Трансцендентное уравнение

Джон Гершель , Описание машины для решения путем проверки некоторых важных форм трансцендентных уравнений , 1832 г.

В прикладной математике трансцендентное уравнение — это уравнение над действительными (или комплексными ) числами, которое не является алгебраическим , то есть если хотя бы одна из его сторон описывает трансцендентную функцию . Примеры включают в себя:

${\begin{aligned}x&=e^{-x}\\x&=\cos x\\2^{x}&=x^{2}\end{aligned}}$

Трансцендентное уравнение не обязательно должно быть уравнением между элементарными функциями , хотя большинство опубликованных примеров таковыми являются.

В некоторых случаях трансцендентное уравнение можно решить, превратив его в эквивалентное алгебраическое уравнение.Некоторые из таких преобразований показаны ниже ; Системы компьютерной алгебры могут обеспечивать более сложные преобразования.

Однако в целом можно найти только приближенные решения.

Преобразование в алгебраическое уравнение

Для некоторых классов трансцендентных уравнений с одной переменной существуют специальные методы преобразования их в алгебраические уравнения, которые затем можно решить.

Экспоненциальные уравнения

Если неизвестное, скажем x , встречается только в показателях:

• применение натурального логарифма к обеим частям может дать алгебраическое уравнение, например

$4^{x}=3^{x^{2}-1}\cdot 2^{5x}$ превращается в $x\ln 4=(x^{2}-1)\ln 3+5x\ln 2$, что упрощает $x^{2}\ln 3+x(5\ln 2-\ln 4)-\ln 3=0$, которая имеет решения $x={\frac {-3\ln 2\pm {\sqrt {9(\ln 2)^{2}-4(\ln 3)^{2}}}}{2\ln 3}}.$

Это не сработает, если сложение происходит «по базовой линии», как в $4^{x}=3^{x^{2}-1}+2^{5x}.$

• если все «базовые константы» можно записать в виде целых чисел или рациональных степеней некоторого числа q , то подставив y = q ^х может добиться успеха, например

$2^{x-1}+4^{x-2}-8^{x-2}=0$ преобразует, используя y =2 ^х , к ${\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{16}}y^{2}-{\frac {1}{64}}y^{3}=0$ который имеет решения $y\in \{0,-4,8\}$, следовательно $x=\log _{2}8=3$ это единственное реальное решение.

Это не будет работать, если в экспоненте встречаются квадраты или более высокая степень x или если «базовые константы» не «разделяют» общий q .

• иногда, подставляя y = x e ^х может получить алгебраическое уравнение; после того, как решения для y известны, решения для x можно получить, применив функцию Ламберта W , например:

$x^{2}e^{2x}+2=3xe^{x}$ превращается в $y^{2}+2=3y,$ который имеет решения $y\in \{1,2\},$ следовательно $x\in \{W_{0}(1),W_{0}(2),W_{-1}(1),W_{-1}(2)\}$, где $W_{0}$ и $W_{-1}$ обозначают вещественные ветви многозначных $W$ функция.

Логарифмические уравнения

Если неизвестный x встречается только в аргументах функции логарифма :

• применение возведения в степень к обеим сторонам может привести к алгебраическому уравнению, например

$2\log _{5}(3x-1)-\log _{5}(12x+1)=0$ преобразует, используя возведение в степень для основания $5.$ к ${\frac {(3x-1)^{2}}{12x+1}}=1,$ который имеет решения $x\in \{0,2\}.$ Если рассматривать только действительные числа, $x=0$ не является решением, так как приводит к недействительному подвыражению $\log _{5}(-1)$ в данном уравнении.

Для этого необходимо, чтобы исходное уравнение состояло из линейных комбинаций логарифмов с целочисленными коэффициентами по уникальному основанию, а аргументы логарифмов были полиномами от x .

