Уравнение времени

Уравнение времени: над осью солнечные часы будут казаться быстрыми по сравнению с часами, показывающими местное среднее время, а под осью солнечные часы будут медленными.

Этот график показывает, на сколько минут часы опережают (+) или отстают (-) от видимого Солнца. См. раздел « Обозначения » ниже.

Уравнение времени описывает несоответствие между двумя видами солнечного времени . Слово уравнение используется в средневековом смысле «примирения различий». Два времени, которые различаются, - это солнечное время , которое непосредственно отслеживает суточное движение Солнца видимое , и среднее солнечное время , которое отслеживает теоретическое среднее Солнце с равномерным движением вдоль небесного экватора . Видимое солнечное время можно получить путем измерения текущего положения ( часового угла ) Солнца, указываемого (с ограниченной точностью) солнечными часами . Среднее солнечное время для одного и того же места будет временем, указываемым постоянными часами, установленными так, чтобы в течение года его отличия от видимого солнечного времени имели среднее значение, равное нулю.

Уравнение времени — это восточная или западная составляющая аналеммы — кривой, представляющей угловое смещение Солнца от его среднего положения на небесной сфере , если смотреть с Земли. Уравнения значений времени для каждого дня года, составленные астрономическими обсерваториями , широко приводились в альманахах и эфемеридах .

Уравнение времени можно аппроксимировать суммой двух синусоид (см. пояснение ниже):

$D=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d)$

$\Delta t_{ey}=-7.659\sin(D)+9.863\sin \left(2D+3.5932\right)$ [минуты]

где $d$ представляет собой количество дней с 1 января текущего года, $y$.

Концепция

Часы со вспомогательным циферблатом, отображающим уравнение времени. Площадь Данте, Неаполь (1853 г.)

В течение года уравнение времени меняется, как показано на графике; его изменение от года к году незначительно. Видимое время и солнечные часы могут опережать (быстрые) на целых 16 минут 33 секунды (около 3 ноября) или отставать (медленные) на целых 14 минут 6 секунд (около 11 февраля). Уравнение времени имеет нули около 15 апреля, 13 июня, 1 сентября и 25 декабря. Если игнорировать очень медленные изменения орбиты и вращения Земли, эти события повторяются в одно и то же время каждый тропический год . Однако из-за нецелого числа дней в году эти даты могут меняться примерно на день от года к году. В качестве примера неточности дат можно привести, согласно Многолетнему интерактивному компьютерному альманаху Военно-морской обсерватории США , уравнение времени было нулевым в 02:00 UT1 16 апреля 2011 года.

График уравнения времени точно аппроксимируется суммой двух синусоид: одной с периодом в год, другой с периодом в полгода. Кривые отражают два астрономических эффекта, каждый из которых вызывает разную неравномерность видимого суточного движения Солнца относительно звезд:

• наклон эклиптики ( плоскости земного годового орбитального движения Земли вокруг Солнца), которая наклонена примерно на 23,44 градуса относительно плоскости экватора ; и
• эксцентриситет . вокруг орбиты Земли Солнца, который составляет около 0,0167

Уравнение времени исчезает только для планеты с нулевым наклоном оси и нулевым эксцентриситетом орбиты. Двумя примерами планет с большими уравнениями времени являются Марс и Уран. На Марсе разница между временем солнечных часов и временем часов может достигать 50 минут из-за значительно большего эксцентриситета его орбиты. Планета Уран , имеющая чрезвычайно большой наклон оси, имеет уравнение времени, благодаря которому ее дни начинаются и заканчиваются на несколько часов раньше или позже, в зависимости от того, где она находится на своей орбите.

Обозначения

Анимация, показывающая уравнение времени и путь аналеммы за один год.

Военно-морская обсерватория США утверждает, что «уравнение времени представляет собой разницу видимого солнечного времени минус среднее солнечное время », то есть, если солнце опережает часы, знак положительный, а если часы опережают солнце, знак отрицательный. . Уравнение времени показано на верхнем графике выше для периода чуть больше года. Нижний график (который охватывает ровно один календарный год) имеет те же абсолютные значения, но знак обратный, поскольку показывает, насколько далеко часы опережают Солнце. Публикации могут использовать любой формат: в англоязычном мире первый вариант более распространен, но соблюдается не всегда. Любой, кто использует опубликованную таблицу или график, должен сначала проверить использование ее знаков. Часто есть примечание или подпись, объясняющая это. В противном случае использование можно определить, зная, что в течение первых трех месяцев каждого года часы опережают солнечные часы. Мнемоническое слово «NYSS» (произносится как «хороший»), означающее «новый год, солнечные часы медленные», может быть полезным. Некоторые опубликованные таблицы позволяют избежать двусмысленности, не используя знаки, а вместо этого показывая такие фразы, как «быстрые солнечные часы» или «медленные солнечные часы».

История

Фраза «уравнение времени» происходит от средневекового латинского aequātiō diērum , что означает «уравнение дней» или «разница дней».Слово aequātiō (и среднеанглийское уравнение ) использовалось в средневековой астрономии для табулирования разницы между наблюдаемым значением и ожидаемым значением (как в уравнении центра, уравнении равноденствий, уравнении эпицикла). Джеральд Дж. Тумер использует средневековый термин «уравнение» от латинского aequātiō (выравнивание или корректировка) для обозначения разницы Птолемея между средним солнечным временем и видимым солнечным временем. Определение уравнения, данное Иоганном Кеплером, — это «разница между количеством градусов и минут средней аномалии и количеством градусов и минут исправленной аномалии».

