Тропический год

Тропический год или солнечный год (или тропический период ) — это время, которое требуется Солнцу, чтобы вернуться в то же положение на небе — если смотреть с Земли или другого небесного тела Солнечной системы — таким образом завершается полный цикл астрономических сезонов. . Например, это время от весеннего равноденствия до следующего весеннего равноденствия или от летнего солнцестояния до следующего летнего солнцестояния. Это тип года, используемый в тропических солнечных календарях .

Тропический год — это один из типов астрономического года и особого орбитального периода . Другой тип - это сидерический год (или сидерический орбитальный период), который представляет собой время, необходимое Земле для завершения одного полного оборота вокруг Солнца, измеренного относительно неподвижных звезд , в результате чего его продолжительность на 20 минут больше, чем тропический год. из-за прецессии равноденствий .

Начиная с древности астрономы постепенно уточняли определение тропического года. Запись «год тропический» в онлайн-глоссарии Астрономического альманаха гласит:

период времени, в течение которого эклиптическая долгота Солнца увеличивается на 360 градусов . Поскольку эклиптическая долгота Солнца измеряется относительно точки равноденствия, тропический год представляет собой полный цикл сезонов, а его длина в долгосрочной перспективе аппроксимируется гражданским (григорианским) календарем. Средняя продолжительность тропического года составляет примерно 365 дней 5 часов 48 минут 45 секунд.

Эквивалентное, более описательное определение таково: «Естественной основой для расчета проходящих тропических лет является средняя долгота Солнца, отсчитываемая от прецессионно движущегося равноденствия (динамического равноденствия или равноденствия даты). Всякий раз, когда долгота достигает кратного 360 градусов, означает, что Солнце пересекает точку весеннего равноденствия и начинается новый тропический год».

Средний тропический год в 2000 году составлял 365,24219 эфемеридных дней , причем каждый эфемеридный день длился 86 400 секунд СИ. Это 365,24217 средних солнечных дней . По этой причине календарный год является приближением солнечного года: григорианский календарь (с его правилами для догоняющих високосных дней ) разработан таким образом, чтобы через регулярные промежутки времени повторно синхронизировать календарный год с солнечным годом.

История

Источник

Слово «тропический» происходит от греческого tropikos , что означает «поворот». Таким образом, тропики Рака и Козерога отмечают крайние северные и южные широты , где Солнце может появляться прямо над головой и где оно «поворачивается» в своем ежегодном сезонном движении. Из-за этой связи между тропиками и сезонным циклом видимого положения Солнца слово «тропический» также дало название «тропическому году». Ранние китайцы, индусы, греки и другие производили приблизительные измерения тропического года.

Раннее значение, открытие прецессии

Во II веке до нашей эры Гиппарх измерил время, необходимое Солнцу, чтобы снова пройти от точки равноденствия до того же равноденствия. Он подсчитал, что продолжительность года составляет 1/300 дня и меньше 365,25 дней (365 дней, 5 часов, 55 минут, 12 секунд или 365,24667 дней). Гиппарх использовал этот метод, потому что он мог лучше определять время равноденствий, чем время солнцестояний.

Гиппарх также обнаружил, что точки равноденствия движутся по эклиптике (плоскости земной орбиты или тому, что Гиппарх считал плоскостью орбиты Солнца вокруг Земли) в направлении, противоположном направлению движения Солнца, - явление это стало называться «прецессией равноденствий». Он насчитал это значение равным 1° за столетие, и это значение было улучшено лишь примерно 1000 лет спустя исламскими астрономами . После этого открытия было проведено различие между тропическим годом и сидерическим годом.

Средневековье и Возрождение

В средние века и эпоху Возрождения был опубликован ряд все более совершенных таблиц, которые позволяли вычислять положения Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звезд. Важным применением этих таблиц стала реформа календаря .

« Альфонсиновые таблицы» , опубликованные в 1252 году, были основаны на теориях Птолемея и были переработаны и обновлены после первоначальной публикации. Продолжительность тропического года составила 365 солнечных дней 5 часов 49 минут 16 секунд (≈ 365,24255 дней). Эта длина была использована при разработке григорианского календаря 1582 года.

