Эллиптическая орбита

Анимация орбиты по эксцентриситету
  0.0  ·   0.2  ·   0.4  ·   0.6  ·   0.8

Two bodies with similar mass orbiting around a common barycenter with elliptic orbits.

Two bodies with unequal mass orbiting around a common barycenter with circular orbits.

Two bodies with highly unequal mass orbiting a common barycenter with circular orbits.

An elliptical orbit is depicted in the top-right quadrant of this diagram, where the gravitational potential well of the central mass shows potential energy, and the kinetic energy of the orbital speed is shown in red. The height of the kinetic energy decreases as the orbiting body's speed decreases and distance increases according to Kepler's laws.

В астродинамике или небесной механике эллиптическая орбита или эллиптическая орбита — это орбита Кеплера с эксцентриситетом менее 1; сюда входит особый случай круговой орбиты с эксцентриситетом, равным 0. В более строгом смысле это орбита Кеплера с эксцентриситетом больше 0 и меньше 1 (таким образом, исключая круговую орбиту). В более широком смысле это кеплеровская орбита с отрицательной энергией . Сюда входит радиальная эллиптическая орбита с эксцентриситетом, равным 1.

В гравитационной задаче двух тел с отрицательной энергией оба тела движутся по одинаковым эллиптическим орбитам с одинаковым периодом обращения вокруг общего барицентра . Кроме того, относительное положение одного тела по отношению к другому следует эллиптической орбите.

Примеры эллиптических орбит включают переходные орбиты Гомана , орбиты Молнии и тундровые орбиты .

Скорость

При стандартных предположениях не действуют никакие другие силы, кроме двух сферически симметричных тел m ₁ и m ₂ , орбитальная скорость ( $v\,$) одного тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить из уравнения vis-viva как:

$v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}$

where:

• $\mu \,$ is the standard gravitational parameter, G(m₁+m₂), often expressed as GM when one body is much larger than the other.
• $r\,$ is the distance between the orbiting body and center of mass.
• $a\,\!$ is the length of the semi-major axis.

The velocity equation for a hyperbolic trajectory has either + ${1 \over {a}}$, or it is the same with the convention that in that case a is negative.

Orbital period

Under standard assumptions the orbital period ($T\,\!$) of a body travelling along an elliptic orbit can be computed as:

$T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}$

where:

• $\mu$ is the standard gravitational parameter.
• $a\,\!$ is the length of the semi-major axis.

Conclusions:

• The orbital period is equal to that for a circular orbit with the orbital radius equal to the semi-major axis ($a\,\!$),
• For a given semi-major axis the orbital period does not depend on the eccentricity (See also: Kepler's third law).

Energy

Under standard assumptions, the specific orbital energy ($\epsilon$) of an elliptic orbit is negative and the orbital energy conservation equation (the Vis-viva equation) for this orbit can take the form:

${v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0$

where:

• $v\,$ is the orbital speed of the orbiting body,
• $r\,$ is the distance of the orbiting body from the central body,
• $a\,$ is the length of the semi-major axis,
• $\mu \,$ is the standard gravitational parameter.

Conclusions:

• For a given semi-major axis the specific orbital energy is independent of the eccentricity.

Using the virial theorem to find:

• the time-average of the specific potential energy is equal to −2ε
  • the time-average of r⁻¹ is a⁻¹
• the time-average of the specific kinetic energy is equal to ε

Energy in terms of semi major axis

It can be helpful to know the energy in terms of the semi major axis (and the involved masses). The total energy of the orbit is given by

$E=-G{\frac {Mm}{2a}}$,

where a is the semi major axis.

Derivation

Since gravity is a central force, the angular momentum is constant:

${\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0$

At the closest and furthest approaches, the angular momentum is perpendicular to the distance from the mass orbited, therefore:

$L=rp=rmv$.

Полная энергия орбиты определяется выражением

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}$.

Заменяя v, уравнение принимает вид

$E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}$.

Это верно для r, являющегося ближайшим/самым дальним расстоянием, поэтому одновременно создаются два уравнения, которые при решении для E:

$E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}$

С ${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$ и $r_{2}=a-a\epsilon$, где эпсилон – эксцентриситет орбиты, достигается заявленный результат.