Разница между видимым солнечным временем и средним временем признавалась астрономами с древности, но до изобретения точных механических часов в середине 17 века единственными надежными часами были солнечные часы , а кажущееся солнечное время было общепринятым стандартом. Среднее время не вытесняло видимое время в национальных альманахах и эфемеридах до начала 19 века.

Ранняя астрономия

Нерегулярное суточное движение Солнца было известно вавилонянам.

Книга III Птолемея « Альмагеста» (2-й век) в первую очередь посвящена солнечной аномалии, и он свел в таблицу уравнение времени в своих «Удобных таблицах» . Птолемей обсуждает поправку, необходимую для преобразования пересечения меридиана Солнца в среднее солнечное время, и принимает во внимание неравномерное движение Солнца вдоль эклиптики и поправку меридиана для эклиптической долготы Солнца. Он утверждает, что максимальная коррекция 8 + 1 ⁄ 3 временных градуса или 5 ⁄ часа (Книга III, глава 9). Однако он не считал этот эффект актуальным для большинства расчетов, поскольку он был незначительным для медленно движущихся светил, и применил его только к самому быстродвижущемуся светилу - Луне.

Судя по обсуждению Птолемея в «Альмагесте» , значения уравнения времени (араб. ta'dīl al-ayyām bilayālayhā ) были стандартными для таблиц ( зидж ) в трудах средневековой исламской астрономии .

Ранний современный период

См. также: Часы по уравнениям.

Описание кажущегося и среднего времени было дано Невилом Маскелином в « Морском альманахе» за 1767 год: «Кажущееся время — это то, что выводится непосредственно по Солнцу, будь то из наблюдения за его прохождением меридиана или из его наблюдаемого восхода или захода . На этот раз отличается от того, что показывают часы, хорошо отлаженные на Земле, и которое называется приравненным или средним временем». Далее он сказал, что в море кажущееся время, полученное при наблюдении Солнца, должно быть скорректировано уравнением времени, если наблюдателю требуется среднее время.

Первоначально правильным временем считалось то, которое показывали солнечные часы. Когда были введены хорошие механические часы, они согласовывались с солнечными часами только около четырех дат в году, поэтому уравнение времени использовалось для «корректировки» их показаний и получения времени по солнечным часам. Некоторые часы, называемые часами уравнений , включали внутренний механизм для выполнения этой «коррекции». Позже, когда часы стали преобладающими хорошими часами, общепринятым стандартом стало неисправленное время на часах, то есть «среднее время». Показания солнечных часов, когда они использовались, тогда и часто до сих пор корректируются с помощью уравнения времени, используемого в обратном направлении, чем раньше, для получения времени на часах. Поэтому на многих солнечных часах выгравированы таблицы или графики уравнения времени, позволяющие пользователю внести эту поправку.

Уравнение времени исторически использовалось для установки часов . Между изобретением точных часов в 1656 году и появлением коммерческих служб распределения времени примерно в 1900 году существовало несколько распространенных наземных способов установки часов. Солнечные часы считывались и корректировались с помощью таблицы или графика уравнения времени. Если был доступен транзитный инструмент, отмечался транзит Солнца через меридиан (момент, когда солнце казалось южным или северным от наблюдателя); затем часы были установлены на полдень и смещены на количество минут, заданное уравнением времени для этой даты. Третий метод не использовал уравнение времени; вместо этого он использовал звездные наблюдения, чтобы определить звездное время , используя взаимосвязь между звездным временем и средним солнечным временем .

Первые таблицы, дающие по существу правильное уравнение времени, были опубликованы в 1665 году Христианом Гюйгенсом . Гюйгенс, следуя традиции Птолемея и средневековых астрономов в целом, установил свои значения уравнения времени так, чтобы все значения были положительными в течение года. Это означало, что любые часы, настроенные на среднее время по таблицам Гюйгенса, постоянно отставали примерно на 15 минут по сравнению со средним временем сегодня.

Другой набор таблиц был опубликован в 1672–1673 годах Джоном Флемстидом , который позже стал первым королевским астрономом новой Королевской Гринвичской обсерватории . По-видимому, это были первые по существу правильные таблицы, которые дали сегодняшнее значение среднего времени (ранее, как отмечалось выше, знак уравнения всегда был положительным и устанавливался равным нулю, когда видимое время восхода солнца было самым ранним по отношению к часам). время восхода солнца). Флемстид принял соглашение о составлении таблиц и обозначении поправок в том смысле, что их нужно было применять к кажущемуся времени, чтобы получить среднее время.

Уравнение времени, правильно основанное на двух основных компонентах неравномерности видимого движения Солнца, не было общепринятым до тех пор, пока таблицы Флемстида 1672–1673 годов не были опубликованы вместе с посмертным изданием работ Иеремии Хоррокса .

Роберт Гук (1635–1703), математически проанализировавший универсальный шарнир , первым заметил, что геометрия и математическое описание (несекулярного) уравнения времени и универсального шарнира идентичны, и предложил использовать универсальный шарнир. совместное создание «механических солнечных часов».

18 и начало 19 веков

Поправки в таблицах Флемстида за 1672–1673 и 1680 годы дали среднее время, рассчитанное по существу правильно и без необходимости дальнейшего смещения. Но числовые значения в таблицах уравнения времени с тех пор несколько изменились благодаря трем факторам:

• Общее улучшение точности, обусловленное усовершенствованием методов астрономических измерений.
• Медленные внутренние изменения в уравнении времени, происходящие в результате небольших долговременных изменений наклона и эксцентриситета Земли (влияющих, например, на расстояние и даты перигелия ) , и
• Включение небольших источников дополнительных изменений в видимом движении Солнца, неизвестных в 17 веке, но открытых начиная с 18 века, включая влияние Луны (см. Барицентр ), Венеры и Юпитера.