В 16 веке Коперник выдвинул гелиоцентрическую космологию . Эразм Рейнхольд использовал теорию Коперника для расчета Прутических таблиц в 1551 году и дал продолжительность тропического года в 365 солнечных дней, 5 часов, 55 минут, 58 секунд (365,24720 дней), исходя из продолжительности сидерического года и предполагаемой скорости прецессии. На самом деле это было менее точным, чем более раннее значение Альфонсиновых таблиц.

Крупные достижения в 17 веке были сделаны Иоганном Кеплером и Исааком Ньютоном . В 1609 и 1619 годах Кеплер опубликовал свои три закона движения планет. В 1627 году Кеплер использовал наблюдения Тихо Браге и Вальтеруса для создания самых точных на тот момент таблиц — « Таблиц Рудольфина» . Он оценил средний тропический год как 365 солнечных дней, 5 часов, 48 минут, 45 секунд (365,24219 дней).

Три закона динамики Ньютона и теория гравитации были опубликованы в его книге Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica в 1687 году. Теоретические и математические достижения Ньютона повлияли на таблицы Эдмонда Галлея , опубликованные в 1693 и 1749 годах. и обеспечил основу всех моделей Солнечной системы до появления Альберта Эйнштейна общей теории относительности в 20 веке.

18 и 19 века

Со времен Гиппарха и Птолемея год основывался на двух равноденствиях (или двух солнцестояниях) с интервалом в несколько лет, чтобы усреднить как ошибки наблюдений, так и периодические изменения (вызванные гравитационным притяжением планет и небольшим эффектом нутация в день равноденствия). Эти эффекты стали понимать только во времена Ньютона. Для моделирования краткосрочных изменений времени между равноденствиями (и предотвращения того, чтобы они мешали усилиям по измерению долгосрочных изменений) требуются точные наблюдения и сложная теория видимого движения Солнца. Необходимые теории и математический аппарат сложились в XVIII веке благодаря работам Пьера-Симона де Лапласа , Жозефа Луи Лагранжа и других специалистов по небесной механике . Они смогли вычислить периодические изменения и отделить их от постепенного среднего движения. Они могли бы выразить среднюю долготу Солнца в виде многочлена, например:

Л ₀ = А ₀ + А ₁ Т + А ₂ Т ² дни

где Т — время в юлианских столетиях. Производная этой формулы является выражением средней угловой скорости, а обратная ей дает выражение продолжительности тропического года как линейной функции от T .

В таблице приведены два уравнения. По оценкам обоих уравнений, тропический год становится короче примерно на полсекунды с каждым столетием.

Коэффициенты тропического года

Имя	Уравнение	Дата, когда Т = 0
Леверье	Y = 365,242 196 47 − 6,24 × 10 −6 Т	0,5 января 1900 г., эфемеридное время.
Ньюкомб ( 1898 )	Y = 365,242 198 79 − 6,14 × 10 −6 Т	0 января 1900 г., среднее время

Таблицы Ньюкомба были достаточно точными, поэтому они использовались в совместном американо-британском астрономическом альманахе Солнца, Меркурия , Венеры и Марса до 1983 года.

20 и 21 века

Продолжительность среднего тропического года определяется на основе модели Солнечной системы, поэтому любое улучшение модели Солнечной системы потенциально повышает точность среднего тропического года. Появилось множество новых инструментов наблюдения, в том числе

• искусственные спутники
• отслеживание зондов дальнего космоса, таких как «Пионер-4», начиная с 1959 года.
• радары, способные измерять расстояние до других планет, начиная с 1961 года.
• лунная лазерная локация с Аполлона-11 1969 года оставила первый из серии ретрорефлекторов , которые обеспечивают большую точность, чем безотражательные измерения.
• искусственные спутники, такие как LAGEOS (1976 г.) и система глобального позиционирования (первоначальная эксплуатация в 1993 г.)
• Интерферометрия с очень длинной базой , которая находит точные направления на квазары в далеких галактиках и позволяет определить ориентацию Земли относительно этих объектов, расстояние до которых настолько велико, что можно считать, что они демонстрируют минимальное космическое движение.

Сложность модели, используемой для Солнечной системы, должна быть ограничена доступными вычислительными мощностями. В 1920-х годах оборудование для перфокарт стало использоваться LJ Comrie в Великобритании. Для американских эфемерид, электромагнитного компьютера, электронный калькулятор выборочной последовательности IBM. с 1948 года использовался Когда стали доступны современные компьютеры, стало возможным вычислять эфемериды, используя численное интегрирование, а не общие теории; числовое интегрирование стало использоваться в 1984 году для совместных альманахов США и Великобритании.

