Теорема о возвращении Лагранжа

Об обращении рядов см. Теорему об обращении Лагранжа .

В математике теорема обращения Лагранжа дает разложение в ряды или формальные степенные ряды некоторых неявно определенных функций ; действительно, композиций с такими функциями.

Пусть v будет функцией x и y через другую функцию f такую, что

$v=x+yf(v)$

Тогда для любой функции g при достаточно малом y :

$g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right).$

Если g - тождество, это становится

$v=x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}\right)$

В этом случае уравнение можно вывести с помощью теории возмущений .

В 1770 году Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) опубликовал свое решение степенного ряда неявного уравнения для v, упомянутого выше. Однако в его решении использовалось громоздкое разложение логарифмов в ряд. В 1780 году Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) опубликовал более простое доказательство теоремы, основанное на соотношениях между частными производными по переменной x и параметру y. Чарльз Эрмит (1822–1901) представил наиболее прямое доказательство теоремы с помощью контурного интегрирования.

Теорема Лагранжа о обращении используется для получения численного решения уравнения Кеплера .

Простое доказательство

Начнем с того, что напишем:

$g(v)=\int \delta (yf(z)-z+x)g(z)(1-yf'(z))\,dz$

Записав дельта-функцию в виде интеграла, имеем:

${\begin{aligned}g(v)&=\iint \exp(ik[yf(z)-z+x])g(z)(1-yf'(z))\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\iint {\frac {(ikyf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(x-z)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\iint {\frac {(yf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(x-z)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\end{aligned}}$

Тогда интеграл по k дает $\delta (x-z)$ и у нас есть:

${\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}$

Перестановка суммы и ее отмена дает результат:

$g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right)$

Внешние ссылки

• Теорема Лагранжа об инверсии [реверсии] в MathWorld
• Разложение Корниша – Фишера , применение теоремы
• Статья об уравнении времени содержит приложение к уравнению Кеплера.