Солнечные часы, изготовленные в 1812 году компанией Whitehurst & Son , с круглой шкалой, показывающей уравнение поправки на время. Сейчас это выставлено в музее и художественной галерее Дерби .

С 1767 по 1833 год «Британский морской альманах и астрономические эфемериды» сводили уравнение времени в таблицу в том смысле, что «прибавьте или вычтите (как указано) количество минут и секунд, указанных в кажущемся времени или из него, чтобы получить среднее время». Время в Альманахе указано по солнечному времени, поскольку время на борту корабля чаще всего определялось путем наблюдения за Солнцем. Эта операция будет выполнена в том необычном случае, когда потребуется среднее солнечное время наблюдения. В выпусках с 1834 года все время указывалось по среднему солнечному времени, поскольку к тому времени время на корабле все чаще определялось по морским хронометрам . Следовательно, инструкции заключались в том, чтобы прибавить или вычесть (как указано) указанное количество минут к среднему времени или из него, чтобы получить кажущееся время. Итак, теперь сложение соответствовало положительному уравнению, а вычитание — отрицательному.

Поскольку видимое суточное движение Солнца составляет один оборот в день, то есть 360° за 24 часа, а само Солнце выглядит на небе в виде диска диаметром около 0,5°, показания простых солнечных часов можно считывать с максимальной точностью примерно в один оборот. минута. Поскольку уравнение времени имеет диапазон около 33 минут, разницу между временем солнечных часов и временем часов нельзя игнорировать. В дополнение к уравнению времени необходимо также внести поправки, связанные с расстоянием от меридиана местного часового пояса и летнего времени , если таковое имеется.

Небольшое увеличение среднего солнечного дня из-за замедления вращения Земли примерно на 2 мс в день за столетие, которое в настоящее время накапливается примерно до 1 секунды каждый год, не учитывается в традиционных определениях уравнения время, так как оно незаметно на уровне точности солнечных часов.

Основные компоненты

Эксцентриситет орбиты Земли

Уравнение времени (красная сплошная линия) и два его основных компонента, построенные отдельно: часть из-за наклона эклиптики (лиловая пунктирная линия) и часть из-за изменяющейся видимой скорости Солнца вдоль эклиптики из-за эксцентриситета орбиты Земли. (темно-синяя пунктирная линия)

Земля вращается вокруг Солнца. Если смотреть с Земли, кажется, что Солнце совершает один оборот вокруг Земли через звезды на заднем плане за один год. Если бы Земля вращалась вокруг Солнца с постоянной скоростью по круговой орбите в плоскости, перпендикулярной земной оси, тогда Солнце достигало бы кульминации каждый день точно в одно и то же время и было бы идеальным хранителем времени (за исключением очень небольшого эффекта замедления вращения Земли). Но орбита Земли представляет собой эллипс, не центрированный вокруг Солнца, и ее скорость колеблется от 30,287 до 29,291 км/с, в соответствии с законами движения планет Кеплера , и ее угловая скорость также меняется, и поэтому кажется, что Солнце движется быстрее. (относительно звезд фона) в перигелии (сейчас около 3 января) и медленнее в афелии полгода спустя.

В этих крайних точках этот эффект изменяет видимый солнечный день на 7,9 с/день от его среднего значения. Следовательно, меньшие ежедневные различия в скорости в другие дни накапливаются до этих точек, отражая, как планета ускоряется и замедляется по сравнению со средним значением.

В результате эксцентриситет орбиты Земли приводит к периодическому изменению, которое представляет собой (в первом приближении) синусоидальную волну с:

• амплитуда: 7,66 минут
• срок : один год
• нулевые точки: перигелий (начало января) и афелий (начало июля)
• крайние значения: начало апреля (отрицательное) и начало октября (положительное).

Этот компонент EoT представлен вышеупомянутым фактором a :

$a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))$

Наклон эклиптики

Солнце и планеты в местный видимый полдень (Эклиптика - красный, Солнце и Меркурий - желтый, Венера - белый, Марс - красный, Юпитер - желтый с красным пятном, Сатурн - белый с кольцами).

Даже если бы орбита Земли была круговой, воспринимаемое движение Солнца вдоль нашего небесного экватора все равно не было бы равномерным. Это является следствием наклона оси вращения Земли по отношению к плоскости ее орбиты или, что эквивалентно, наклона эклиптики ( пути, по которой Солнце движется в небесной сфере ) относительно небесного экватора . Проекция этого движения на наш небесный экватор , вдоль которого измеряется «время часов», максимальна в дни солнцестояний , когда годовое движение Солнца параллельно экватору (вызывая усиление воспринимаемой скорости) и приводит главным образом к изменению по прямому восхождению . Это минимум в дни равноденствий , когда видимое движение Солнца более наклонено и приводит к большему изменению склонения , оставляя меньшее количество для компонента прямого восхождения , который является единственным компонентом, влияющим на продолжительность солнечного дня. Практической иллюстрацией наклона является то, что ежедневное смещение тени, отбрасываемой Солнцем в солнечных часах, даже на экваторе меньше вблизи солнцестояний и больше вблизи равноденствий. Если бы этот эффект действовал сам по себе, то продолжительность дней была бы до 24 часов 20,3 секунды (от солнечного полудня до солнечного полудня) вблизи солнцестояний и на целых 20,3 секунды короче, чем 24 часа вблизи равноденствий.

На рисунке справа мы можем видеть месячное изменение видимого наклона плоскости эклиптики в солнечный полдень, если смотреть с Земли. Это изменение связано с очевидной прецессией вращения Земли в течение года, если смотреть с Солнца в солнечный полдень.