Альберта Эйнштейна предоставила Общая теория относительности более точную теорию, но точность теорий и наблюдений не требовала уточнений, обеспечиваемых этой теорией (за исключением продвижения перигелия Меркурия) до 1984 года. Временные шкалы включали начало общей теории относительности. в 1970-е годы.

Ключевым достижением в понимании тропического года на протяжении длительных периодов времени является открытие того, что скорость вращения Земли или, что то же самое, продолжительность среднего солнечного дня не является постоянной. Уильям Феррел в 1864 году и Шарль-Эжен Делоне в 1865 году предсказали, что вращение Земли замедляется из-за приливов и отливов. Это можно было проверить путем наблюдения только в 1920-х годах с помощью очень точных часов Shortt-Synchronome , а затем, в 1930-х годах, когда кварцевые часы начали заменять маятниковые часы в качестве стандартов времени.

Шкалы времени и календарь

Видимое солнечное время — это время, указываемое солнечными часами , и определяется видимым движением Солнца, вызванным вращением Земли вокруг своей оси, а также вращением Земли вокруг Солнца. Среднее солнечное время корректируется с учетом периодических изменений видимой скорости Солнца по мере вращения Земли по своей орбите. Наиболее важной такой шкалой времени является Всемирное время , которое представляет собой среднее солнечное время на долготе 0 градусов ( опорный меридиан IERS ). Гражданское время основано на UT (фактически UTC ), а гражданские календари отсчитывают средние солнечные дни.

Однако вращение самой Земли нерегулярно и замедляется по отношению к более стабильным показателям времени: в частности, движению планет и атомным часам.

Эфемеридное время (ET) является независимой переменной в уравнениях движения Солнечной системы, в частности, в уравнениях работы Ньюкомба, и это ET использовалось с 1960 по 1984 год. Эти эфемериды были основаны на наблюдениях, сделанных в солнечное время в течение нескольких столетий, и, как следствие, представляют собой среднюю солнечную секунду за этот период. Секунда СИ , определенная в атомном времени, должна была согласовываться с эфемеридной секундой, основанной на работе Ньюкомба, что, в свою очередь , приводит ее в соответствие со средней солнечной секундой середины 19 века. ET, отсчитываемое атомными часами, получило новое название — Земное время (TT), и для большинства целей ET = TT = Международное атомное время + 32,184 секунды СИ. С эпохи наблюдений вращение Земли замедлилось, и средняя солнечная секунда стала несколько длиннее секунды СИ. В результате временные шкалы TT и UT1 создают растущую разницу: величина, на которую TT опережает UT1, известна как Δ T или Delta T . По состоянию на 5 июля 2022 г. ТТ опережает UT1 на 69,28 секунды.

Как следствие, тропический год, следующий за сезонами на Земле, исчисляемыми в солнечных днях UT, все больше не синхронизируется с выражениями для равноденствий в эфемеридах в TT.

Как поясняется ниже, долгосрочные оценки продолжительности тропического года использовались в связи с реформой юлианского календаря , в результате которой появился григорианский календарь. Участники той реформы не знали о неравномерном вращении Земли, но теперь это можно в некоторой степени принять во внимание. В таблице ниже приведены оценки Моррисона и Стивенсона и стандартные ошибки ( σ ) для ΔT в даты, важные в процессе разработки григорианского календаря.

Событие	Год	Ближайший год S&M	Δ Т	п
Начало юлианского календаря	−44	0	2ч56м20с	4 минуты 20 секунд
Первый Никейский собор	325	300	2ч8м	2м
Начало григорианского календаря	1582	1600	2м	20 лет
экстраполяция низкой точности	4000		4ч13м
экстраполяция низкой точности	10,000		2д11ч

Экстраполяции низкой точности рассчитываются с использованием выражения Моррисона и Стивенсона:

Δ T в секундах = −20 + 32 t ²

где t измеряется в юлианских столетиях с 1820 года. Экстраполяция предназначена только для того, чтобы показать, что Δ T не является незначительным при оценке календаря на длительные периоды; Борковски предупреждает, что «многие исследователи пытались подогнать параболу к измеренным значениям Δ T , чтобы определить величину замедления вращения Земли. Результаты, взятые вместе, довольно обескураживают».

