Теорема обращения Лагранжа

В математическом анализе теорема обращения Лагранжа , также известная как формула Лагранжа-Бюрмана , дает в ряд Тейлора разложение обратной функции аналитической функции . Обращение Лагранжа является частным случаем теоремы об обратной функции .

Заявление

Предположим, что z определяется как функция от w уравнением вида

$z=f(w)$

где f аналитичен в точке a и $f'(a)\neq 0.$ Тогда можно обратить или решить уравнение относительно w , выразив его в виде $w=g(z)$ задан степенным рядом

$g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},$

где

$g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].$

Теорема далее утверждает, что этот ряд имеет ненулевой радиус сходимости, т. е. $g(z)$ представляет собой аналитическую функцию z в окрестности от $z=f(a).$ Это также называется обращением ряда .

Если опустить утверждения об аналитичности, то формула справедлива и для формальных степенных рядов и может быть обобщена различными способами: ее можно сформулировать для функций многих переменных; его можно расширить, чтобы получить готовую формулу для F ( g ( z )) для любой аналитической функции F ; и его можно обобщить на случай $f'(a)=0,$ где обратная g — многозначная функция.

Теорему доказал Лагранж. и обобщен Гансом Генрихом Бюрманом , оба в конце 18 века. Существует простой вывод с использованием комплексного анализа и контурной интеграции ; версия сложного формального степенного ряда является следствием знания формулы для полиномов теорию аналитических функций , поэтому можно применить . На самом деле, механизм аналитической теории функций в этом доказательстве используется только формальным образом, поскольку на самом деле необходимы некоторые свойства формального вычета более прямое формальное доказательство , и доступно .

Если f является формальным степенным рядом, то приведенная выше формула не дает коэффициенты композиционного обратного ряда g непосредственно через коэффициенты ряда f . Если можно выразить функции f и g в формальных степенных рядах как

$f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}$

с f ₀ = 0 и f ₁ ≠ 0 , то явный вид обратных коэффициентов может быть задан через полиномы Белла :

$g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,$

где

${\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ and}}\\n^{\overline {k}}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}$

является возрастающим факториалом .

Когда f ₁ = 1 , последнюю формулу можно интерпретировать в терминах граней ассоциэдров.

$g_{n}=\sum _{F{\text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,$

где $f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}$ для каждого лица $F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}$ ассоциэдра $K_{n}.$

Пример

Например, алгебраическое уравнение степени p

$x^{p}-x+z=0$

можно решить относительно x с помощью формулы обращения Лагранжа для функции f ( x ) = x − x ^п , что приводит к формальному решению ряда

$x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.$

По тестам сходимости этот ряд действительно сходится при $|z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},$ локальный обратный f который также является самым большим диском, в котором может быть определен .

Вывод

Мы можем использовать интегральную теорему Коши:

$f^{-1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{f(C)}{\frac {f^{-1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

и заменить:

$\xi =f(\omega )$

$d\xi =f'(\omega )d\omega$

$f(C)\rightarrow C$

$f^{-1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\omega }{f(\omega )-z}}f'(\omega )d\omega$

используя геометрический ряд:

${\frac {1}{f(\omega )-z}}={\frac {1}{f(\omega )-f(a)-z+f(a)}}={\frac {1}{f(\omega )-f(a)}}{\frac {1}{1-{\frac {z-f(a)}{f(\omega )-f(a)}}}}={\frac {1}{f(\omega )-f(a)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-f(a)}{f(\omega )-f(a)}}\right)^{n}$

$f^{-1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-f(a)}\right)^{n}\oint _{C}{\frac {\omega f'(\omega )}{(f(\omega )-f(a))^{n+1}}}d\omega$

теперь интегрированием по частям: $u=\omega$ и $dv={\frac {f'(\omega )d\omega }{(f(\omega )-f(a))^{n+1}}}$ где $uv={\frac {-1}{n}}{\frac {e^{i\theta }}{(f(e^{i\theta })-f(a))^{n}}}{\Biggl |}_{0}^{2\pi }=0$ мы получаем:

$f^{-1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({z-f(a)})^{n}}{n}}\oint _{C}{\frac {1}{(f(\omega )-f(a))^{n}}}d\omega$

по теореме о вычетах:

$f^{-1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({z-f(a)})^{n}}{n}}\operatorname {Res} ({\frac {1}{(f(\omega )-f(a))^{n}}},w=a)$

окончательно:

$f^{-1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({z-f(a)})^{n}}{n!}}\lim _{\omega \to a}{\frac {d^{n-1}}{d\omega ^{n-1}}}\left({\frac {\omega -a}{f(\omega )-f(a)}}\right)^{n}$

Фактически интегрирование по частям не работает для:

$n=0\rightarrow {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\omega f'(\omega )}{f(\omega )-f(a)}}d\omega ={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{f(C)}{\frac {f^{-1}(u)}{u-f(a)}}du=f^{-1}(f(a))=a$

К счастью, запись интеграла в виде остатка в последней строке решает проблему.