С точки зрения уравнения времени, наклон эклиптики приводит к вкладу синусоидального изменения с:

• амплитуда: 9,87 минут
• период: 1/2 года
• нулевые точки: равноденствия и солнцестояния
• крайние значения: начало февраля и августа (отрицательные) и начало мая и ноября (положительные).

Этот компонент EoT представлен вышеупомянутым фактором «b»:

$b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))+3.5932\right)$

Светские эффекты

Два вышеупомянутых фактора имеют разные длины волн, амплитуды и фазы, поэтому их совокупный вклад представляет собой нерегулярную волну. В эпоху 2000 года это значения (в минутах и ​​секундах с датами UT ):

Точка	Ценить	Дата
минимум	−14 мин 15 с	11 февраля
ноль	0 мин 0 0 сек	15 апреля
максимум	+3 мин 41 с	14 мая
ноль	0 мин 0 0 сек	13 июня
минимум	−6 мин 30 с	26 июля
ноль	0 мин 0 0 сек	1 сентября
максимум	+16 мин 25 с	3 ноября
ноль	0 мин 0 0 сек	25 декабря

ET = кажущийся − средний. Положительное означает: Солнце движется быстро и достигает кульминации раньше, или солнечные часы опережают среднее время. Небольшие годовые колебания происходят из-за наличия високосных лет, которые сбрасываются каждые 4 года. Точная форма уравнения кривой времени и связанной с ним аналеммы медленно меняются на протяжении веков из-за вековых изменений как эксцентриситета, так и наклона. В настоящий момент оба медленно уменьшаются, но они увеличиваются и уменьшаются в течение сотен тысяч лет.

В более коротких временных масштабах (тысячи лет) более важными будут сдвиги дат равноденствия и перигелия. Первый вызван прецессией и сдвигает точку равноденствия назад по сравнению со звездами. Но в нынешней дискуссии его можно игнорировать, поскольку наш григорианский календарь построен таким образом, чтобы сохранять дату весеннего равноденствия 20 марта (по крайней мере, с достаточной точностью для нашей цели). Смещение перигелия происходит вперед примерно на 1,7 дня в столетии. В 1246 году перигелий произошел 22 декабря, в день солнцестояния, поэтому две способствующие волны имели общие нулевые точки, а уравнение временной кривой было симметричным: в «Астрономических алгоритмах» Меус приводит февральские и ноябрьские экстремумы по 15 м 39 с, а майские и ноябрьские. Июльские 4 м 58 с. До этого февральский минимум был больше ноябрьского максимума, а майский максимум больше июльского минимума. Фактически, в годы до -1900 (1901 г. до н. э.) майский максимум был больше ноябрьского максимума. В -2000 году (2001 г. до н. э.) майский максимум составлял +12 минут и пару секунд, а ноябрьский максимум составлял чуть менее 10 минут. Вековые изменения очевидны, если сравнить современный график уравнения времени (см. ниже) с графиком, построенным 2000 лет назад, например, построенным на основе данных Птолемея.

Практическое использование

Если гномон (объект, отбрасывающий тень) является не краем, а точкой (например, отверстием в тарелке), тень (или пятно света) будет очерчивать кривую в течение дня. Если тень отбрасывается на плоскую поверхность, то эта кривая будет представлять собой коническое сечение (обычно гиперболу), поскольку окружность движения Солнца вместе с точкой гномона образуют конус. В дни весеннего и осеннего равноденствия конус вырождается в плоскость, а гипербола — в линию. Используя разные гиперболы для каждого дня, на каждой гиперболе можно поставить часовые отметки, включающие все необходимые поправки. К сожалению, каждая гипербола соответствует двум разным дням, по одному в каждом полугодии, и эти два дня потребуют разных поправок. Удобный компромисс — провести линию «среднего времени» и добавить кривую, показывающую точное положение точек тени в полдень в течение года. Эта кривая примет форму восьмерки и известна как аналемма . Сравнивая аналемму со средней линией полудня, можно определить величину поправки, которая обычно применяется в этот день.

Уравнение времени используется не только в солнечных часах и подобных устройствах, но и во многих применениях солнечной энергии . Машины, такие как солнечные трекеры и гелиостаты, должны двигаться в соответствии с уравнением времени.

Гражданское время — это местное среднее время для меридиана, который часто проходит вблизи центра часового пояса и может быть дополнительно изменен при переходе на летнее время . Когда необходимо найти видимое солнечное время, соответствующее данному гражданскому времени, необходимо учитывать разницу в долготе между интересующим местом и меридианом часового пояса, летнее время и уравнение времени.

Расчет

Уравнение времени получается из опубликованной таблицы или графика. Для дат в прошлом такие таблицы составляются на основе исторических измерений или путем расчетов; для будущих дат, конечно, таблицы можно только рассчитать. В таких устройствах, как гелиостаты с компьютерным управлением, компьютер часто запрограммирован на расчет уравнения времени. Расчет может быть численным или аналитическим. Первые основаны на численном интегрировании дифференциальных уравнений движения, включая все существенные гравитационные и релятивистские эффекты. Результаты имеют точность менее 1 секунды и являются основой для современных данных альманаха. Последние основаны на решении, включающем только гравитационное взаимодействие между Солнцем и Землей, более простом, чем первое, но не столь точном. Его точность можно повысить, включив небольшие поправки.

Следующее обсуждение описывает достаточно точный (согласующийся с данными альманаха с точностью до 3 секунд в широком диапазоне лет) алгоритм уравнения времени, который хорошо известен астрономам. Он также показывает, как получить простую приблизительную формулу (с точностью до 1 минуты на большом интервале времени), которую можно легко вычислить с помощью калькулятора, и дает простое объяснение явления, которое использовалось ранее в этой статье.