Продолжительность тропического года

Одним из определений тропического года было бы время, необходимое Солнцу, начиная с выбранной эклиптической долготы, чтобы совершить один полный цикл времен года и вернуться на ту же эклиптическую долготу.

Средний интервал времени между равноденствиями

♈︎ ♎︎
Символы равноденствия
В Юникоде	U+2648 ♈ ОВЕН U+264E ♎ ВЕСЫ

Прежде чем рассматривать пример, равноденствие необходимо рассмотреть . В расчетах Солнечной системы есть две важные плоскости: плоскость эклиптики ( орбита Земли вокруг Солнца) и плоскость небесного экватора (экватор Земли, проецируемый в космос). Эти две плоскости пересекаются по прямой. Одно направление указывает на так называемое весеннее, северное или мартовское равноденствие рога, , которому присвоен символ ♈︎ (символ выглядит как бараньи потому что раньше он находился в направлении созвездия Овна ). Противоположное направление обозначено символом ♎︎ (потому что раньше оно было направлено к Весам ). Из-за прецессии равноденствий и нутации эти направления изменяются по сравнению с направлениями далеких звезд и галактик, направления которых не имеют измеримого движения из-за их большого расстояния (см. Международную небесную систему отсчета ).

Эклиптическая долгота Солнца — это угол между ♈︎ и Солнцем, измеренный в восточном направлении вдоль эклиптики. Это создает относительное, а не абсолютное измерение, потому что по мере движения Солнца направление, в котором измеряется угол, также перемещается. Удобно иметь фиксированное (по отношению к далеким звездам) направление для измерения; направление ♈︎ в полдень 1 января 2000 года выполняет эту роль и ему присвоен символ ♈︎ ₀ .

20 марта 2009 г. в 11:44:43,6 TT было равноденствие. В 2010 году мартовское равноденствие произошло 20 марта в 17:33:18,1 TT, что дает интервал и продолжительность тропического года в 365 дней 5 часов 48 минут 34,5 секунды. Пока Солнце движется, ♈︎ движется в противоположном направлении. Когда Солнце и ♈︎ встретились во время мартовского равноденствия 2010 года, Солнце переместилось на восток на 359°59'09″, а ♈︎ переместилось на запад на 51″, в общей сложности на 360° (все относительно ♈︎ _0). ). Вот почему тропический год длится 20 мин. короче звездного года.

При сравнении измерений тропического года за несколько последовательных лет обнаруживаются вариации, обусловленные возмущениями со стороны Луны и планет, действующих на Землю, а также нутацией. Меус и Савойя привели следующие примеры интервалов между мартовскими (северными) равноденствиями:

	дни	часы	мин	с
1985–1986	365	5	48	58
1986–1987	365	5	49	15
1987–1988	365	5	46	38
1988–1989	365	5	49	42
1989–1990	365	5	51	06

До начала XIX века продолжительность тропического года определялась путем сравнения дат равноденствия, разделенных многими годами; этот подход дал средний тропический год.

Различные определения тропического года

Если для Солнца выбрана другая начальная долгота, отличная от 0° ( т.е. ♈︎), то продолжительность возвращения Солнца на ту же долготу будет другой. Это эффект второго порядка того обстоятельства, что скорость Земли (и, наоборот, видимая скорость Солнца) меняется на ее эллиптической орбите: быстрее в перигелии , медленнее в афелии . Точка равноденствия перемещается относительно перигелия (и оба движутся относительно фиксированной сидерической системы отсчёта). От одного прохождения равноденствия к другому или от одного прохождения солнцестояния к другому Солнце совершает не совсем полную эллиптическую орбиту. Сэкономленное время зависит от того, где оно начинается на орбите. Если начальная точка близка к перигелию (например, во время декабрьского солнцестояния), то скорость выше средней, и видимое Солнце экономит мало времени, чтобы не проходить полный круг: «тропический год» сравнительно длинный. Если отправная точка находится вблизи афелия, то скорость будет ниже, а время, сэкономленное на том, чтобы не проходить ту же небольшую дугу, которой предшествовало равноденствие, будет больше: этот тропический год сравнительно короток.

«Средний тропический год» основан на среднем солнце и не равен точно времени, необходимому для перехода от равноденствия к следующему или от солнцестояния к следующему.