Приложения

Формула Лагранжа-Бюрмана

Существует особый случай теоремы обращения Лагранжа, который используется в комбинаторике и применяется, когда $f(w)=w/\phi (w)$ для некоторой аналитики $\phi (w)$ с $\phi (0)\neq 0.$ Брать $a=0$ чтобы получить $f(a)=f(0)=0.$ Тогда для обратного $g(z)$ (удовлетворительный $f(g(z))\equiv z$), у нас есть

${\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}$

что можно альтернативно записать как

$[z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},$

где $[w^{r}]$ — оператор, извлекающий коэффициент $w^{r}$ в ряду Тейлора функции w .

Обобщение формулы известно как формула Лагранжа – Бюрмана :

$[z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})$

где H — произвольная аналитическая функция.

Иногда производная H ′ ( w ) может быть довольно сложной. В более простой версии формулы H ′ ( w ) заменяется на H ( w )(1 − φ ′ ( w )/ φ ( w )) и получается

$[z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),$

который включает в себя φ ′ ( ш ) вместо ЧАС ′ ( ш ) .

Ламберта W Функция

Основная статья: функция Ламберта W

Функция Ламберта W — это функция $W(z)$ что неявно определяется уравнением

$W(z)e^{W(z)}=z.$

Мы можем использовать эту теорему для вычисления Тейлора ряда $W(z)$ в $z=0.$ Мы берем $f(w)=we^{w}$ и $a=0.$ Признавая, что

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},$

это дает

${\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}$

Радиус сходимости этого ряда равен $e^{-1}$ (дающая главную ветвь функции Ламберта).

Ряд, сходящийся при $|\ln(z)-1|<{4+\pi ^{2}}$ (примерно $2.58\ldots \cdot 10^{-6}<z<2.869\ldots \cdot 10^{6}$) также можно получить путем обращения ряда. Функция $f(z)=W(e^{z})-1$ удовлетворяет уравнению

$1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.$

Затем $z+\ln(1+z)$ можно разложить в степенной ряд и обратить. Это дает ряд для $f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}$

$W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).$

$W(x)$ можно вычислить, заменив $\ln x-1$ для z в приведенном выше ряду. Например, замена −1 на z дает значение $W(1)\approx 0.567143.$

Бинарные деревья

Учитывать набор ${\mathcal {B}}$ немаркированных бинарных деревьев . Элемент ${\mathcal {B}}$ является либо листом нулевого размера, либо корневым узлом с двумя поддеревьями. Обозначим через $B_{n}$ количество бинарных деревьев на $n$ узлы.

Удаление корня разбивает двоичное дерево на два дерева меньшего размера. Это дает функциональное уравнение для производящей функции $\textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}$

$B(z)=1+zB(z)^{2}.$

Сдача в аренду $C(z)=B(z)-1$, у человека есть таким образом $C(z)=z(C(z)+1)^{2}.$ Применяя теорему с $\phi (w)=(w+1)^{2}$ урожайность

$B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.$

Это показывает, что $B_{n}$ — это n- е каталонское число .

Асимптотическая аппроксимация интегралов

В теореме Лапласа-Эрдели, которая дает асимптотическое приближение для интегралов типа Лапласа, обращение функции рассматривается как решающий шаг.

См. также

• Формула Фаа ди Бруно дает коэффициенты композиции двух формальных степенных рядов через коэффициенты этих двух рядов. Эквивалентно, это формула для n- й производной сложной функции.
• Теорема Лагранжа об обращении для другой теоремы, иногда называемой теоремой обращения.
• Формальный степенной ряд # Формула обращения Лагранжа

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бюрмана» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Реверс серии» . Математический мир .
• Серия Бюрмана – Лагранжа в Springer EOM