• если все «вызовы логарифмов» имеют уникальную базу $b$ и уникальное выражение аргумента $f(x),$ затем заменив $y=\log _{b}(f(x))$ может привести к более простому уравнению, например

$5\ln(\sin x^{2})+6=7{\sqrt {\ln(\sin x^{2})+8}}$ трансформируется с помощью $y=\ln(\sin x^{2}),$ к $5y+6=7{\sqrt {y+8}},$ которое является алгебраическим и имеет единственное решение $y={\frac {89}{25}}$. После этого применение обратных операций к уравнению замены дает $x={\sqrt {\arcsin \exp y}}={\sqrt {\arcsin \exp {\frac {89}{25}}}}.$

Тригонометрические уравнения

Если неизвестный x встречается только как аргумент тригонометрических функций :

• применяя тождества Пифагора , тригонометрическую сумму и кратные формулы, аргументы форм $\sin(nx+a),\cos(mx+b),\tan(lx+c),...$ с целым числом $n,m,l,...$ все это может быть преобразовано в аргументы вида, скажем, $\sin x$. После этого, заменив $y=\sin(x)$ дает алгебраическое уравнение, например

$\sin(x+a)=(\cos ^{2}x)-1$ превращается в $(\sin x)(\cos a)+{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}(\sin a)=1-(\sin ^{2}x)-1$, и после замены $y(\cos a)+{\sqrt {1-y^{2}}}(\sin a)=-y^{2}$ что является алгебраическим и можно решить. После этого, применяя $x=2k\pi +\arcsin y$ получает решения.

Гиперболические уравнения

Если неизвестный x встречается только в линейных выражениях внутри аргументов гиперболических функций ,

• разворачивая их, определяя их показательные выражения и подставляя $y=\exp(x)$ дает алгебраическое уравнение, например

$3\cosh x=4+\sinh(2x-6)$ разворачивается до ${\frac {3}{2}}(e^{x}+{\frac {1}{e^{x}}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(e^{x})^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{(e^{x})^{2}}}\right),$ которое превращается в уравнение ${\frac {3}{2}}(y+{\frac {1}{y}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{y^{2}}}\right),$ что является алгебраическим и можно решить. Применение $x=\ln y$ получает решения исходного уравнения.

Примерные решения

Графическое решение sin( x )=ln( x )

Приближенные численные решения трансцендентных уравнений можно найти с помощью численных , аналитических аппроксимаций или графических методов.

Численные методы решения произвольных уравнений называются алгоритмами поиска корней .

В некоторых случаях уравнение можно хорошо аппроксимировать рядом Тейлора вблизи нуля. Например, для $k\approx 1$, решения $\sin x=kx$ примерно такие же, как у $(1-k)x-x^{3}/6=0$, а именно $x=0$ и $x=\pm {\sqrt {6}}{\sqrt {1-k}}$.

Для графического решения один из методов состоит в том, чтобы установить каждую сторону трансцендентного уравнения с одной переменной равной зависимой переменной и построить два графика , используя их точки пересечения для поиска решений (см. Рисунок).

Другие решения

• Некоторые трансцендентные системы уравнений высокого порядка можно решить путем «выделения» неизвестных, сводя их к алгебраическим уравнениям.
• При решении трансцендентных уравнений/неравенств также можно использовать следующее: Если $x_{0}$ является решением уравнения $f(x)=g(x)$ и $f(x)\leq c\leq g(x)$, то это решение должно удовлетворять $f(x_{0})=g(x_{0})=c$. Например, мы хотим решить $\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)$. Данное уравнение определено для $-1<x<3$. Позволять $f(x)=\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)$ и $g(x)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)$. Легко показать, что $f(x)\leq 2$ и $g(x)\geq 2$ поэтому, если существует решение уравнения, оно должно удовлетворять $f(x)=g(x)=2$. От $f(x)=2$ мы получаем $x=1\in (-1,3)$. Действительно, $f(1)=g(1)=2$ и так $x=1$ является единственным реальным решением уравнения.

См. также

• Задача миссис Минивер - Задача о площадях пересекающихся кругов.

Ссылки

• Джон П. Бойд (2014). Решение трансцендентных уравнений: прокси-полином Чебышева и другие числовые средства поиска корней, ряды возмущений и оракулы . Другие названия по прикладной математике. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). дои : 10.1137/1.9781611973525 . ISBN  978-1-61197-351-8 .