Весовая функция

Весовая функция — это математический аппарат, используемый при вычислении суммы, интеграла или среднего значения, чтобы придать некоторым элементам больший «вес» или влияние на результат, чем другим элементам в том же наборе. Результатом применения весовой функции является взвешенная сумма или средневзвешенное значение . Весовые функции часто встречаются в статистике и анализе и тесно связаны с понятием меры . Весовые функции могут использоваться как в дискретных, так и в непрерывных настройках. Их можно использовать для построения систем исчисления, называемых «взвешенным исчислением». и «метаисчисление».

Дискретные веса

Общее определение

В дискретной ситуации весовая функция $w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}$ - положительная функция, определенная на дискретном множестве $A$, который обычно конечен или счетен . Весовая функция $w(a):=1$ соответствует невзвешенной ситуации, в которой все элементы имеют одинаковый вес. Затем можно применить этот вес к различным концепциям.

Если функция $f\colon A\to \mathbb {R}$ является вещественной функцией ​ , невзвешенная сумма то $f$ на $A$ определяется как

$\sum _{a\in A}f(a);$

но учитывая весовую функцию $w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}$, взвешенная сумма или коническая комбинация определяется как

$\sum _{a\in A}f(a)w(a).$

Одно из распространенных применений взвешенных сумм возникает при численном интегрировании .

Если B — конечное подмножество A , можно заменить невзвешенную мощность | Б | из B по взвешенной мощности

$\sum _{a\in B}w(a).$

Если A — конечное непустое множество, можно заменить невзвешенное среднее или среднее значение

${\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)$

по средневзвешенному или средневзвешенному значению

${\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.$

В этом случае только относительные имеют значение веса.

Статистика

Взвешенные средние значения обычно используются в статистике для компенсации наличия систематической ошибки . За количество $f$ измерено несколько независимых раз $f_{i}$ с отклонением $\sigma _{i}^{2}$, наилучшая оценка сигнала получается путем усреднения всех измерений с весом ${\textstyle w_{i}=1/{\sigma _{i}^{2}}}$, и результирующая дисперсия меньше, чем каждое из независимых измерений ${\textstyle \sigma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i}}$. Метод максимального правдоподобия взвешивает разницу между подгонкой и данными, используя одни и те же веса. $w_{i}$.

Ожидаемое значение случайной величины — это средневзвешенное значение возможных значений, которые она может принять, причем веса — это соответствующие вероятности . В более общем смысле, ожидаемое значение функции случайной величины — это средневзвешенное по вероятности значений, которые функция принимает для каждого возможного значения случайной величины.

В регрессиях , в которых зависимую переменную предполагается, что на влияют как текущие, так и лагированные (прошлые) значения независимой переменной , оценивается распределенная функция запаздывания , причем эта функция представляет собой средневзвешенное значение текущих и различных лагированных значений независимой переменной. Аналогично, модель скользящего среднего определяет развивающуюся переменную как средневзвешенное значение текущих и различных запаздывающих значений случайной величины.

Механика

Терминологическая весовая функция возникает из механики : если у кого-то есть набор $n$ предметы на рычаге , с гирями $w_{1},\ldots ,w_{n}$ (где вес теперь интерпретируется в физическом смысле) и локации ${\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}$, то рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры рычага находится в центре масс

${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},$

что также является средневзвешенным значением позиций ${\boldsymbol {x}}_{i}$.

Непрерывные веса

В непрерывной настройке вес является положительной мерой, такой как $w(x)\,dx$ на каком-то домене $\Omega$, которое обычно является подмножеством евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$, например $\Omega$ может быть интервал $[a,b]$. Здесь $dx$ является мерой Лебега и $w\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}$ – неотрицательная измеримая функция . В этом контексте весовая функция $w(x)$ иногда называют плотностью .

Общее определение

Если $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — действительная функция интеграл , невзвешенный то

$\int _{\Omega }f(x)\ dx$

можно обобщить до взвешенного интеграла

$\int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx$

Обратите внимание, что может потребоваться потребовать $f$ быть абсолютно интегрируемым по весу $w(x)\,dx$ для того, чтобы этот интеграл был конечным.

Взвешенный объем

Если E является подмножеством $\Omega$, то объем vol( E ) E можно обобщить до взвешенного объема

$\int _{E}w(x)\ dx,$

Средневзвешенное значение

Если $\Omega$ имеет конечный ненулевой взвешенный объем, то мы можем заменить невзвешенное среднее

${\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx$

по средневзвешенному значению

${\frac {\int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\int _{\Omega }w(x)\,dx}}$

Билинейная форма

Если $f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }$ и $g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }$ две функции, можно обобщить невзвешенную билинейную форму

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx$

к взвешенной билинейной форме

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)\ dx.$

см. в статье об ортогональных полиномах Примеры взвешенных ортогональных функций .

См. также

• Центр масс
• Численное интегрирование
• Ортогональность
• Взвешенное среднее
• Линейная комбинация
• Ядро (статистика)
• Мера (математика)
• Интеграл Римана – Стилтьеса
• Взвешивание
• Функция окна