Ортогональные функции

В математике ортогональные функции принадлежат функциональному пространству , которое представляет собой векторное пространство, имеющее билинейную форму . Когда функциональное пространство имеет интервал в качестве области определения , билинейная форма может быть интегралом произведения функций на интервале:

$\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.$

Функции $f$ и $g$ ортогональны , когда этот интеграл равен нулю, т.е. $\langle f,\,g\rangle =0$ в любое время $f\neq g$. Как и в случае с базисом векторов в конечномерном пространстве, ортогональные функции могут образовывать бесконечный базис функционального пространства. Концептуально приведенный выше интеграл является эквивалентом векторного скалярного произведения ; два вектора являются взаимно независимыми (ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.

Предполагать $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ представляет собой последовательность ортогональных функций от ненулевого L ² -нормы ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$. Отсюда следует, что последовательность $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ имеет функции L ² -норма один, образующая ортонормированную последовательность . Чтобы иметь определенное L ² -норма, интеграл должен быть ограничен, что ограничивает функции интегрируемостью с квадратом .

Тригонометрические функции

Основные статьи: ряд Фурье и гармонический анализ

Несколько наборов ортогональных функций стали стандартными базами для аппроксимации функций. Например, синусоидальные функции sin nx и sin mx ортогональны на интервале $x\in (-\pi ,\pi )$ когда $m\neq n$ и n и m — положительные целые числа. Тогда

$2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),$

и интеграл от произведения двух синусоидальных функций обращается в нуль. Вместе с косинусными функциями эти ортогональные функции могут быть собраны в тригонометрический полином для аппроксимации заданной функции на интервале ее рядом Фурье .

Полиномы

Основная статья: Ортогональные полиномы

Если начать с мономиальной последовательности $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ на интервале $[-1,1]$ и применяет процесс Грама – Шмидта , то получают полиномы Лежандра . Другой набор ортогональных полиномов — это связанные с ними полиномы Лежандра .

При изучении ортогональных полиномов используются весовые функции. $w(x)$ которые вставляются в билинейной форме:

$\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.$

Для полиномов Лагерра на $(0,\infty )$ весовая функция $w(x)=e^{-x}$.

И физики, и теоретики вероятности используют полиномы Эрмита для $(-\infty ,\infty )$, где весовая функция $w(x)=e^{-x^{2}}$ или $w(x)=e^{-x^{2}/2}$.

Полиномы Чебышева определены на $[-1,1]$ и использовать веса ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ или ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Полиномы Цернике определены на единичном круге и имеют ортогональность как радиальной, так и угловой частей.

Бинарные функции

Функции Уолша и вейвлеты Хаара являются примерами ортогональных функций с дискретными диапазонами.

Рациональные функции

График рациональных функций Чебышева порядка n=0,1,2,3 и 4 между x=0,01 и 100.

Полиномы Лежандра и Чебышева создают ортогональные семейства для интервала [−1, 1], тогда как иногда требуются ортогональные семейства на [0, ∞) . В этом случае удобно сначала применить преобразование Кэли , чтобы привести аргумент в [−1, 1] . Эта процедура приводит к созданию семейств рациональных ортогональных функций, называемых рациональными функциями Лежандра и рациональными функциями Чебышева .

В дифференциальных уравнениях

Решения линейных дифференциальных уравнений с граничными условиями часто можно записать как взвешенную сумму ортогональных функций решения (также известных как собственные функции ), что приводит к обобщенным рядам Фурье .

См. также

• Собственные значения и собственные векторы
• Гильбертово пространство
• Теорема Карунена – Лёва
• Теорема Лауричеллы
• Функция Ванье

Ссылки

• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер (2005) Математические методы для физиков , 6-е издание, глава 10: Теория Штурма-Лиувилля — ортогональные функции, Academic Press .
• Прайс, Джастин Дж. (1975). «Темы в ортогональных функциях» . Американский математический ежемесячник . 82 : 594–609. дои : 10.2307/2319690 .
• Джованни Сансоне (перевод Эйнсли Х. Даймонд) (1959) Ортогональные функции , Interscience Publishers .

Внешние ссылки

• Ортогональные функции в MathWorld.