Следующие значения временных интервалов между равноденствиями и солнцестояниями были предоставлены Меусом и Савойей для 0 и 2000 годов. Это сглаженные значения, учитывающие эллиптичность орбиты Земли с использованием хорошо известных процедур (включая решение уравнения Кеплера ). Они не принимают во внимание периодические изменения, вызванные такими факторами, как гравитационная сила обращающейся по орбите Луны и гравитационные силы других планет. Такие возмущения незначительны по сравнению с разницей в положении, возникающей из-за того, что орбита эллиптическая, а не круговая.

	Год 0	2000 год
Между двумя мартовскими равноденствиями	365.242 137 дней	365.242 374 дня
Между двумя июньскими солнцестояниями	365.241 726	365.241 626
Между двумя сентябрьскими равноденствиями	365.242 496	365.242 018
Между двумя декабрьскими солнцестояниями	365.242 883	365.242 740
Средний тропический год (выражение Ласкара)	365.242 310	365.242 189

Среднее текущее значение тропического года

Средний тропический год на 1 января 2000 года составлял или 365,2421897 эфемеридных 365 дней , 5 часов 48 минут 45,19 секунд. Это меняется медленно; выражение, подходящее для расчета продолжительности тропического года в эфемеридных днях между 8000 г. до н.э. и 12000 г. н.э.:

$365.2421896698-6.15359\times 10^{-6}T-7.29\times 10^{-10}T^{2}+2.64\times 10^{-10}T^{3}$

где T находится в юлианских столетиях, равных 36 525 дням по 86 400 секунд СИ, измеренным с полудня 1 января 2000 года по тихоокеанскому времени.

Современные астрономы определяют тропический год как время, когда средняя долгота Солнца увеличивается на 360°. Процесс поиска выражения для продолжительности тропического года заключается в том, чтобы сначала найти выражение для средней долготы Солнца (относительно ♈︎), например выражение Ньюкомба, приведенное выше, или выражение Ласкара. Если рассматривать период в один год, средняя долгота является почти линейной функцией земного времени. Чтобы найти продолжительность тропического года, дифференцируют среднюю долготу, чтобы определить угловую скорость Солнца как функцию земного времени, и эта угловая скорость используется для расчета того, сколько времени потребуется Солнцу, чтобы повернуться на 360 °. .

Приведенные выше формулы дают продолжительность тропического года в эфемеридных днях (равных 86 400 секундам системы СИ), а не в солнечных днях . Именно количество солнечных дней в тропическом году важно для синхронизации календаря с временами года (см. ниже).

Календарный год

Григорианский календарь , используемый в гражданских и научных целях, является международным стандартом. Это солнечный календарь, предназначенный для синхронизации со средним тропическим годом. Его цикл составляет 400 лет (146 097 дней). Каждый цикл повторяет месяцы, даты и дни недели. Средняя продолжительность года составляет 146 097/400 = 365 + 97 ⁄ 400 = 365,2425 дней в году, что близко к среднему тропическому году, равному 365,2422 дням.

Григорианский календарь представляет собой реформированную версию юлианского календаря, организованную католической церковью и принятую в 1582 году. К моменту реформы дата весеннего равноденствия сместилась примерно на 10 дней, примерно с 21 марта во время Первого Никейский собор 325 г., примерно до 11 марта. Мотивом изменения было правильное соблюдение Пасхи. В правилах, используемых для расчета даты Пасхи, использовалась условная дата весеннего равноденствия (21 марта), и считалось важным, чтобы 21 марта было близко к фактическому равноденствию.

Если общество в будущем по-прежнему будет придавать большое значение синхронизации гражданского календаря и времен года, в конечном итоге потребуется еще одна реформа календаря. Согласно Блэкберну и Холфорду-Стривенсу (которые использовали значение Ньюкомба для тропического года), если бы тропический год оставался на своем значении 1900 года, равном 365,242 198 781 25 дней, григорианский календарь отставал бы от Солнца на 3 дня, 17 минут и 33 секунды после 10 000 годы. Эту ошибку усугубляет то, что продолжительность тропического года (измеренная в земном времени) уменьшается со скоростью примерно 0,53 с за столетие, а средний солнечный день увеличивается со скоростью примерно 1,5 мс за столетие. Эти эффекты приведут к тому, что в 3200 году календарь отстанет почти на день. Число солнечных дней в «тропическом тысячелетии» уменьшается примерно на 0,06 на тысячелетие (без учета колебательных изменений реальной продолжительности тропического года). Это означает, что со временем високосных дней должно быть все меньше и меньше. Возможная реформа могла бы исключить високосный день в 3200 году, сохранить 3600 и 4000 високосными годами, а затем сделать все столетние годы общими, за исключением 4500, 5000, 5500, 6000 и т. д., но величина ΔT недостаточно предсказуема для формирования более точных предложений. .

