Предел Лапласа

В математике — предел Лапласа это максимальное значение эксцентриситета, при котором сходится решение уравнения Кеплера в терминах степенного ряда по эксцентриситету. Это примерно

0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

Уравнение Кеплера M = E - ε sin E связывает среднюю аномалию M с эксцентрической аномалией E для тела, движущегося по эллипсу с эксцентриситетом ε. Это уравнение не может быть решено относительно E в терминах элементарных функций , но теорема обращения Лагранжа дает решение в виде степенного ряда по ε:

$E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots$

или вообще

$E=M\;+\;\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\varepsilon ^{n}}{2^{n-1}\,n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\,{\binom {n}{k}}\,(n-2k)^{n-1}\,\sin((n-2k)\,M)$

Лаплас понял, что этот ряд сходится при малых значениях эксцентриситета, но расходится при любом значении М , отличном от кратного π, если эксцентриситет превышает некоторую величину, не зависящую М. от Предел Лапласа и есть это значение. Это радиус сходимости степенного ряда.

Оно дается решением трансцендентного уравнения

${\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1.$

Для предела Лапласа не ни одного выражения в замкнутой форме известно или бесконечного ряда.

История

Лаплас вычислил значение 0,66195 в 1827 году. Итальянский астроном Франческо Карлини нашел предел 0,66 за пять лет до Лапласа. Коши в 1829 году дал точное значение 0,66274.

См. также

• Эксцентриситет орбиты

Ссылки

• Финч, Стивен Р. (2003), «Предельная константа Лапласа», Математические константы , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-81805-6 .
• Моултон, Форест Р. (1914), «V. Проблема двух тел», Введение в небесную механику (2-е изд.), MacMillan .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Предел Лапласа» . Математический мир .
• Последовательность OEIS A033259 (десятичное расширение предельной константы Лапласа)