Угол траектории полета

Угол траектории полета — это угол между вектором скорости вращающегося тела (равным вектору, касательной к мгновенной орбите) и местной горизонталью. При стандартных предположениях о сохранении углового момента угол траектории полета $\phi$ удовлетворяет уравнению:

$h\,=r\,v\,\cos \phi$

где:

• $h\,$ - удельный относительный угловой момент орбиты,
• $v\,$ - орбитальная скорость вращающегося тела,
• $r\,$ — радиальное расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• $\phi \,$ угол траектории полета

$\psi$ – угол между вектором орбитальной скорости и большой полуосью. $\nu$ это локальная истинная аномалия . $\phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi$, поэтому,

$\cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}$

$\tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}$

где $e$ это эксцентриситет.

Угловой момент связан с векторным произведением положения и скорости, которое пропорционально синусу угла между этими двумя векторами. Здесь $\phi$ определяется как угол, который отличается от этого на 90 градусов, поэтому вместо синуса появляется косинус.

Уравнение движения

Основная статья: уравнение орбиты

Из исходного положения и скорости

Уравнение орбиты определяет путь вращающегося тела. $m_{2}\,\!$ вокруг центрального тела $m_{1}\,\!$ относительно $m_{1}\,\!$, без указания положения как функции времени. Если эксцентриситет меньше 1, то уравнение движения описывает эллиптическую орбиту. Поскольку уравнение Кеплера $M=E-e\sin E$ не имеет общего решения в замкнутой форме для эксцентрической аномалии (E) в терминах средней аномалии (M), уравнения движения как функции времени также не имеют решения в замкнутой форме (хотя существуют численные решения для обоих ).

Однако не зависящие от времени уравнения траектории эллиптической орбиты относительно центрального тела в замкнутой форме могут быть определены только из начальной позиции ( $\mathbf {r}$) и скорость ( $\mathbf {v}$).

В этом случае удобно использовать следующие предположения, которые несколько отличаются от стандартных предположений, изложенных выше:

1. Положение центрального тела находится в начале координат и является основным фокусом ( $\mathbf {F1}$) эллипса (в качестве альтернативы можно использовать центр масс, если вращающееся тело имеет значительную массу)
2. Масса центрального тела (m1) известна
3. Начальное положение вращающегося тела ( $\mathbf {r}$) и скорость( $\mathbf {v}$) известны
4. Эллипс лежит внутри плоскости XY.

Четвертое предположение можно сделать без ограничения общности, поскольку любые три точки (или векторы) должны лежать в одной плоскости. При этих предположениях второй фокус (иногда называемый «пустым» фокусом) также должен лежать внутри плоскости XY: $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ .

Использование векторов

Общее уравнение эллипса при этих предположениях с использованием векторов:

$|\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0$

где:

• $a\,\!$ — длина большой полуоси .
• $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ — второй («пустой») фокус.
• $\mathbf {p} =\left(x,y\right)$ любое значение (x,y), удовлетворяющее уравнению.

Длину большой полуоси (a) можно рассчитать как:

$a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}$

где $\mu \ =Gm_{1}$ — стандартный гравитационный параметр .

Пустой фокус ( $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$) можно найти, предварительно определив вектор эксцентриситета :

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}$

Где $\mathbf {h}$ – удельный момент импульса вращающегося тела:

$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$

Затем

$\mathbf {F2} =-2a\mathbf {e}$

Использование координат XY

Это можно сделать в декартовых координатах, используя следующую процедуру:

Общее уравнение эллипса при сделанных выше предположениях имеет вид:

${\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0$

Данный:

$r_{x},r_{y}\quad$ координаты начального положения

$v_{x},v_{y}\quad$ начальные координаты скорости

и

$\mu =Gm_{1}\quad$ гравитационный параметр

Затем:

$h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad$ удельный угловой момент

$r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad$ начальное расстояние от F1 (в начале координат)

$a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad$ длина большой полуоси

$e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad$ вектора эксцентриситета координаты

$e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad$

Наконец, пустые координаты фокуса

$f_{x}=-2ae_{x}\quad$

$f_{y}=-2ae_{y}\quad$

Теперь полученные значения fx, fy и a можно применить к общему уравнению эллипса, приведенному выше.

