Уравнение центра

В двух тел кеплеровской круговой орбитальной механике уравнение центра представляет собой угловую разность между фактическим положением тела на его эллиптической орбите и положением, которое оно заняло бы, если бы его движение было равномерным, по орбите того же периода. Она определяется как разность истинной аномалии ν $минус$ средняя аномалия M $и$ выражается как функция средней аномалии $M$ и эксцентриситета орбиты e $обычно$ . ^[1]

Обсуждение

С древности задача предсказания движения небесных тел упрощалась путем сведения ее к одному телу, обращающемуся по орбите вокруг другого. При расчете положения тела вокруг орбиты часто удобно начинать с предположения о круговом движении. Тогда это первое приближение представляет собой просто постоянную угловую скорость, умноженную на количество времени. Существуют различные методы исправления приблизительного кругового положения на положение, создаваемое эллиптическим движением, многие из них сложны, и многие из них включают решение уравнения Кеплера . Напротив, уравнение центра — один из самых простых в применении методов.

В случаях малого эксцентриситета положение, заданное уравнением центра, может быть почти таким же точным, как и любой другой метод решения задачи. Многие представляющие интерес орбиты, например орбиты тел Солнечной системы или искусственных спутников Земли , имеют почти круговые орбиты . По мере того, как эксцентриситет становится больше, а орбиты становятся более эллиптическими, точность уравнения снижается и полностью терпит неудачу при самых высоких значениях, поэтому оно не используется для таких орбит.

Уравнение в его современной форме может быть усечено с любым произвольным уровнем точности, а если ограничиться только наиболее важными членами, оно может дать легко вычисляемую аппроксимацию истинного положения, когда полная точность не важна. Такие приближения можно использовать, например, в качестве начальных значений для итерационных решений Кеплера уравнения ^[1] или при расчете времени нарастания или захода солнца, которое из-за атмосферных воздействий невозможно предсказать с большой точностью.

Древние греки , в частности Гиппарх , знали уравнение центра как простафаэрезис , хотя понимание геометрии движения планет у них было неодинаково. ^[2] Слово уравнение ( лат . aequatio, -onis ) в современном смысле пришло из астрономии . Оно было указано и использовано Кеплером как переменная величина, определяемая расчетом, которую необходимо добавить или вычесть из среднего движения, чтобы получить истинное движение. В астрономии термин уравнение времени имеет аналогичное значение. ^[3] Уравнение центра в современной форме было разработано в рамках анализа возмущений , то есть исследования влияния третьего тела на движение двух тел . ^[4]^[5]

Расширение серии

При кеплеровском движении координаты тела повторяют одни и те же значения на каждой орбите, что является определением периодической функции . Такие функции могут быть выражены как периодические ряды любой непрерывно возрастающей угловой переменной: ^[6] наиболее интересной переменной является средняя аномалия M $и$ . Поскольку она увеличивается равномерно со временем, выражение любой другой переменной в виде ряда средней аномалии по сути то же самое, что выражение ее через время. Поскольку эксцентриситет e $степени$ орбиты мал по значению, коэффициенты ряда можно выразить через $e$ . ^[5] Обратите внимание, что хотя эти ряды и можно представить в усеченном виде, они представляют собой сумму бесконечного числа слагаемых. ^[7]

Ряд для $ν$ , истинная аномалия, удобнее всего выражать через $M$ , $e$ и функции Бесселя первого рода: ^[8]

\nu =M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left\{J_{s}(se)+\sum _{p=1}^{\infty }\beta ^{p}\left[J_{s-p}(se)+J_{s+p}(se)\right]\right\}\sin sM,

где

J_{n}(se)

– функции Бесселя и

\beta ={\frac {1}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right).

^[9]

Результат в радианах .

Функции Бесселя можно разложить по степеням $x$ на: ^[10]

J_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m}}{m!\prod _{k=1}^{m}(n+k)}}

и $β м$ к, ^[11]

\beta ^{m}=\left({\frac {e}{2}}\right)^{m}\left[1+m\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n+m-1)!}{n!(n+m)!}}\left({\frac {e}{2}}\right)^{2n}\right].

Подставляя и сокращая, уравнение для $ν$ становится (усеченным до порядка $e 7$ ), ^[8]

{\begin{aligned}\nu =M&+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}+{\frac {107}{4608}}e^{7}\right)\sin M\\&{}+\left({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}+{\frac {17}{192}}e^{6}\right)\sin 2M\\&{}+\left({\frac {13}{12}}e^{3}-{\frac {43}{64}}e^{5}+{\frac {95}{512}}e^{7}\right)\sin 3M\\&{}+\left({\frac {103}{96}}e^{4}-{\frac {451}{480}}e^{6}\right)\sin 4M\\&{}+\left({\frac {1097}{960}}e^{5}-{\frac {5957}{4608}}e^{7}\right)\sin 5M\\&{}+{\frac {1223}{960}}e^{6}\sin 6M+{\frac {47273}{32256}}e^{7}\sin 7M+\cdots \end{aligned}}

и по определению, перемещая $M$ в левую часть,

$\nu -M=\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}+{\frac {107}{4608}}e^{7}\right)\sin M+\cdots$

дает уравнение центра.