Математическое описание

Точное определение уравнения времени таково:

$\mathrm {EOT} =\mathrm {GHA} -\mathrm {GMHA}$

Величины, входящие в это уравнение:

• EOT, разница во времени между видимым солнечным временем и средним солнечным временем ;
• ГСГ, гринвичский часовой угол видимого (фактического) Солнца;
• GMHA = Всемирное время — смещение, средний часовой угол среднего (фиктивного) Солнца по Гринвичу.

Здесь время и угол — это величины, связанные такими факторами, как: 2 π радиан = 360° = 1 день = 24 часа. Разница, EOT, измерима, поскольку GHA — это угол, который можно измерить, а Всемирное время , UT, — это шкала измерения времени. Смещение на π = 180° = 12 часов от UT необходимо, поскольку UT равно нулю в среднюю полночь, а GMHA = 0 в средний полдень. Всемирное время прерывисто в среднем в полночь, поэтому требуется другое количество дней N для формирования непрерывного количества времени t , целое число : t = N + ⁠ UT / 24 часа ⁠ дней . И ГСГ, и ГМХА, как и все физические углы, имеют математический, но не физический разрыв в соответствующем (кажущемся и среднем) полудне. Несмотря на математические разрывы его компонентов, EOT определяется как непрерывная функция путем добавления (или вычитания) 24 часов в небольшом временном интервале между разрывами в GHA и GMHA.

Согласно определениям углов на небесной сфере ГСГ = ГАСТ − α (см. часовой угол )
где:

• GAST — это видимое звездное время по Гринвичу (угол между видимым точкой весеннего равноденствия и меридианом в плоскости экватора). Это известная функция UT.
• α — прямое восхождение видимого Солнца (угол между видимым местом весеннего равноденствия и реальным Солнцем в плоскости экватора).

Подставив в уравнение времени, получим:

$\mathrm {EOT} =\mathrm {GAST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset}$

Как и в приведенной выше формуле для ГСГ, можно записать GMHA = GAST − α _M , где последний член — это прямое восхождение среднего Солнца. Уравнение часто записывается в этих терминах как

$\mathrm {EOT} =\alpha _{M}-\alpha$

где α _M = GAST − UT + смещение . В этой формулировке измерение или расчет EOT в определенный момент времени зависит от измерения или расчета α в этот момент. И α , и α _M изменяются от 0 до 24 часов в течение года. Первый имеет разрыв в момент времени, зависящий от значения UT, а второй — в несколько более позднее время. Как следствие, при таком расчете EOT имеет два искусственных разрыва. Их обоих можно удалить, вычитая 24 часа из значения EOT в небольшом временном интервале после разрыва в α и перед разрывом в α _M . Результирующее EOT является непрерывной функцией времени.

Другое определение, обозначенное E, чтобы отличить его от EOT, звучит так:

$E=\mathrm {GMST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset}$

Здесь GMST = GAST − eqeq — среднее звездное время по Гринвичу (угол между средней точкой весеннего равноденствия и средним Солнцем в плоскости экватора). Следовательно, GMST — это приближение к GAST (а E — приближение к EOT); eqeq называется уравнением равноденствий и возникает из-за колебания или нутации оси вращения Земли вокруг ее прецессионного движения. Поскольку амплитуда нутационного движения составляет всего около 1,2 с (18 дюймов долготы), разницу между EOT и E можно игнорировать, если только вас не интересует субсекундная точность.

Третье определение, обозначенное Δt , чтобы отличить его от EOT и E , и теперь называемое уравнением эфемеридного времени. (до различия, которое сейчас проводится между EOT, E и Δt , последнее было известно как уравнение времени)

$\Delta t=\Lambda -\alpha$

здесь Λ — эклиптическая долгота среднего Солнца (угол от среднего весеннего равноденствия до среднего Солнца в плоскости эклиптики ) .

Разница Λ - (GMST - UT + смещение) составляет 1,3 с с 1960 по 2040 год. Следовательно, в этом ограниченном диапазоне лет Δ t является аппроксимацией EOT, ошибка которой находится в диапазоне от 0,1 до 2,5 с в зависимости от поправки на долготу в уравнение равноденствий; для многих целей, например для корректировки солнечных часов, этой точности более чем достаточно.

Расчет прямого восхождения

Прямое восхождение и, следовательно, уравнение времени можно вычислить на основе теории небесного движения двух тел Ньютона, в которой тела (Земля и Солнце) описывают эллиптические орбиты вокруг своего общего центра масс. Используя эту теорию, уравнение времени принимает вид:

$\Delta t=M+\lambda _{p}-\alpha$

где появляются новые углы:

• М = ⁠ 2π( t − t _p ) / t _Y ⁠ , — средняя аномалия , угол от перицентра эллиптической орбиты до среднего Солнца; его диапазон составляет от 0 до 2 π при t увеличении от t _p до t _p + t _Y ;
• t _Y = 365,259 . 6358 дней — продолжительность аномального года : интервал времени между двумя последовательными прохождениями периапсиса;
• λ _p = Λ − M – эклиптическая долгота периапсиса;
• t — динамическое время , независимая переменная в теории. Здесь оно считается идентичным непрерывному времени, основанному на UT (см. выше), но при более точных расчетах ( E или EOT) необходимо учитывать небольшую разницу между ними. а также различие между UT1 и UTC.
• t _p — значение t в перицентре.

Для завершения расчета необходимы три дополнительных угла:

• E Солнца — эксцентрическая аномалия (обратите внимание, что она отличается от M );
• ν Солнца — истинная аномалия ;
• λ = ν + λ _p , истинная долгота Солнца на эклиптике.

