Предел Лапласа

В математике — предел Лапласа это максимальное значение эксцентриситета , при котором сходится решение уравнения Кеплера в терминах степенного ряда по эксцентриситету. Это примерно

0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

Уравнение Кеплера M = E - ε sin E связывает среднюю аномалию M с эксцентрической аномалией E для тела, движущегося по эллипсу с эксцентриситетом ε. Это уравнение не может быть решено относительно E в терминах элементарных функций , но теорема обращения Лагранжа дает решение в виде степенного ряда по ε:

$E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots$

или вообще

$E=M\;+\;\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\varepsilon ^{n}}{2^{n-1}\,n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\,{\binom {n}{k}}\,(n-2k)^{n-1}\,\sin((n-2k)\,M)$

Лаплас понял, что этот ряд сходится при малых значениях эксцентриситета, но расходится при любом значении М, от кратного π, если эксцентриситет превышает определенное значение, не зависящее от М. отличном Предел Лапласа и есть это значение. Это радиус сходимости степенного ряда.

Оно дается решением трансцендентного уравнения

${\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1.$

Для предела Лапласа не ни одного выражения в замкнутой форме известно или бесконечного ряда.

История

Лаплас вычислил значение 0,66195 в 1827 году. Итальянский астроном Франческо Карлини нашел предел 0,66 за пять лет до Лапласа. Коши в 1829 году дал точное значение 0,66274.

См. также

• Эксцентриситет орбиты

Ссылки

• Финч, Стивен Р. (2003), «Предельная константа Лапласа», Математические константы , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-81805-6 .
• Моултон, Форест Р. (1914), «V. Проблема двух тел», Введение в небесную механику (2-е изд.), MacMillan .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Предел Лапласа» . Математический мир .
• Последовательность OEIS A033259 (десятичное расширение предельной константы Лапласа)