Предположим, что z определяется как функция от w уравнением вида
где f аналитичен в точке a и Тогда можно обратить или решить уравнение относительно w , выразив его в виде задан степенным рядом [1]
где
Теорема далее утверждает, что этот ряд имеет ненулевой радиус сходимости, т. е. аналитическую функцию от z в окрестности представляет собой Это также называется обращением ряда .
Если опустить утверждения об аналитичности, то формула справедлива и для формальных степенных рядов и может быть обобщена различными способами: ее можно сформулировать для функций многих переменных; его можно расширить, чтобы получить готовую формулу для F ( g ( z )) для любой аналитической функции F ; и его можно обобщить на случай где обратная g — многозначная функция.
Если f является формальным степенным рядом, то приведенная выше формула не дает коэффициенты композиционного обратного ряда g непосредственно через коэффициенты ряда f . Если можно выразить функции f и g в формальных степенных рядах как
с f 0 = 0 и f 1 ≠ 0 , то явный вид обратных коэффициентов может быть задан через полиномы Белла : [7]
можно решить относительно x с помощью формулы обращения Лагранжа для функции f ( x ) = x − x п , что приводит к формальному решению ряда
По тестам сходимости этот ряд действительно сходится при локальный обратный f который также является самым большим диском, в котором может быть определен .
Существует особый случай теоремы обращения Лагранжа, который используется в комбинаторике и применяется, когда для некоторой аналитики с Брать чтобы получить Тогда для обратного (удовлетворительный ), у нас есть
что можно альтернативно записать как
где — оператор, извлекающий коэффициент в ряду Тейлора функции w .
Обобщение формулы известно как формула Лагранжа – Бюрмана :
где H — произвольная аналитическая функция.
Иногда производная H ′ ( w ) может быть довольно сложной. В более простой версии формулы H ′ ( w ) заменяется на H ( w )(1 − φ ′ ( w )/ φ ( w )) и получается
который включает в себя φ ′ ( ш ) вместо ЧАС ′ ( ш ) .
Учитывать [10] набор немаркированных бинарных деревьев . Элемент является либо листом нулевого размера, либо корневым узлом с двумя поддеревьями. Обозначим через количество бинарных деревьев на узлы.
Удаление корня разбивает двоичное дерево на два дерева меньшего размера. Это дает функциональное уравнение для производящей функции
Сдача в аренду , у человека есть таким образом Применяя теорему с урожайность
Формула Фаа ди Бруно дает коэффициенты композиции двух формальных степенных рядов через коэффициенты этих двух рядов. Эквивалентно, это формула для n- й производной сложной функции.
^ Бюрманн, Ганс Генрих, «Essai de Calcul fonctionnaire aux Constantes ad libitum», представленный в 1796 году в Национальный институт Франции. Краткое содержание этой статьи см.: Гинденбург, Карл Фридрих, изд. «Попытка упрощенного анализа; отрывок из отрывка г-на Бюрмана» [Попытка упрощенного анализа; отрывок из сокращения г-на Бюрмана]. чистой и математики прикладной Архив Том 2. Лейпциг, Германия: Schäferischen Buchhandlung. стр. 495–499.
^ Бюрманн, Ганс Генрих, «Формулы развития, возвращения и интеграции», представлено Национальному институту Франции. Рукопись Бюрмана сохранилась в архивах Национальной школы мостов и дорог [Национальной школы мостов и дорог] в Париже. (См. рукопись 1715.)
^ Отчет Жозефа-Луи Лагранжа и Адриена-Мари Лежандра о теореме Бюрмана опубликован в: «Отчет о двух аналитических мемуарах профессора Бурмана», Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques , vol. 2, страницы 13–17 (1799 г.).
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 1F68DDB66850591362BAB7FBBD2B626A__1717436400 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Lagrange inversion theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)