Орбитальные параметры

Состояние вращающегося тела в любой момент времени определяется положением и скоростью вращающегося тела относительно центрального тела, которые могут быть представлены трехмерными декартовыми координатами (положение вращающегося тела, представленное x, y и z) и аналогичные декартовы компоненты скорости вращающегося тела. Этот набор из шести переменных вместе со временем называется векторами орбитального состояния . Учитывая массы двух тел, они определяют полную орбиту. Двумя наиболее общими случаями с этими шестью степенями свободы являются эллиптическая и гиперболическая орбиты. Особыми случаями с меньшим количеством степеней свободы являются круговая и параболическая орбита.

Поскольку для полного представления эллиптической орбиты с этим набором параметров абсолютно необходимо как минимум шесть переменных, то для представления орбиты с любым набором параметров требуется шесть переменных. Другой набор из шести параметров, которые обычно используются, — это элементы орбиты .

Солнечная система

В Солнечной системе , планеты . астероиды , большинство комет и некоторые куски космического мусора имеют примерно эллиптические орбиты вокруг Солнца Строго говоря, оба тела вращаются вокруг одного и того же фокуса эллипса, причем то, что ближе к более массивному телу, но когда одно тело значительно более массивно, как, например, Солнце по отношению к Земле, фокус может находиться внутри большего тела. массивное тело, поэтому говорят, что меньшее тело вращается вокруг него. Следующая диаграмма перигелия и афелия планет демонстрирует , карликовых планет и кометы Галлея изменение эксцентриситета их эллиптических орбит. Для аналогичных расстояний от Солнца более широкие полосы обозначают больший эксцентриситет. Обратите внимание на почти нулевой эксцентриситет Земли и Венеры по сравнению с огромным эксцентриситетом кометы Галлея и Эриды .

Расстояния избранных тел Солнечной системы от Солнца. Левый и правый края каждой полосы соответствуют перигелию и афелию тела соответственно, поэтому длинные полосы обозначают высокий эксцентриситет орбиты . Радиус Солнца составляет 0,7 миллиона км, а радиус Юпитера (самой большой планеты) — 0,07 миллиона км, оба слишком малы, чтобы их можно было рассмотреть на этом изображении.

Радиальная эллиптическая траектория

Радиальная траектория может представлять собой двойной отрезок , который представляет собой вырожденный эллипс с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Применимы большинство свойств и формул эллиптических орбит. Однако орбиту замкнуть невозможно. Это открытая орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента касания тел друг друга и удаления друг от друга до момента их повторного соприкосновения. В случае точечных масс возможна одна полная орбита, начинающаяся и заканчивающаяся сингулярностью. Скорости в начале и конце бесконечны в противоположных направлениях, а потенциальная энергия равна минус бесконечности.

Радиальная эллиптическая траектория является решением задачи двух тел с в некоторый момент времени нулевой скоростью, как в случае падения предмета (пренебрегая сопротивлением воздуха).

Смотрите также: Свободное падение § Гравитационное поле по закону обратных квадратов

История

Вавилоняне первыми осознали , что движение Солнца по эклиптике неравномерно, хотя и не знали, почему это так; сегодня известно, что это происходит из-за того, что Земля движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, причем Земля движется быстрее, когда она приближается к Солнцу в перигелии , и движется медленнее, когда она находится дальше в афелии .

В 17 веке Иоганн Кеплер обнаружил, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем в одном фокусе, и описал это в своем первом законе движения планет . Позже Исаак Ньютон объяснил это как следствие своего закона всемирного тяготения .

См. также

• Апсида
• Характеристическая энергия
• Эллипс
• Список орбит
• Эксцентриситет орбиты
• Уравнение орбиты
• Параболическая траектория

Источники

• Д'Элисео, Маурицио М. (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». Американский журнал физики . 75 (4): 352–355. Бибкод : 2007AmJPh..75..352D . дои : 10.1119/1.2432126 .
• Д'Элизео, Маурицио М.; Миронов, Сергей В. (2009). «Гравитационный эллипс». Журнал математической физики . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Бибкод : 2009JMP....50a2901M . дои : 10.1063/1.3078419 .
• Кертис, Ховард Д. (2019). Орбитальная механика для студентов-инженеров (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN  978-0-08-102133-0 .

Внешние ссылки

• Java-апплет, анимирующий орбиту спутника на эллиптической орбите Кеплера вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.
• Апогея и Перигея Луны Сравнение фотографий
• Афелий - Перигелий Солнечное фотографическое сравнение
• http://www.castor2.ca