Небесная сфера и эллиптическая орбита Солнца, как их видит геоцентрический наблюдатель, смотрящий перпендикулярно эклиптике, показывая 6 углов ( M , λ _p , α , ν , λ , E ), необходимых для расчета уравнения времени. Для наглядности чертежи не в масштабе.

Все эти углы показаны на рисунке справа, где показаны небесная сфера Солнца и эллиптическая орбита , видимая с Земли (такая же, как орбита Земли, видимая с Солнца). На этом рисунке ε — это наклон , а e знак равно √ 1 - ( b / a ) ² - эксцентриситет эллипса.

Теперь, зная значение 0 ≤ M ≤ 2π , можно вычислить α ( M ) с помощью следующей известной процедуры:

Сначала, учитывая M , вычислите E из уравнения Кеплера :

$M=E-e\sin {E}$

Хотя это уравнение не может быть решено точно в замкнутой форме, значения E ( M ) могут быть получены из бесконечных (степенных или тригонометрических) рядов, графическими или численными методами. В качестве альтернативы обратите внимание, что для e = 0 , E = M и путем итерации:

$E\approx M+e\sin {M}$

Это приближение можно улучшить для малых e повторной итерацией:

$E\approx M+e\sin {M}+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin {2M}$,

и продолжающаяся итерация дает последовательно члены более высокого порядка разложения степенного ряда по e . Для малых значений e (намного меньше 1) два или три члена ряда дают хорошее приближение для E ; чем меньше e , тем лучше приближение.

Затем, зная E , вычислите истинную аномалию ν из соотношения эллиптической орбиты

$\nu =2\arctan \left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\tfrac {1}{2}}E\right)$

Правильная ветвь многозначной функции arctan x — это та, которая делает ν непрерывной функцией от E ( M ), начиная с ν _{E =0} = 0 . Таким образом, для 0 ≤ E < π используйте arctan x = arctan x , а для π < E ≤ 2π используйте arctan x = arctan x + π . При конкретном значении E = π, которого аргумент tan бесконечен, используйте ν = E. для Здесь arctan x — главная ветвь, | арктан х | < ⁠ π / 2 ⁠ ; функция, возвращаемая калькуляторами и компьютерными приложениями. Альтернативно, эту функцию можно выразить через ряд Тейлора по e , первые три члена которого таковы:

$\nu \approx E+e\sin {E}+{\frac {1}{4}}e^{2}\sin {2E}$.

Для малых e это приближение (или даже только первые два члена) является хорошим. Сочетание приближения для E ( M ) с приближением для ν ( E ) дает:

$\nu \approx M+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}$.

Отношение ν ( M ) называется уравнением центра ; написанное здесь выражение является аппроксимацией второго порядка по e . Для небольшого значения e , которое характеризует орбиту Земли, это дает очень хорошее приближение для ν ( M ) .

Далее, зная ν , вычислите λ из его определения:

$\lambda =\nu +\lambda _{p}$

Значение λ изменяется нелинейно в зависимости от M , поскольку орбита эллиптическая, а не круговая. Из приближения для ν :

$\lambda \approx M+\lambda _{p}+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}$.

Наконец, зная λ, вычислите α из соотношения для прямоугольного треугольника на небесной сфере, показанного выше.

$\alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)$

Обратите внимание, что квадрант α такой же, как и квадрант λ , поэтому уменьшите λ до диапазона от 0 до 2 π и напишите

$\alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }+k\pi \right)$,

где k равно 0, если λ находится в квадранте 1, оно равно 1, если λ находится в квадранте 2 или 3, и равно 2, если λ находится в квадранте 4. Для значений, при которых tan бесконечно, α = λ .

Хотя приблизительные значения α можно получить из усеченных рядов Тейлора, как и для ν , более эффективно использовать уравнение

$\alpha =\lambda -\arcsin \left(y\sin \left(\alpha +\lambda \right)\right)$

где y = загар ² ( ⁠ ε / 2 ⁠ ) . Обратите внимание, что для ε = y = 0 , α = λ и двойной итерации:

$\alpha \approx \lambda -y\sin {2\lambda }+{\frac {1}{2}}y^{2}\sin {4\lambda }$.

Окончательный расчет

Уравнение времени получается подстановкой результата вычисления прямого восхождения в формулу уравнения времени. Здесь Δ t ( M ) = M + λ _p − α [ λ ( M )] используется ; отчасти потому, что небольшие поправки (порядка 1 секунды), которые оправдывали бы использование E , не включены, а отчасти потому, что цель состоит в том, чтобы получить простое аналитическое выражение. Использование двухчленных приближений для λ ( M ) и α ( λ ) позволяет Δ t записать как явное выражение двух членов, которое обозначается Δ t _ey , поскольку это приближение первого порядка по e и по y .

1) $\Delta t_{ey}=-2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7.659\sin {M}+9.863\sin \left(2M+3.5932\right)$ минуты

Это уравнение было впервые получено Милном. который написал это в терминах λ = M + λ _p . Численные значения, записанные здесь, являются результатом использования значений орбитальных параметров e = 0,016 709 , ε = 23,4393 ° = 0,409 093 радиан и λ _p = 282,9381 ° = 4,938 201 радиан, которые соответствуют эпохе 1 января 2000 года в 12 часов дня UT1 . При вычислении численного выражения для Δ t _ey , как указано выше, калькулятор должен находиться в радианном режиме, чтобы получить правильные значения, поскольку значение 2 λ _p − 2π в аргументе второго члена записано там в радианах. Также можно записать приближения более высокого порядка: но у них обязательно больше терминов. Например, аппроксимация второго порядка как по e, так и по y состоит из пяти членов

2) $\Delta t_{e^{2}y^{2}}=\Delta t_{ey}-{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+4ey\sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{p}\right)$

Это приближение имеет потенциал высокой точности, однако, чтобы достичь его в широком диапазоне лет, параметры e , ε и λ _{p менялись со временем.} необходимо допустить, чтобы Это создает дополнительные вычислительные сложности. Были предложены и другие приближения, например Δ t _e которое использует уравнение центра первого порядка, но не другое приближение для определения α и Δ t _{e ²} которое использует уравнение центра второго порядка.

