Обобщенный ряд Фурье

В математике обобщенный ряд Фурье расширяет интегрируемую с квадратом функцию, определенную на интервале по действительной прямой . Составляющие функции в разложении в ряд образуют ортонормированный базис пространства внутреннего продукта . В то время как разложение в ряд Фурье состоит только из тригонометрических функций , обобщенный ряд Фурье представляет собой разложение, включающее любой набор функций , которые удовлетворяют проблеме собственных значений Штурма-Лиувилля . Эти разложения находят широкое применение в теории интерполяции . ^[1] Оно выражается рядом синусоидов, которые могут быть сформулированы в различных формах. По сути, рассматривается пара функций, где t — переменная (обычно время), а m и n — действительные множители t , отражающие длину интервала.

Определение

Рассмотрим набор интегрируемых с квадратом функций со значениями в $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ или $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ , $\Phi =\{\varphi _{n}:[a,b]\to \mathbb {F} \}_{n=0}^{\infty },$ которые попарно ортогональны относительно скалярного произведения $\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g}}(x)\,w(x)\,dx,$ где $w(x)$ является весовой функцией , а ${\overline {g}}$ представляет собой комплексное сопряжение , т. е. ${\overline {g}}(x)=g(x)$ для $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ .

Обобщенный ряд Фурье функции, с квадратом интегрируемой $f:[a,b]\to \mathbb {F}$ , относительно Φ, тогда $f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}(x),$ где коэффициенты имеют вид $c_{n}={\langle f,\varphi _{n}\rangle _{w} \over \|\varphi _{n}\|_{w}^{2}}.$

Если Φ — полный набор, т. е. ортогональный базис пространства всех интегрируемых с квадратом функций на [ a , b ], в отличие от меньшего ортогонального набора, то соотношение $\sim$ становится равенством в L ² смысл, точнее по модулю $|\cdot |_{w}$ (не обязательно точечно и не почти везде ).

Примеры

Ряд Фурье – Лежандра

Функция $f(x)$ определенный на всей числовой прямой, называется периодическим с периодом $T$ если есть номер $T>0$ такой, что $\forall x:f(x+T)=f(x)$ .

Если функция периодическая с периодом $T$ , то оно также периодично с периодами $2T$ , $3T$ , и так далее. Обычно под периодом функции понимают наименьшее такое число $T$ . Однако для некоторых функций сколь угодно малые значения $T$ существовать.

Последовательность функций $1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),...,cos(nx),sin(nx),...$ известна как тригонометрическая система. Любая линейная комбинация функций тригонометрической системы, в том числе и бесконечная комбинация (т. е. сходящийся бесконечный ряд ), является периодической функцией с периодом 2π.

На любом отрезке длины 2π (например, отрезках [−π,π] и [0,2π]) тригонометрическая система является ортогональной системой . Это означает, что для любых двух функций тригонометрической системы интеграл от их произведения на отрезке длины 2π равен нулю. Этот интеграл можно рассматривать как скалярное произведение в пространстве функций, интегрируемых на заданном отрезке длины 2π.

Пусть функция $f(x)$ быть определен на отрезке [−π, π]. При достаточных условиях $f(x)$ можно представить на этом отрезке как линейную комбинацию функций тригонометрической системы, называемую также разложением функции $f(x)$ в тригонометрический ряд Фурье (сходящийся к $f(x)$ во всех точках отрезка [−π,π], за исключением, может быть, конечного числа точек).

Полиномы Лежандра являются решением проблемы Штурма – Лиувилля.

\left((1-x^{2})P_{n}'(x)\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0.

Как следствие теории Штурма-Лиувилля, эти полиномы являются ортогональными собственными функциями относительно скалярного произведения, указанного выше, с единичным весом. Это можно записать в виде обобщенного ряда Фурье (известного как ряд Фурье – Лежандра), включающего полиномы Лежандра, и

f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}P_{n}(x),

c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\|_{w}^{2}}

Например, ряд Фурье – Лежандра можно вычислить для $f(x)=\cos x$ над $[-1,1]$ . Затем,

{\begin{aligned}c_{0}&={\int _{-1}^{1}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}(1)^{2}\,dx}=\sin {1}\\c_{1}&={\int _{-1}^{1}x\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx}={0 \over 2/3}=0\\c_{2}&={\int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx}={6\cos {1}-4\sin {1} \over 2/5}\end{aligned}}

и серия, включающая эти термины, будет

{\begin{aligned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin 1\\&=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin {1}-{15 \over 2}\cos {1}\end{aligned}}

которые отличаются от $\cos x$ примерно на 0,003. Использование таких рядов Фурье – Лежандра может быть выгодным, поскольку все собственные функции являются полиномами и, следовательно, интегралы и, следовательно, коэффициенты легче вычислять.