Это уравнение иногда выводится альтернативным способом и представляется в виде степеней $e$ с коэффициентами в функциях $sin M$ (обрезанных до порядка $e 6$ ),

{\begin{aligned}\nu =M&{}+2e\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M\\&{}+{\frac {e^{3}}{12}}(13\sin 3M-3\sin M)\\&{}+{\frac {e^{4}}{96}}(103\sin 4M-44\sin 2M)\\&{}+{\frac {e^{5}}{960}}(1097\sin 5M-645\sin 3M+50\sin M)\\&{}+{\frac {e^{6}}{960}}(1223\sin 6M-902\sin 4M+85\sin 2M)+\cdots \end{aligned}}

который идентичен приведенной выше форме. ^[12]^[13]

При малых $e$ ряд быстро сходится. Если $e$ превышает 0,6627..., оно расходится при некоторых значениях $M$ , впервые обнаруженных Пьером-Симоном Лапласом . ^[12]^[14]

Примеры

	орбитальный эксцентричность ^[15]	Максимальное уравнение центра (ряд усечен, как показано)
	орбитальный эксцентричность ^[15]	и ⁷	и ³	и ²
Венера	0.006777	0.7766°	0.7766°	0.7766°
Земля	0.01671	1.915°	1.915°	1.915°
Сатурн	0.05386	6.174°	6.174°	6.186°
Марс	0.09339	10.71°	10.71°	10.77°
Меркурий	0.2056	23.68°	23.77°	23.28°

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Microcosm Press, Эль-Сегундо, Калифорния. п. 82. ИСБН 1-881883-12-4 .
^ Нарриен, Джон (1833). Исторический отчет о происхождении и развитии астрономии . Болдуин и Крэдок, Лондон. стр. 230–231 .
^ Капдеру, Мишель (2005). Орбиты и миссии спутников . Спрингер-Верлаг . п. 23 . ISBN 978-2-287-21317-5 .
^ Моултон, Форест Рэй (1914). Введение в небесную механику (второе исправленное издание). Макмиллан Ко., Нью-Йорк. п. 165. ИСБН 9780598943972 . , в книгах Google
^ Перейти обратно: ^а ^б Смарт, WM (1953). Небесная механика . Лонгманс, Грин и Ко, Лондон. п. 26.
^ Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Academic Press, Нью-Йорк и Лондон. п. 60 .
^ Валладо, Дэвид А. (2001). п. 80
^ Перейти обратно: ^а ^б Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 77.
^ Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 62.
^ Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 68.
^ Смарт, WM (1953). п. 32.
^ Перейти обратно: ^а ^б Моултон, Форест Рэй (1914). стр. 171–172.
^ Дэнби, JMA (1988). Основы небесной механики . Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, Вирджиния. стр. 199–200. ISBN 0-943396-20-4 .
^ Пламмер, ХК (1918). Вводный трактат по динамической астрономии . Издательство Кембриджского университета . стр. 46–47 .
^ Зайдельманн, П. Кеннет; Урбан, Шон Э., ред. (2013). Объяснительное приложение к Астрономическому альманаху (3-е изд.). Университетские научные книги, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 338. ИСБН 978-1-891389-85-6 .

Дальнейшее чтение

Март, А. (1890). О вычислении уравнения центра на эллиптических орбитах умеренных эксцентриситетов . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Том. 50, с. 502. Дает уравнение центра порядка е ¹⁰.
Моррисон, Дж. (1883). О вычислении эксцентрической аномалии, уравнения центра и радиуса-вектора планеты в терминах средней аномалии и эксцентриситета . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Vol. 43, с. 345. Дает уравнение центра порядка е ¹².
Моррисон, Дж. (1883). Ошибка . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Vol. 43, с. 494.

[Vallado82-1] Перейти обратно: ^а ^б Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Microcosm Press, Эль-Сегундо, Калифорния. п. 82. ИСБН 1-881883-12-4 .

[2] Нарриен, Джон (1833). Исторический отчет о происхождении и развитии астрономии . Болдуин и Крэдок, Лондон. стр. 230–231 .

[3] Капдеру, Мишель (2005). Орбиты и миссии спутников . Спрингер-Верлаг . п. 23 . ISBN 978-2-287-21317-5 .

[4] Моултон, Форест Рэй (1914). Введение в небесную механику (второе исправленное издание). Макмиллан Ко., Нью-Йорк. п. 165. ИСБН 9780598943972 . , в книгах Google

[Smart26-5] Перейти обратно: ^а ^б Смарт, WM (1953). Небесная механика . Лонгманс, Грин и Ко, Лондон. п. 26.

[6] Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Academic Press, Нью-Йорк и Лондон. п. 60 .

[7] Валладо, Дэвид А. (2001). п. 80

[B&C77-8] Перейти обратно: ^а ^б Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 77.

[9] Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 62.

[10] Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 68.

[11] Смарт, WM (1953). п. 32.

[Moulton171-12] Перейти обратно: ^а ^б Моултон, Форест Рэй (1914). стр. 171–172.

[13] Дэнби, JMA (1988). Основы небесной механики . Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, Вирджиния. стр. 199–200. ISBN 0-943396-20-4 .

[14] Пламмер, ХК (1918). Вводный трактат по динамической астрономии . Издательство Кембриджского университета . стр. 46–47 .

[15] Зайдельманн, П. Кеннет; Урбан, Шон Э., ред. (2013). Объяснительное приложение к Астрономическому альманаху (3-е изд.). Университетские научные книги, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 338. ИСБН 978-1-891389-85-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]