Небесная механика и динамическая астрономия . 51 (4): 319–330. Бибкод : 1991CeMDA..51..319N . дои : 10.1007/BF00052925 . S2CID   121845017 .
• Маркли, Ф. Лэндис (1995). «Решатель уравнений Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия . 63 (1): 101–111. Бибкод : 1995CeMDA..63..101M . дои : 10.1007/BF00691917 . S2CID   120405765 .
• Фукусима, Тосио (1996). «Метод решения уравнения Кеплера без вычисления трансцендентных функций». Небесная механика и динамическая астрономия . 66 (3): 309–319. Бибкод : 1996CeMDA..66..309F . дои : 10.1007/BF00049384 . S2CID   120352687 .
• Чарльз, Эдгар Д.; Татум, Джереми Б. (1997). «Сходимость итерации Ньютона-Рафсона с уравнением Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия . 69 (4): 357–372. Бибкод : 1997CeMDA..69..357C . дои : 10.1023/А:1008200607490 . S2CID   118637706 .
• Штумпф, Лаура (1999). «Хаотическое поведение итерационной функции Ньютона, связанной с уравнением Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия . 74 (2): 95–109. Бибкод : 1999CeMDA..74...95S . дои : 10.1023/А:1008339416143 . S2CID   122491746 .
• Паласиос, Мануэль (2002). «Уравнение Кеплера и ускоренный метод Ньютона» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 138 (2): 335–346. Бибкод : 2002JCoAM.138..335P . дои : 10.1016/S0377-0427(01)00369-7 .
• Бойд, Джон П. (2007). «Поиск корня трансцендентного уравнения без первого предположения: полиномиализация уравнения Кеплера с помощью полиномиального уравнения синуса Чебышева». Прикладная численная математика . 57 (1): 12–18. дои : 10.1016/j.apnum.2005.11.010 .
• Пал, Андраш (2009). «Аналитическое решение проблемы Кеплера» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 396 (3): 1737–1742. arXiv : 0904.0324 . Бибкод : 2009MNRAS.396.1737P . дои : 10.1111/j.1365-2966.2009.14853.x .
• Эсмаэльзаде, Реза; Гадири, Хосейн (2014). «Подходящий старт для решения уравнения Кеплера» . Международный журнал компьютерных приложений . 89 (7): 31–38. Бибкод : 2014IJCA...89g..31E . дои : 10.5120/15517-4394 .
• Цехмайстер, Матиас (2018). «CORDIC-подобный метод решения уравнения Кеплера» . Астрономия и астрофизика . 619 : А128. arXiv : 1808.07062 . Бибкод : 2018A&A...619A.128Z . дои : 10.1051/0004-6361/201833162 .

• Уравнение Кеплера в Wolfram Mathworld