Переменная времени M может быть записана либо через n , количество дней после перигелия, либо через D , количество дней после определенной даты и времени (эпохи):

3) $M={\frac {2\pi }{t_{Y}}}n$ дни $=M_{D}+{\frac {2\pi }{t_{Y}}}D$ дни $=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D$

4) $M=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D$

Кривые Δt Многолетнего и Δtey в _вместе с символами, обозначающими ежедневные значения в полдень (с 10-дневными интервалами), полученные из интерактивного компьютерного альманаха, зависимости от d (дня) за 2000 год.

Производная −Δt. Ось справа показывает продолжительность солнечного дня .

Здесь M _D — значение M на выбранную дату и время. Для приведенных здесь значений в радианах M _D — это значение, измеренное для реального Солнца в эпоху 1 января 2000 года в 12 часов дня UT1, а D — это количество дней после этой эпохи. В перицентре M = 2π , поэтому решение дает D = D _p = 2,508 109 . Таким образом, перицентр приходится на 4 января 2000 г. в 00:11:41, тогда как фактический перицентр, согласно результатам Многолетнего интерактивного компьютерного альманаха, равен 00:11:41. (сокращенно MICA), 3 января 2000 г., 05:17:30. Такое большое расхождение происходит потому, что разница между радиусами орбит в двух местах составляет всего 1 часть на миллион; другими словами, радиус является очень слабой функцией времени вблизи перицентра. На практике это означает, что невозможно получить высокоточный результат для уравнения времени, используя n и добавляя фактическую дату перицентра для данного года. используя формулировку в терминах D. Однако высокой точности можно достичь ,

Когда D > D _p , M больше 2 π , и из него необходимо вычесть кратное 2 π (это зависит от года), чтобы привести его в диапазон от 0 до 2 π . Аналогично для лет до 2000 года необходимо добавить кратные 2 π . Например, в 2010 году D варьируется от 3653 1 января в полдень до 4017 в полдень 31 декабря; соответствующие значения M составляют 69,078  9468 и 75,340  4748 и уменьшаются до диапазона от 0 до 2 π путем вычитания 10 и 11 раз по 2 π соответственно.

Всегда можно написать:

5) Д = н _Y + d

где:

• n _Y = количество дней от эпохи до полудня 1 января желаемого года
• 0 ≤ d ≤ 364 (365, если расчет ведется для високосного года).

Итоговое уравнение для лет после 2000 года, записанное как сумма двух слагаемых, учитывая 1), 4) и 5), имеет вид:

$a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))$

$b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))+3.5932\right)$

6) $\Delta t_{ey}=a+b$ [минуты]

В текстовом формате:

7) EoT = -7,659sin(6,24004077 + 0,01720197(365*(y-2000) + d)) + 9,863sin(2 (6,24004077) + 0,01720197 (d500)20+3(y)

Термин «а» представляет вклад эксцентриситета, термин «b» представляет вклад наклона.

Результат вычислений обычно представляют либо в виде набора табличных значений, либо в виде графика уравнения времени как функции d . сравнение графиков , Δt Δtey и На _{результатов MICA за 2000 год} рисунке показано . Видно, что график Δ t _ey близок к результатам MICA, абсолютная ошибка Err = | Δ t _ey − MICA2000 | , составляет менее 1 минуты в течение года; его наибольшее значение составляет 43,2 секунды и приходится на 276 день (3 октября). График Δt . неотличим от результатов MICA, наибольшая абсолютная ошибка между ними составляет 2,46 с на 324-й день (20 ноября)

Непрерывность

Для выбора подходящей ветви отношения арктангенс относительно непрерывности функции полезна модифицированная версия функции арктангенс. Он приносит предыдущие знания об ожидаемом значении параметра. Модифицированная функция арктангенса определяется как:

$\arctan _{\eta }x=\arctan x+\pi \operatorname {round} {\left({\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}\right)}$.

Он дает значение, максимально близкое к η . Функция round округляет до ближайшего целого числа.

Применение этого дает:

$\Delta t(M)=M+\lambda _{p}-\arctan _{M+\lambda _{p}}\left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)$.

Параметр M + λ _p здесь предназначен для установки Δ t в ближайшее нулевое значение, которое является желаемым.

Светские перемены

Разницу между результатами MICA и Δt проверяли каждые 5 лет в интервале от 1960 до 2040 г. В каждом случае максимальная абсолютная ошибка составляла менее 3 с; наибольшая разница - 2,91 с - произошла 22 мая 1965 г. (141-й день). Однако для достижения такого уровня точности в этом диапазоне лет необходимо учитывать вековое изменение параметров орбиты со временем. Уравнения, описывающие это изменение:

${\begin{aligned}e&=1.6709\times 10^{-2}-4.193\times 10^{-5}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-1.26\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{3}{\mbox{ degrees}}\\\lambda _{\mathrm {p} }&=282.938\,07+1.7195\left({\frac {D}{36\,525}}\right)+3.025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ degrees}}\end{aligned}}$

Согласно этим соотношениям, за 100 лет ( D = 36 525 ) λ _p увеличивается примерно на 0,5% (1,7°), e уменьшается примерно на 0,25%, а ε уменьшается примерно на 0,05%.