См. также

• Аномалистический год
• Григорианский календарь
• Сидерическая и тропическая астрология.

Ссылки

• Борковский, К.М. (1991). «Тропический год и солнечный календарь». Журнал Королевского астрономического общества Канады . 85 (3): 121–130. Бибкод : 1991JRASC..85..121B .
• Бутрика, Эй Джей (1996). SP-4218: Увидеть невидимое . Серия историй НАСА. Бюро истории НАСА. Архивировано из оригинала 10 марта 2008 г. Через «Увидеть невидимое – история планетарной радиолокационной астрономии» . Отдел истории НАСА . Архивировано из оригинала 23 августа 2007 года.
• Койн, Г. В. ; Хоскин, Массачусетс; Педерсен О., ред. (1983). Григорианская реформа календаря . Ватиканская обсерватория.
• Ласкар, Дж. (1986). «Секулярные термины классических планетарных теорий с использованием результатов общей теории». Астрономия и астрофизика . 157 (1): 59–70. Бибкод : 1986A&A...157...59L . ISSN   0004-6361 . Примечание. В статье по этому URL-адресу страница 68 должна быть помещена перед страницей 66.
• Маккарти, Д.Д. ; Зайдельманн, ПК (2009). Время от вращения Земли до атомной физики . Weinhein: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.
• Миус, Дж .; Савойя, Д. (1992). «История тропического года». Журнал Британской астрономической ассоциации . 102 (1): 40–42. Бибкод : 1992JBAA..102...40M .
• Моррисон, Л.В.; Стивенсон, Франция (2004). «Исторические значения погрешности земных часов ΔT и расчет затмений». Журнал истории астрономии . 35 (3): 327–336. Бибкод : 2004JHA....35..327M . дои : 10.1177/002182860403500305 . S2CID   119021116 .
• Ньюкомб, С. (1898). Таблицы четырех внутренних планет . Астрономические статьи, подготовленные для использования американских эфемерид и морского альманаха. Том. 6 (2-е изд.). Вашингтон: Бюро оборудования, Военно-морское ведомство.
• Зайдельманн, ПК, изд. (1992). Объяснительное приложение к Астрономическому альманаху (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN  0-935702-68-7 .
• Урбан, ЮВ; Зайдельманн, ПК, ред. (2013). Пояснительное приложение к астрономическому альманаху (PDF) (3-е изд.). Милл-Вэлли, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN  978-1-891389-85-6 . Архивировано из оригинала (PDF) 30 апреля 2019 года . Проверено 6 мая 2018 г.

Дальнейшее чтение

• Дершовиц, Н.; Рейнгольд, Э.М. (2008). Календарные расчеты (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-70238-6 .
• Миус, Джин (10 августа 2009 г.) [1998]. Астрономические алгоритмы (2-е, с исправлениями от 10 августа 2009 г., изд.). Ричмонд, Вирджиния: Уиллманн-Белл. ISBN  978-0-943396-61-3 .
• Меус, Жан (2002). Еще кусочки астрономии . Ричмонд, Вирджиния: Уиллманн-Белл. ISBN  0-943396-74-3 . Содержит обновления Meeus & Savoie 1992 .
• Саймон, Дж.Л.; Бретаньон, П.; Чапрон, Дж.; Шапрон-Туз, М.; Франку, Г.; Ласкар, Дж. (февраль 1994 г.). «Численные выражения для формул прецессии и средних элементов для Луны и планет» . Астрономия и астрофизика . 282 : 663–683. Бибкод : 1994A&A...282..663S . ISSN   0004-6361 . Упоминается в Астрономическом альманахе за 2011 год и содержит выражения, используемые для определения продолжительности тропического года.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с Тропическим годом, на Викискладе?