В результате количество вычислений, необходимых для любого из приближений высшего порядка уравнения времени, требует, чтобы компьютер выполнил их, если кто-то хочет достичь присущей им точности в широком диапазоне времени. не сложнее В этом случае оценить Δt , с помощью компьютера чем любую из ее аппроксимаций.

При этом отметим, что Δ t _ey, как написано выше, легко оценить даже с помощью калькулятора, она достаточно точна (лучше 1 минуты в 80-летнем диапазоне) для корректировки солнечных часов и имеет хорошее физическое объяснение как сумма два термина, один из-за наклона, а другой из-за эксцентриситета, который использовался ранее в статье. Это неверно ни для Δt , рассматриваемой как функция M , ни для любого из ее приближений более высокого порядка.

Альтернативный расчет

Еще одну процедуру расчета уравнения времени можно осуществить следующим образом. Углы указаны в градусах; применяется обычный порядок операций .

п = ⁠ 360° / 365,24 дня, ⁠

где n — средняя угловая орбитальная скорость Земли в градусах в день, также известная как «среднее суточное движение» .

$A=\left(D+9\right)n$

где D — дата, исчисляемая в днях, начиная с 1 января (т. е. дни, составляющие порядковую дату в году). 9 — примерное количество дней от декабрьского солнцестояния до 31 декабря. A на который Земля могла бы двигаться по своей орбите со средней скоростью от декабрьского солнцестояния до настоящего времени D. — это угол ,

$B=A+0.0167\cdot {\frac {360^{\circ }}{\pi }}\sin \left(\left(D-3\right)n\right)$

B — угол, на который Земля перемещается от точки солнцестояния до даты D , включая поправку первого порядка на эксцентриситет орбиты Земли, 0,0167. Земли Число 3 — это примерное количество дней с 31 декабря до текущей даты перигелия . Это выражение для B можно упростить, объединив константы:

$B=A+1.914^{\circ }\cdot \sin \left(\left(D-3\right)n\right)$.

$C={\frac {A-\arctan {\frac {\tan B}{\cos 23.44^{\circ }}}}{180^{\circ }}}$

Здесь C — это разница между углом, перемещаемым на средней скорости, и углом скорректированной скорости, проецируемым на экваториальную плоскость и разделенным на 180 °, чтобы получить разницу в « полуоборотах ». Величина 23,44° — это наклон земной оси («наклон») . Вычитание придает условный знак уравнению времени. Для любого заданного значения x ( арктан x иногда записываемый как tan ⁻¹ x ) имеет несколько значений, отличающихся друг от друга целым числом полувитков. Значение, полученное калькулятором или компьютером, может не подходить для данного расчета. Это может привести к ошибке C на целое число полуоборотов. Лишние полувитки удаляются на следующем этапе расчета, чтобы получить уравнение времени:

$\mathrm {EOT} =720\left(C-\operatorname {nint} {C}\right)$ минуты

Выражение nint( C ) означает целое число ближайшее к C . На компьютере его можно запрограммировать, например, как ИНТ(С + 0,5) . Его значение равно 0, 1 или 2 в разное время года. После его вычитания остается небольшое положительное или отрицательное дробное число полуоборотов, которое умножается на 720, количество минут (12 часов), за которое Земля совершает оборот на полоборота относительно Солнца, чтобы получить уравнение времени.

По сравнению с опубликованными значениями, ошибка этого расчета составляет среднеквадратическая всего 3,7 с. Наибольшая погрешность составляет 6,0 с. Это гораздо точнее, чем приближение, описанное выше, но не так точно, как сложный расчет.

Солнечное склонение

Основные статьи: Склонение и положение Солнца

Значение B в приведенном выше расчете является точным значением эклиптической долготы Солнца (сдвинутой на 90 °), поэтому солнечное склонение δ становится легко доступным:

$\delta =-\arcsin \left(\sin 23.44^{\circ }\cdot \cos B\right)$

с точностью до долей градуса.

См. также

• Азимут – горизонтальный угол с севера или другого основного направления.
• Циклы Миланковича – Глобальные климатические циклы

Ссылки

• Хеляр, АГ «Сан Дейта» . Архивировано из оригинала 11 января 2004 года.
• Миус, Дж. (1997). Кусочки математической астрономии . Ричмонд, Вирджиния: Уиллман-Белл.
• Маккарти, Деннис Д .; Зайдельманн, П. Кеннет (2009). ВРЕМЯ От вращения Земли до атомной физики . Вайнхайм: Wiley VCH. ISBN  978-3-527-40780-4 .

Внешние ссылки

• Солнечный калькулятор NOAA
• «Службы данных USNO» . Архивировано из оригинала 29 мая 2014 года. (включая время восхода/захода/транзита Солнца и других небесных объектов).
• Уравнение времени, описанное на Королевской Гринвичской обсерватории. веб-сайте
• Уравнение времени и аналемма , Кирон Тейлор
• Статья Брайана Танга, содержащая ссылку на программу C, использующую более точную формулу, чем большинство других (особенно при больших наклонах и эксцентриситетах). Программа может рассчитать склонение Солнца, уравнение времени или аналемму.
• Выполнение расчетов с использованием геоцентрических планетарных моделей Птолемея с обсуждением его инопланетного графика.
• Длинные часы «Уравнение времени», Джон Топпинг C.1720
• Таблица коррекции времени. Страница, описывающая, как корректировать часы по солнечным часам.
• Солнечный темпометр : рассчитайте солнечное время, включая уравнение времени.